- 1 –
http://mathemitec.free.fr/index.php
Terminale Mercatique Bac Blanc 01 2008-2009
BAC BLANC DE MATHEMATIQUES EN TM1 et TM2 .
L’ordre des exercices n’a pas d’importance.
La clarté de la rédaction et des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. La calculatrice est autorisée.
I ( 5 points)
Un propriétaire propose à partir du 1er janvier 2000 un appartement dont le loyer annuel initial est 6 000 €.
Il envisage deux types d'augmentation :
1°) Dans le premier cas, le loyer annuel augmenterait chaque année de 200 €.
On désigne par Pn le montant annuel du loyer pour l'année (2000 + n). On a donc P0 = 6 000.
a. Calculer Pl et P2.
b. Montrer que (Pn ) est une suite arithmétique. Déterminer sa raison.
c. Exprimer Pn en fonction de n.
d. Quel serait le montant annuel du loyer en 2015, arrondi à l'euro près ? e. En quelle année le loyer dépassera-t-il le double du loyer initial ? f. Calculer le montant total des loyers versés de 2000 à 2015 compris.
2°) Dans le deuxième cas, le loyer annuel augmenterait de chaque année de 3 %.
On désigne par Qn le montant annuel du loyer pour l'année (2000 + n). On a donc Q0 = 6 000.
a. Calculer Q1 etQ2.
b. Montrer que (Qn ) est une suite géométrique. Déterminer sa raison.
c. Exprimer Qn en fonction de n.
d. Quel serait le montant annuel du loyer en 2015, arrondi à l'euro près ? e. En quelle année le loyer dépassera-t-il le double du loyer initial ? f. Calculer le montant total des loyers versés de 2000 à 2015 compris.
II ( 5 points)
Pour chacune des trois questions de ce questionnaire à choix multiple (QCM), une seule des trois propositions est exacte .Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte, -0,5 si la réponse est fausse, zéro sinon. Aucune justification n'est demandée.
1°) Un prix T.T.C. est de 129,90 € avec une T.V.A. à 19,6 %. Le prix H.T.arrondi au centime est de : a. 155,36 €; b. 104,40 €; c. 108,61 €.
2°) Le prix d'un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est : a. une augmentation de 0,44 % ; b. une diminution de 1 % ; c. une augmentation de 1 %.
3°) Si 3 400 a pour indice 100, quel est l'indice de4318 ?
a. 79 ; b. 127 ; c. 27 %.
4°) Le volume d'un ballon publicitaire a augmenté de 60 % sous l’effet de la chaleur.
Pour retrouver son volume initial il doit maintenant diminuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %.
5°) Entre le 01/01/2000 et le 01/01/2005 le coût de la vie a augmenté de 17%. Cela correspond à une hausse annuelle moyenne arrondie au centième, de :
a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,19 %.
III ( 5 points)
En 1990, une entreprise de fabrication de jouets a été créée. Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise.
Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre x d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage y de salariés à temps partiel correspondant.
Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003
x 2 4 5 8 9 11 12 13
y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9
1°) Dans un repère orthonormal (O ;i j, ) d'unité graphique 1 cm, représenter le nuage des points M de coordonnées (x ; y).
2°) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.
3°) Déterminer les coordonnées du point moyen G1 du nuage formé des quatre premiers points et placer ce point sur le graphique.
4°) Déterminer les coordonnées du point moyen G2 du nuage formé des quatre dernier points et placer ce point sur le graphique.
5°) Déterminer l’équation de la droite (G1G2). La droite (G1G2) s’appelle la droite de Mayer.
6°) Vérifier que le point G appartient à (G1G2).
7°) Tracer cette droite sur le graphique précédent.
8°) En utilisant l’ajustement affine précédent, quel sera le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007 ?
9°) En utilisant l’ajustement affine précédent, déterminer en quelle année le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 % ?
10°) Avec votre calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x. On donnera les résultats à 0,01près. Comparer avec 5°).
IV ( 5 points)
Partie A : Étude de deux fonctions
1°) Soit f la fonction définie sur [0,4] par : f x( )= +3 ln(2x+2). a. Montrer que 1
'( )= 1 f x +
x . En déduire le signe de f x'( ).Etablir le tableau de variation de f . 2°) Soit g la fonction définie sur [1,4] par : g x( )= −x² 4x+6.
a. Calculer g x'( ). En déduire le signe deg x'( ). Etablir le tableau de variation de g. b. Recopier et compléter le tableau de valeur suivant ; arrondir à 10−2.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f x( ) ( ) g x
A l’aide du tableau construire la courbe représentative Cf de f et la courbe représentative Cg de g dans un repère orthonormal : unité graphique est 2 cm pour une unité sur les deux axes.
Partie B : Application économique
Une entreprise fabrique un certain type de pièces pour les téléphones mobiles. On admet que pour x milliers de pièces fabriquées et vendues : la recette, en milliers d'euros, est f x( ) et le coût total de production, en milliers d'euros, est g x( ).
1°) Déterminer graphiquement sur quel intervalle l'entreprise réalise un bénéfice.
2°) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
Page 3 sur 6
Corrigé
BAC BLANC DE MATHEMATIQUES, Terminale Mercatique
I
1a. D’après l’énoncé P1= +P0 200=6200 et P2= +P1 200=6400.
1b. Pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours 200€, donc la suite est arithmétique de raison 200 et de premier terme 6000.
1c. On sait alors que Pn =P0+nr cad Pn =6000+200n.
1d. Comme Pn correspond à 2000+n, c’est P15 qui correspond à 2015. On a P15 =6000 15 200+ × =9000€.
1e. On cherche à déterminer 0 1 ... 15 1 16 6000 9000 120 000€
2 2
er dernier
P + + +P P =nbre de termes× + = × + = .
2a. Pour augmenter un nombre de 3% on le multiplie par 1 + 3
100 = 1.03.
Ainsi, Q0 =1.03 6000× =6180, Q1=1.03 6180× =6365.4
2b. Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours 1.03, donc la suite est géométrique de raison 1.03 et de premier terme 6000.
2c. On a alors Qn =Q0×qn cad Qn =6000 1.03× n.
2d. En 2015, le loyer sera de Q15 =6000 1.03× 15≈9348€ (arrondi à l’euro).
2e. On cherche à déterminer
16
0 1 15
1 1 1.03
... 1 6000 120941
1 1 1.03
nbre de terme
Q Q Q er terme q
q
− −
+ + + = × = ≈
− − €.
II
1°) Un prix T.T.C. est de 129,90 € avec une T.V.A. à 19,6 %. Le prix H.T.arrondi au centime est de : a. 155,36 €; b. 104,40 €; c. 108,61 €.
Comme PTTC =1.196PHT on a 108.61€
1.196
TTC HT
P = P ≈ .
2°) Le prix d'un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est : a. une augmentation de 0,44 % ; b. une diminution de 1 % ; c. une augmentation de 1 %.
Le coefficient multiplicateur global est de 1.08 0.93 1.0044× = qui correspond a une hausse de 0.44%.
3°) Si 3 400 a pour indice 100, quel est l'indice de4318 ?
a. 79 ; b. 127 ; c. 27 %.
On a donc 4318 100 127
I= 3400× = .
4°) Le volume d'un ballon publicitaire a augmenté de 60 % sous l’effet de la chaleur.
Pour retrouver son volume initial il doit maintenant diminuer de : a. 40 % ; b. 37,5 % ; c. 60 %.
On a 1.6 1
f i i 1.6 i
V = V ⇒V = V or 1 0.625
1.6= donc Vi =0.625Vi et multiplier par 0.625 revient à appliquer une baisse de 1-0.625 = 37.5 %
5°) Entre le 01/01/2000 et le 01/01/2005 le coût de la vie a augmenté de 17%. Cela correspond à une hausse annuelle moyenne arrondie au centième, de :
a. 3,4 % ; b. 3 % ; c.3,19 %.
On a
1
5 5
(1+tm) =1.17⇒tm =1.17 − ≈1 3.19%. 3400 4318
100 I
III
Années 1992 1994 1995 1998 1999 2001 2002 2003
x 2 4 5 8 9 11 12 13
y (en %) 8,9 10,2 10,5 12,2 12,3 13,2 13,8 14,9
1°) Voir figure jointe.
2°) Le point moyen a pour coordonnées la moyenne des abscisse et la moyenne des ordonnées. On a donc
(
8;12)
G .
3°) De même, on a G1
(
4.75;10.45)
. 4°) Et on a G2(
11.25;13.55)
.5°) La droite est non verticale donc son équation est du type y = ax + b, avec :
> 2 1
2 1
13.55 10.45 11.25 4.75 0.48
G G
G G
y y
a x x
− −
= = ≈
− − .
> d’où y = 0.48x + b et comme G1
(
4.75;10.45)
est sur la droite, ses coordonnées vérifient l’équation d’où 10.45=0.48 4.75× +b⇒b=10.45 0.48 4.75− × =8.17> ainsi, l’équation réduite de la droite (G1G2) est y = 0.48x + 8.17, où les coefficients ont été arrondis au centième.
6°) Remplaçons l’abscisse de G dans l’équation : 0.48 8 8.17× + =12.01≠yG donc il semble que non.
Cependant, les erreurs d’arrondis nous ont peut être trompés… G est le point moyen du nuage donc par construction ,c’est le milieu de [G G1 2] donc il est bien sur la droite (G G1 2) !
7°) Voir figure.
8°) 2007 correspond à x = 17 donc y=0.48 17 8.17× + ≈16.33 et on peut estimer à 16.33% le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés de l'entreprise en 2007.
9°) On veut résoudre l’inéquation y≥20⇔0.48x+8.17≥20⇔0.48x≥11.83⇔ ≥x 24.6 soit x = 25.
Dès 2015, le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 %.
10°) Avec la calculette l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x est donnée par y = 0.5x + 8.01, ce qui est cohérent avec la méthode de Mayer.
IV
A1°. Soit f la fonction définie sur [0,4] par : f x( )= +3 ln(2x+2).
> Appliquons la formule
( )
lnu '=uu' avec u = 2x + 2 : on obtient 2 1 '( ) 02 2 1
f x = + x = x + + .
> Comme x est dans [0 ;4], x+1 est positif donc f’(x) est positive sur [0 ;4].
> On en déduit le tableau de variation de f :
A2a. Soit g la fonction définie sur [1,4] par : g x( )= −x² 4x+6.
> A l’aide des formules classiques, on obtient g x'( )=2x−4.
> A l’aide du signe d’une fonction affine, on trouve que
x 0 4
f ’(x) +
f (x)
3+ln(2)≈3.69 ր
3+ln(10)≈5.30
x 0 2 4
g ’= 2x-4 - 0 +
6 6
Page 5 sur 6
A2b. Voir les tableaux de valeurs (arrondies à 10−2) obtenus à l’aide de la calculatrice .
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
( )
f x 3.69 4.10 4.39 4.61 4.79 4.95 5.08 5.2 5.30
( )
g x 6 4.25 3 2.25 2 2.25 3 4.25 6
Voir figure en fin de corrigé.
Partie B : Application économique
Une entreprise fabrique un certain type de pièces pour les téléphones mobiles. On admet que pour x milliers de pièces fabriquées et vendues : la recette, en milliers d'euros, est f x( ) et le coût total de production, en milliers d'euros, est g x( ).
B1. Graphiquement, l'entreprise réalise un bénéfice quand la courbe recette (Cf) est au dessus de la courbe coût (Cg) cad pour x compris entre environ 0.5 et 3.8 (milliers de pièces).
Cela correspond à des productions d’environ 500 à 3800 pièces.
B2. Graphiquement, la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal est la valeur de x pour laquelle la distance entre les courbes recette et coût est maximale (puisque Bénéfice = Recette – Coût).
On lit que cette production est d’environ 2.16 milliers de pièces produites.
B3. Pour x = 2 : B(2) = 4.79 – 2 = 2.79 Pour x = 2.5 : B(2.5) = 4.95 – 2.25 = 2.7
Le bénéfice maximale est donc d’environ 2.79 milliers d’euros soit 2790 € environ.
benef max
domaine de rentabilité
2 3
2 3 4 5
0 1
1
x y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0 1
5 6
x y
G1
G2
