Test 04

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Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Test 04 Terminale S – Fin avril 2009

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C_g C_f

0 1

1

x y

Mardi 28 avril 2009.

Mathématiques. TS. (1 h – sans calculatrice)

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :

a. Sur IR, f(x) = −3x(4x² + 3)³ b. Sur IR+, f(x) =

( )

⁴

2 3x 1

− + c. Sur IR, f(x) = cos(3x+1) d. Sur IR, f(x) = ₂⁶ ³

1 x

x x

+ + + 2. Calculer I = ²

1 1 0

3xe^{− +}^x dx

∫

3. F est la fonction définie sur IR par F(x) = (ax² + bx + c)e^3x .

a. Déterminer les réels a, b et c pour que F soit une primitive de la fonction f, définie sur IR, par f(x) = (3x² − 7x)e^3x

b. En déduire ⌡⌠ 0 1

f(x) dx

4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer ⌡⌠ 1 e

xlnx dx

5. Sur le graphique ci−contre sont représentées les fonctions f et g définies sur IR, par f(x) = −x² + 5x − 4 et g(x) = 2

3 x² − 4 Déterminer l’aire du domaine limité par les deux courbes.

(2)

2 Exercice 1

Déterminons une primitive de chacune des fonctions suivantes :

a. f(x) = −3x (4x²+ 3)³ de la forme u’u³ avec u(x) = 4x² + 3, u’(x) = 8x : une primitive est u⁴/4.

f(x) = −1

8 × 8x(4x²+ 3) ³ = −1

8× u’(x) u³ (x) donc F(x) = −1

8× ⁴^{( )} 4 u x

= − ¹

32(4x²+ 3) ⁴.

b. f(x) = ² ₄ (3x 1)

−

+ de la forme u u' ⁻⁴avec u(x) = 3x + 1, u’(x) = 3 : une primitive est

3

1 1

3 3

u

− = −

− f(x) = ² ₄

(3x 1)

−

+ = ²

−3× ³ ₄

(3x+1) donc F (x) =

( )

³

2 1

9× 3x 1 + .

c. f(x) = cos(3x+1) de la forme u’cos(u) avec u(x) = 3x + 1, u’(x) = 3 : une primitive est sin(u).

f(x) = cos(3x+1)= ¹

3× 3cos(3x+1) donc F (x) = ¹

3sin(3x+1).

d. f(x) = ⁶ ³ 3 ₂² ¹ 3 ^'

² 1 1

x x u

x x x x u

+ = + =

+ + + + dont une primitive est 3ln|u| donc F(x) = 3×ln|x² +x+ 3|.

Exercice 2

Calculons I = ¹ ^{² 1} ¹ ^{² 1} ² ¹ ¹

( )

0 0 ' 0

3 3 3

3 2 1

2 u 2 2

x x x

u e

xe^{− +}dx= − − xe^{− +} dx= − ^_e^{− +}^_ = − −e

∫ ∫

.

Exercice 3

F est la fonction définie sur IR par F(x) = (ax² + bx + c)e^3x .

a. Déterminons les réels a, b et c pour que F soit une primitive de la fonction f, définie sur IR, par f(x) = (3x² − 7x)e^3x.

METHODE : F est une primitive de f sur IR, à condition que F’(x) = f(x).

Produit de fonctions dérivables sur IR, F est dérivable sur IR et F’(x) = (ax² + bx + c)3e^3x + (2ax + b)e^3x = (3ax² + 3bx + 3c + 2ax + b)e^3x

= (3ax² + (3b + 2a)x + (3c + b))e^3x . Par identification avec f(x), on obtient :



^{3a = 3} 3b + 2a = -7 3c + b = 0

d’où



^{a = 1} b = -3 c = 1

et donc F(x) = (x² − 3x + 1)e^3x.

b. I = ⌡⌠ 0 1

f(x) dx = [F(x)]1

0 = F(1) − F(0) = −e³− 1

Exercice 4

Le ln nous pose problème (difficile à intégrer) donc posons : _^^u(x) = lnx v'(x) = x on a

 



u(x) = 1 x v'(x) = x²

2 .

(3)

3

Et par conséquent, par intégration par parties, I = [x² 2 lnx]e

1− ⌡⌠ 1 e x

2 dx = e² 2 − [x²

4 ] e 1 = e²

2 −e² 4 + 1

4 = 1

4 (e²+1).

Exercice 5

Sur le graphique ci−contre sont représentées les fonctions f et g définies sur IR, par f(x) = −x² + 5x − 4 et g(x) = 2

3 x² − 4

Avant de déterminer l’aire du domaine limité par les deux courbes, nous allons déterminer les points d’intersection de Cf et Cg

(la lecture graphique n’est qu’une lecture…).

→Pour déterminer les points d’intersections des deux courbes, on résout l’équation f(x) = g(x).

f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) =0 ⇔… ⇔-5

3 x² + 5x = 0 ⇔ 5x(-1

3 x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3

→Déterminons l’aire cherchée (en unités d’aires):

Le graphique nous indique que : sur [0 ; 3], Cf est au dessus de Cg . On le vérifie facilement par le calcul, en étudiant le signe du trinôme f(x) – g(x).

Soit A l’aire cherchée : f-g étant continue et positive sur [0 ;3], l’aire est donnée par A = ⌡⌠

0

3 [f(x) − g(x)]dx =

⌡⌠

0 3 (-5

3 x² + 5x) dx = [-5 9 x³ + 5

2 x²]3 0 = -5

9 3³ + 5

2 3² = −15 + 45/2 = 15/2 u.a.

2 3 4

-1 2

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y