SUJET STG-M-CFE-Antille-juin-2008 avec correction

Baccalauréat STG Antilles-Guyane juin 2008 -Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d’Entreprise, Gestion des systèmes d’information

Exercice 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte.

Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse fausse retire 0,5 point, une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.

I. Le nombre e²₃e¹₃ est égal à :

a. e b. 1 c. e²₉

II. Une société de crédit propose un prêt à intérêts composés dont le taux mensuel est de 0,9 %.

Le taux annuel correspondant, arrondi à 0,1 %, est :

a. 10,8 % b. 12,1 % c. 11,4 %

III. Le tableau ci dessous donne les résultats d’un groupe de candidats à un examen en fonction de l’étude de leur première langue vivante.

Anglais Allemand Russe

Admis 117 68 33

refusé 16 9 7

On rencontre au hasard un candidat. Il dit qu’il est admis. La probabilité que sa première langue étudiée soit l’allemand est à 10⁻³ près :

a. 0,272 b. 0,883 c. 0,312

IV. Une entreprise étudie l’évolution du nombre de ses clients. Elle a recensé les résultats dans le tableau suivant :

Année 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l’annéexi 1 2 3 4 5

Nombre de clients yi 120 126 130 135 142

1. Une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est :

a. y = −0,19x +21,44 b. y = 5,3x +114,7 c. y = 5,3x −10 490,6 2. On choisit de réaliser un ajustement du nuage de points de la série précédente par la courbe d’équation y115, 44 1, 04

 

a. 158 b. 152 c. 840

Exercice 2 6 points

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à 2 000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15 000 € .

La recette en milliers d’euros, obtenue pour la vente de x centaines de pièces est donc ^{R x( ) 15 x}. Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique R1de la fonction R et la représentation graphique C1 de la fonction coût de production notée C sur l’intervalle^{[ 0;20 ]}.

Partie A : lectures graphiques

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?

2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000 € ? 3. Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ? Partie B

On admet que la fonction C définie sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]}est donnée par : C x( ) 0,5 x²6,5x10 4,5ln( x1).

On rappelle que le coût de production, en milliers d’euros, est le nombre C(x), x étant le nombre de centaines de pièces produites (x est compris entre 0 et 20 centaines de pièces).

On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

1. a. Montrer que le bénéfice est donné par la fonction B, définie sur ^{[ 0; 20 ]} par : B x( ) 0,5x²8,5x10 4,5ln( x1).

On note B′ la fonction dérivée de B sur l’intervalle [ 0; 20 ]. b. Calculer B′(x).

c. Vérifier que, pour tout réel x de l’intervalle ^{[ 0; 20]}, ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

  .

2. a. Justifier que le signe de B′(x) est celui de^(8x) sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]}.

b. En déduire le signe de B′(x) puis le tableau de variation de B sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]} 3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ?

Quel est ce bénéfice maximal à l’euro près ? Exercice 3 : 5 points

L’entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.

La première année d’extraction l’entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d’extraction, de l’appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an.

On appelle Tnle nombre de tonnes extraites l’année (1950 + n). On a donc T0 =20 000.

Les résultats seront arrondis à la tonne.

1. Justifier que T₁= 19 800 puis calculer T₂ et T₃. 2. Exprimer T_n1en fonction de T_n.

3. Quelle est la nature de la suite (T_n) ? En déduire l’expression de T_nen fonction de n.

4. Quelle est la quantité extraite en 2008 ?

5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l’année (1950+n) est : S_n 2000000(1 (0,99) ^n1). 6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?

Formulaire :

– La somme S des (n+1) premiers termes d’une suite arithmétique (^u_n) est donnée par : _{0 1} ... ( 1) ⁰

2

n n n

u u

S u u u n 

      .

 La somme S des (n + 1) premiers termes d’une suite géométrique (vn) de raison q (^q ) est donnée par :

1

0 1 0

... 1

1

n

n n

S v v v v q

q

 

     

 .

EXERCICE 4 . population en France

Le tableau ci-dessous est extrait d’une feuille de calcul d’un tableur.

Il donne les populations urbaine et rurale françaises, en millions de personnes, entre 1954 et 1999.

0 A B C D E F

1 Population urbaine et rurale en France métropolitaine

2 Population

urbaine en millions

Population rurale en millions

Population totale en millions

Taux de population urbaine en %

Indice de Population urbaine

4 1954 24,5 18,2 42,7 57,4 100

5 1962 29,4 17,1

6 1968 34,8 14,9

7 1975 38,4 14,2

8 1982 39,9 14,5

9 1990 41,9 14,7

10 1999 44,2 14,3

11

12 Source INSEE, recensement de la population

Dans cet exercice, on exprimera les taux en pourcentage et on arrondira les indices et les pourcentages au dixième.

1. Calculer pour l’année 1962 le taux de population urbaine en France par rapport à la population totale.

2. On fixe l’indice de population urbaine à la base 100 en 1954.

Quel est l’indice de population urbaine en 1962 ? En 1982 ?

3. On s’intéresse dans cette question à l’évolution de la population totale.

a. Montrer qu’avec l’arrondi fixé le taux d’évolution global de la population française entre 1954 et 1999 est 37 %.

b. En déduire le taux annuel moyen d’augmentation entre 1954 et 1999.

c. Donner des formules à insérer dans la feuille de calcul précédente qui, entrées dans les cellules D5, E5 et F5, permettent par recopie vers le bas d’obtenir la plage des cellules D5 : F10.

R₁ C₁

nombre de centaines de pièces milliers d'euros

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 1

20

x y

Correction Exercice 1

I. Réponse a : e²3 e¹3 e^{2 1}3 e1 e



    car _e^a_e^b _e^{a b} .

II. Réponse c : le taux mensuel correspond à un coefficient multiplicateur de 1,009 appliqué tous les mois.

Au cours de l'année, on applique ce taux 12 fois, le coefficient multiplicateur global est donc de 1,009¹² = 1,1135, ce qui correspond à un taux 1,1135 1 0,1135  soit^11,35%

III. Réponse c : 68 élèves ont étudié l'allemand parmi les 117 + 68 + 33 = 218 élèves admis, soit une probabilité de 68

0,312

218 ,soit ^{31, 2%}

IV. 1. Réponse b : la tendance est à la hausse, on peut donc éliminer la réponse a, dont le coefficient directeur de la droite est négatif. On élimine également la réponse c à cause de son "10490,6"

beaucoup trop élevé. La bonne réponse est donc la réponse b : ^{y5,3x114,7} IV. 2. Réponse b : l'année 2008 correspond au rang ^x_i ^7donc y115, 44 1, 04 ⁷ 152. Exercice 2

Partie A : Lectures graphiques

1. Le coût de production de 900 pièces (= 9 centaines de pièces) est de 120 000 € (tracé rouge).

2. Le coût de production de 90 000 € correspond à la production de 700 pièces (tracé vert).

3. L'entreprise est bénéficiaire dès lors que sa recette est supérieur à son coût de production, c'est-à-dire lorsque^R₁est au-dessus de ^C₁. Cela se produit pour une production comprise entre 200 et 1 380 pièces (tracé bleu).

R₁ C₁

nombre de centaines de pièces milliers d'euros

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 1

20

x y

Partie B

1. a) Le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production :

^{B x( )R( )x C x( ) 15 x}





1. b). B est définie est dérivable sur [0 ; 20] et sa dérivée vaut :

1





'( ) 8,5 4,5

1 1 1

x x x x

B x x

x x x

      

      

  

1. c)(x0,5)(8x) 8 x x ² 4 0,5x  x² 7,5x4 donc ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

 

2. a) Sur [0 ; 20],x 1 0 et donc ^{x0,5 0} donc ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

  est du signe de 8x. 2. b) On a donc :

x 0 8 20 '( )

B x + 0 ^ ( )

B x ^{26 4,5ln 9}

10  40 4,5ln 21 avec

(0) 0 10 4,5ln1 10

B      ; B⁽⁸⁾ 0,5 64 8,5 8 10 4,5ln 9 26 4,5ln 9 16,12        (20) 0,5 400 8,5 20 10 4,5ln 21 40 4,5ln 21 53,7

B            

3. On déduit de ce tableau que le bénéfice maximal est atteint pour une production de 8 centaines de pièces, soit 800 pièces, et ce bénéfice s'élève alors à 16 112 €.

Exercice 3

1. Les quantités extraites diminuent de 1 % par an, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de 0,99 d'une année sur l'autre : T₁^0,99T₀0,99 20000 19800 

De même : T₂^0,99T₁0,99 19800 19602  et T₃^0,99T₂ 0,99 19602 19406  . 2. D'une manière générale :^T_n1^0,99T_n

3. Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme T0 = 20 000 et de raison q = 0,99.

Ainsi, l'expression générale de Tnest : T_n T0qⁿ 20000





4. 2008 = 1950 + 58 correspond au rang 58. La quantité extraite en 2008 est donc : T₅₈20000 0,99 ⁵⁸ 11165

5. En appliquant la formule de la somme des (n + 1) premiers termes d'une suite géométriques, on obtient que la quantité extraite de 1950 (rang 0) à 1950 + n (rang n) est égale à :

_{0 0} 1 0,99 ¹ 1 0,99 ¹

... 20000

1 1 0,99

n n

n n

S T T T

q

 

 

      

  . S_n 2000000 1 0,99 





6. Le filon sera épuisé dès lors qu'on atteindra ^S_n ^1000000:

S_n ^10000002000000 1 0,99 





ln 0,5

( 1) ln(0,99) ln 0,5 1 67,96

ln(0,99)

n n

      

Le filon s'épuisera donc à la fin de la 67^ème année, c'est-à-dire fin 2017.

Exercice 4

1. En 1962, la population urbaine est de 29,4 millions d'habitants pour une population totale de 29,4 + 17,1

= 46,5 millions d'habitants, soit un taux de population urbaine en France de 29, 4

100 63, 2%

46,5  .

2. Entre 1954 et 1962, la population urbaine a augmenté de29, 4 24,5

100 20%

24,5

   .

L'indice correspondant à 1962 est donc 100 20 120  .

De même, entre 1954 et 1982, la population urbaine a augmenté de39, 4 24,5

100 62,8%

24,5

   .

L'indice correspondant à 1982 est donc100 62,8 162,8  .

3. a) En 1999, la population globale est de 44,2 + 14,3 = 57,5 millions d'habitants contre 42,7 millions en 1954, ce qui représente une hausse de58,8 42,7

100 37 % 42,7

   .

3. b) Entre 1954 et 1999, il s'est écoulé 1999 - 1954 = 45 ans. L'augmentation globale de 37 % correspond à un coefficient multiplicateur global M de 1,37.

Le coefficient multiplicateur annuel m est alors tel que_m⁴⁵ _M soit_{m M} ^{1/ 45}_1,37^{1/ 45}_{1, 0070}, ce qui correspond à une augmentation annuelle de1, 007 1 0, 007 0,7%   .

3. c) La colonne D permet de calculer la population totale en additionnant les populations urbaine (B) et rurale (C), d'où, dans la cellule D5 : B5C5.

La colonne E permet de calculer le taux de population urbaine en divisant la population urbaine (B) par la population totale (D) et en multipliant par 100 pour l'obtenir en pourcentage, d'où, dans la cellule E5 :





La colonne F permet de calculer l'augmentation de la population urbaine de l'année n (Bn) par rapport à celui de l'année 1954 (B4). Pour fixer cette valeur, on utilise le signe $. On écrit donc, dans la cellule F5 :





A B C D E F

1 Population urbaine et rurale en France métropolitaine 2

3

Population urbaine en millions

Population rurale en millions

Population totale en millions

Taux de population urbaine en %

Indice de Population urbaine

4 1954 24,5 18,2 42,7 57,38 100

5 1962 29,4 17,1 46,5 63,23 120

6 1968 34,8 14,9 49,7 70,02 142,04

7 1975 38,4 14,2 52,6 73 156,73

8 1982 39,9 14,5 54,4 73,35 162,86

9 1990 41,9 14,7 56,6 74,03 171,02

10 1999 44,2 14,3 58,5 75,56 180,41

11

12 Source INSEE, recensement de la population