Bac-blanc-term STG-CFE-M

(1)

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUES

BAC BLANC - SESSION 2008 - 2009

SÉRIE : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LA GESTION

Spécialités :

Mercatique (coefficient : 3 )

Comptabilité et finance d’entreprise ( coefficient 3) Durée de l’épreuve : 3 heures

L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.

Les candidats doivent traiter les cinq exercices .

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

- Le sujet comporte 6 pages, dont l’annexe, pages 5 et 6, sont à rendre avec la copie

1

MATHÉM

TIQUES

(2)

Exercice 1 ( 6 points ) Partie A

Cet exercice est un test vrai - faux.

Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à la partie A est ramenée à 0.

Un groupe d’élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l’argent pour partir en voyage scolaire. Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat, et les vendre respectivement 6 € et 8 € pièce. Ils disposent en quantités nécessaires des yaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l’huile, mais n’ont que 4,8 kg de farine, 5,4 kg de sucre et 150 œufs . La préparation d’un gâteau au yaourt nécessite 240 g de farine, 240 g de sucre et 3 œufs.

La préparation d’un gâteau au chocolat nécessite 80 g de farine, 150 g de sucre et 6 œufs. Les élèves notent x le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et y le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. Ils supposent que tous les gâteaux fabriqués seront vendus. Ils souhaitent gagner le plus d’argent possible.

Ils réalisent un graphique permettant de traiter ce problème. Ce graphique est donné dans l’annexe.

Les points A, B, C et Dont pour coordonnées respectives



^{0; 25}



,



^{10; 20}



, 120 60 7 ; 7

 

 

  et



^{20 ;0}



. Les couples d’entiers



^{x y}^;



respectant les contraintes sont les coordonnées des points à coordonnées entières situés à l’intérieur du pentagone OABCD ou sur ses côtés.

La droite d’équation ⁶^x^⁸^y^¹⁶⁰est tracée en pointillés. Elle correspond aux cas où la recette est de160 €.

Proposition 1 : La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduire par :³^{x y}^{ }⁶⁰. Proposition 2 : La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d’oeufs.

Proposition 3 : En fabriquant 19 gâteaux au yaourt et 4 gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées.

Proposition 4 : En respectant toutes les contraintes, le maximum d’argent gagné lors de la vente sera de 200€ .

Exercice 2 ( 3 points )

Un capital u0 1000€ est placé au taux annuel de 4%.

Les capitaux seront arrondis à l'unité et les taux à 0,01 % près 1. On suppose que le placement est à intérêts composés.

a) Quelle est la valeur acquise ^u₁₀ au bout de 10 ans ?

b) Quel est le taux équivalent mensuel et la valeur acquise au bout de 20 mois ?

c) Quel capital initial fallait-il placer pour obtenir 1500 € au bout de 10 ans avec le même taux de 4 %?

2. On suppose que le placement est à intérêts simples au taux annuel de 4% et on note v0 1000€

a) Quelle est la valeur acquise ^v₁₀ au bout de 10 ans ?

b) Quel est le taux proportionnel mensuel et la valeur acquise au bout de 20 mois ? c) Quel devrait être le taux annuel à intérêts composés pour obtenir au bout de 10 ans

(3)

la même somme v₁₀ ? Exercice 3 ( 4 points )

Dans un club de vacances, deux activités A et B sont proposées aux enfants entre 8 et 10 ans. Les enfants peuvent cumuler les deux activités, choisir une seule de ces deux activités, ou encore ne pratiquer aucune de ces deux activités. On choisit au hasard le nom d’un enfant de cet âge. Tous les enfants ont la même probabilité d’être choisis.

On notera A l’évènement : « l’enfant pratique l’activité A» et _A l’évènement contraire de A, B l’évènement : « l’enfant pratique l’activité B » et B l’évènement contraire de B.

La situation est représentée à l’aide d’un arbre pondéré donné en annexe I.

1. Compléter l’arbre et les probabilités fournis en annexe 2.

2. Par lecture de l’arbre, donner les probabilités conditionnelles p BA^{( )} et ^{p B}_A^{( )}. 3. a. Démontrer quep B( ) 0, 22 .

b. L’enfant pratique l’activité B. Quelle est la probabilité qu’il pratique A ? 4. On définit les évènements E et F de la façon suivante :

E : « l’enfant choisi ne pratique aucune des deux activités » ; F : « l’enfant choisi pratique au moins l’une des activités ».

a. Exprimer E en fonction de A et B puis, en s’appuyant sur les résultats contenus dans le tableau du 1, déterminer ^{p E}^{( )}.

b. Calculer ^{p F}^{( )}. Exercice 4 ( 5 points )

On se propose dans cet exercice, d’étudier l’évolution de la consommation d’eau minérale des Français depuis 1970.

Partie A

La feuille de calcul suivante, extraite d’un tableur, donne la consommation moyenne d’eau minérale en en litres par Français sur une année

A B C

1 Consommation ( en litre ) Taux dévolution décennal exprimée en pourcentage 0,1près

2 1970 40

3 1980 55 37,5

4 1990 90 63,6

5 2000 149 65,6

1. Que signifie le nombre 37,5 obtenu dans la case C3 ?

On attend une explication avec une phrase, puis la justification de ce nombre à l’aide d’un calcul.

2. a. Calculer le taux d’évolution global de la consommation d’eau minérale entre les années 1970 et 2000.

b. En déduire que le taux d’évolution décennal moyen entre les années 1970 et 2000 est de 55 % (à 1 % près).

c. Si l’on fait l’hypothèse que la consommation d’eau minérale continue à évoluer en suivant le taux décennal de 55 % au delà de l’an 2000, quelle consommation, à un litre près, peut-on prévoir pour

3

(4)

l’année 2010 puis pour l’année 2040 ? Partie B

Le tableau suivant donne l’évolution de cette consommation, en litre par personne entre 1995 et 2004.

Le nuage de points correspondant est donné en annexe 2. Le but est de rechercher un ajustement affine de ce nuage de points.

Année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Rang ^x_i de l’année 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Consommation yi

(en litres)

117 115 122 134 142 149 152 150 168 169

1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique.

2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation la droite () d’ajustement affine de y en x sous la forme : ^{y a x b}^ ^ où a et b seront arrondis à 0,1 près.

3. Tracer la droite (D) sur le graphique de l’annexe 3.

4. a. À l’aide de l’équation précédente, estimer la consommation d’eau minérale par Français en 2010 (arrondie au litre près).

b. Retrouver graphiquement le résultat précédent.( laisser les traits de construction sur l’annexe 3)

c. Le résultat obtenu à la question 4.a est différent du résultat obtenu dans la partie A question 2.

Pouvait-on s’y attendre ?Justifier votre réponse.

Exercice 5 ( 4 points )

Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par : C x( )x²50x100 pour 5 x 40.

1. L’entreprise vend chaque appareil 100 euros.

a. Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de x objets est égal à : B x( )  x² 50x100 pour x appartenant à [5 ;40].

b. B′ étant la fonction dérivée de B sur [5 ; 40], calculer B′(x) et étudier son signe, c. Dresser le tableau de variations de B.

d. Quel est le nombre d’appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l’entreprise soit maximal ? 2. Le coût moyen horaire de production d’un objet est égal à ( )

( ) C x

f x  x pour x appartenant à [5 ; 40].

a. Montrer que 100

( ) 50

f x x

   x pour x appartenant à [5 ; 40].

b. f ′ étant la dérivée de la fonction f sur [5 ; 40], montrer que : ^{f x}^{'( )} ⁽^x ¹⁰⁾⁽₂^x ¹⁰⁾ x

 

 pour x appartenant à [5 ; 40].

c. Étudier le signe de f ′(x) et dresser le tableau de variations de f

d. Pour quelle valeur de x le coût moyen horaire est-il minimal ? Préciser alors sa valeur,

(5)

Nom : ……….. Prénom :……….

Annexe exercice 1

A

B

C

D

10 15 20 25

0 5

5

x y

A

B

B B 0,6 B

...

0,3

0,9

( ) ...

P A B 

( ) ...

P A B 

( ) ...

P A B 

( ) ...

P A B 

5

(6)

(7)

Quantité en litres

rang xi de l'année

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215

0 1

100 105

x y

Exercice 1 Solution

7

(8)

Un groupe d’élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l’argent pour tir voyage Scolaire. Posons le problème en inéquation :

Les élèves notent x le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et y le nombre de gâteaux au chocolat fabriqués. Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat , et le vendre Respectivement 6 € et 8 € pièce.

La droite d’équation 6x8y160correspond aux cas où la recette est de 160 € . Ils disposent de 4,8kg soit 4800 g de farine, 5,4kg de sucre ,soit 5400g et 150 œufs . La préparation d’un gâteau au yaourt nécessite 240 g de farine, 240 g de sucre et 3 oeufs.

La préparation d’un gâteau au chocolat nécessite 80 g de farine, 150 g de sucre et 6oeufs.

Quantités Farine Sucre Œufs Prix

Gâteaux au yaourt ^x 240 240 3 6

Gâteaux au chocolat ^y 80 150 6 8

Conditions x0et ^y^⁰ 4800 5400 150

Le tableau ci-dessus se traduit par le système d’inéquation suivante :

240 80 4800

240 150 5400

3 6 150

x y

 

  

  



, donc en simplifiant on obtient :

3 60

8 5 180

2 50

x y

x y

  

  

  



.

Proposition 1 : La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduire par :³^{x y}^{ }⁶⁰. La proposition 1 est vraie : d’après l’énoncé : ²⁴⁰^x^⁸⁰^y^⁴⁸⁰⁰ , soit en divisant par 80 : ³^{x y}^{ }⁶⁰. Donc la contrainte liée à la quantité de farine disponible se traduit par : ³^{x y}^{ }⁶⁰. VRAIE

Proposition 2 : La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d’œufs est fausse En effet : la contrainte liée aux œufs se traduit par ³^x^⁶^y^¹⁵⁰, soit ^x^²^y^⁵⁰.

Etablissons l’équation de la droite (BC) qui est de la forme ^{y ax b}^ ^

 



^{120 / 7}^{60 / 7}



²⁰^{10 120 70}^{60 140} ⁵⁰⁸⁰ ⁸⁵

C B

y y

a x x

   

     

  

Les point B appartient à la droite (BC ) donc les coordonnées du point B vérifient l’équation de

la droite (BC) , soit 8 8

20 10 20 16 36

5 5

B B

y   x  b      b b   d’où ( BC ) a pour équation : 8

5 36

y  x , soit ⁸^x^⁵^y^¹⁸⁰, ce qui correspond à la contrainte au sucre.

Donc la droite (BC) n’est pas associée à la contrainte liée au nombre d’œufs.

Proposition 3 : En fabriquant 19 gâteaux au yaourt et 4 gâteaux au chocolat, toutes les contraintes sont respectées. FAUX.

Sur le graphique , 19 gâteaux au yaourt et 4 gâteaux au chocolat correspond au point de coordonnées, ( 19 ; 4 ) , Or ce point ne se situe pas à l’intérieure du polygone OABCD ou sur ses cotés.

On peut aussi montrer qu’aucune inéquation n’est vérifiée.

Proposition 4 : En respectant toutes les contraintes, le maximum d’argent gagné lors de la vente sera 200€

VRAIE

On s’intéresse aux parallèles à la droite ^{( )}^ d’équation : ⁶^x^⁸^y^¹⁶⁰

Graphiquement , à l’aide d’une règle posée sur la droite ^{( )}^ , on cherche la parallèle à ^{( )}^ , traversant le polygone des contraintes et coupant l’axe des ordonnées au point le plus haut , puisqu’on cherche la recette maximale .

La droite coupant l’axe des ordonnées au point le plus haut et traversant le polygone des contraintes Coupe ce dernier au point ^B



^{10; 20}



. Cela correspond à une recette de 6 10 8 20 60 160 220€      . En respectant toutes les contraintes , la recette maximale gagnée lors de la vente sera de 220 €.

(9)

A

B

C

D

S





10 15 20 25 30

10 15 20 25

0 5

5

x y

Exe 2

1.a. C_nC0



1T



ⁿ, où C01000et ^T ^^{4% 0,04 %}^ donc C₁₀ 1000(1 0,04) ¹⁰1000 1,04 ¹⁰ 1480 €. b. Si  est le taux mensuel et T le taux annuel alors ^ ^{ }⁽¹ ^T⁾^1/12^{ }¹



^1,⁰⁴



^1/12^{ }^{1 0,0033}^^0,33%^.

La valeur acquise au bout de 20 mois est C_aq C0(1)²⁰1000 (1,0033) ²⁰1068 €. c. soit ^C₀ le capital à placer pour obtenir 1500 € au bout de 10 ans .

C₀(1,04)¹⁰1500 donc 0 10

1500 1013€

(1,04)

C   . C0 1013 € correspond à la valeur actuelle du capital 1500€ placé au taux de 3 % pendant 10 ans.

2. a. 0 0 0 1

100 100

Sn S S n  S  n  

        

  donc 10

1000 1 40 1000 1,4

10 1400€

S  0

     

 

b. le taux proportionnel mensuel est 12

 % où correspond au taux annuel . Ici il vaut donc ⁴ ^% ¹ ^%

12 3

   

  . La valeur acquise au bout de 20 mois est 0

1 1000 1 20 1

100 300 1066 €

S S  n    

        

    .

c. Si y est le taux annuel à intérêts composés qui permet d’obtenir S101400€au bout de 10 ans . S₁₀1000(1y)¹⁰1400 , donc ¹⁰ 1400

(1 ) 1, 4

y 1000

   , donc ^y^

 

^1,4^1/10^{ }^{1 0,034}²^^{3, 42}^%

Pour obtenir au bout de 10 ans la somme ^S₁₀, il faut choisir un taux de 3,42 % à intérêts composés Exercice 3

9

(10)

Soit A l’évènement « l’enfant pratique l’activité A » et B l’évènement « l’enfant pratique l’activité B ».

1. D’après la loi des nœuds , la somme des probabilités à chaque nœud est égale à 1.

On en déduit l’arbre suivant : Pour calculer p(A B)  , on multiplie les probabilités situées sur les branches et A et B

A

B

B B 0,6 B

0,7 0,4 0,1

0,3

0,9

p(A B) =p(A) p (B) =0,6 0,3=0,18  A  p(A B ) =p(A) p ( B ) =0,6 0,7=0,42  A 

p( A B) =p( A ) p (B) =0,4 0,1=0,04  A 

p( A B ) =p( A ) p ( B ) =0,4 0,9=0,36  A  2. On en déduit la probabilité de B sachant A : p B A^{( )} ^0,3 puis^p_A^{( )}^B^^0,1 .

3. D’après la formule des probabilités totales, p B( )p A B(  )p A B (  ) 0,18 0,04 0, 22  . b. L’enfant pratique l’activité B. Quelle est la probabilité qu’il pratique A ?

 

^0,18 ⁹

( ) 0, 22 11

B

p A B p A

p B

   

4. Soit E l’évènement « l’enfant ne pratique aucune activité » et F « l’enfant pratique au moins une activité ».

a. On a _E_{ }_{A B} donc p E( ) p A B(  ) 0,36 . b. On peut raisonner de deux méthodes.

Méthode 1 : on remarque que _F __E et du coups, p F( ) p E( ) 1  p E( ) 1 0,36 0, 64   . Méthode 2 : on utilise le fait que F  A B et du coups,

P F^{( )} p A B⁽  ⁾ p A^{( )} p B^{( )}p A B⁽  ) 0,6 0, 22 0,18 0,82 0,18 0,64      Exercice 4

1. a. Le nombre 37.5 de la case C3 signifie qu’entre les années 1970 et 1980, la consommation d’eau minérale des Français a augmenté d’environ 37,5% (arrondi à 0.1).

En effet, le taux d’évolution est 55 40

100 37,5%

t 40

  

2. a. Entre les années 1970 et 2000, le taux d’évolution est 149 40

100 272,5%

t 40   , soit une hausse de 272,5%.

b. Le taux d’évolution décennal moyen au cours de ces trois décennies vérifie

(1T)³ 1 2,725 3, 725 c’est-à-dire T 3, 725^{1/ 3} 1 0,55 soit 55% arrondi à 0.1%.

c. Pour l’année 2010, on peut prévoir une consommation d’environ 149(1+ 0,55) » 231 litres, et Pour 2040, une consommation d’environ 149 1,55 ⁴860litres.

PARTIE B

1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4,5

x         

  .

117 115 122 134 142 149 152 150 168 169

141,8

y     10     

Le point moyen est le point qui a pour coordonnées (x, y). Ici, nous avons G(4.5;141.8) .

2. A l’aide de la calculatrice par la méthode des moindres carrés, on trouve que la droite d’ajustement a pour équation : ^y^^6,3^x^^{113, 4} .

3. Pour tracer la droite, on place l’ordonnée à l’origine B et on trace la droite (BG) (en fait G ne vérifie pas l’équation à cause des arrondis).

4. a. Comme 2000 correspond au rang 5, 2010 correspond au rang x = 15.

(11)

Or pour x = 15, y6,3 15 113, 4 207,9   litressoit une consommation d’environ 208 litres (on avait trouvé 231 litres par la première méthode).

b. Voir page précédente

c. Oui on pouvait s’attendre à un résultat différent, car dans la partie A, on est parti de l’hypothèse que la consommation allait évoluer avec un taux décennal fixe de 55% en se basant sur des consommations anciennes (1970-1980), alors que dans la 2éme partie, les chiffres sont annuels et beaucoup plus récents donc plus représentatifs des comportements actuels.

c’était prévisible puisqu’on compare une méthode d’approximation à progression géométrique (partie A) et arithmétique (méthode B).

y = 6,303 x + 113,4 Quantité en litres

rang xi de l'année G(4,5 ;141,8 )

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215

0 1

100 105

x y

11