Enoncé D629 (Diophante) Partages à la chaîne
On trace quatre points A, B, C et D sur la circonférence d’un cercle de rayon unité et de centre O qui déterminent trois angles AOB = 153°, AOC = 343° et AOD= 76°.
A la règle et au compas (avec si possible le minimum de traits) : Q1 – Partager l’angle AOB en trois angles de 51° chacun, Q2 – Partager l’angle AOC en sept angles de 49° chacun,
Q3 – Partager l’angle AODen trois angles qui sont respectivement de 1°, 25° et 50°.
Pour les plus courageux :
Un cercle de rayon unité et de centre O est tracé.
Q4 – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360°
bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en trois angles égaux exprimés également en nombre entier de degrés.
Q5 – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360°
bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en k angles égaux de 1° chacun.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Le cercle (A, AC) (centre A, rayon AC), recoupe le cercle unité en E; j’écriraiE(17) pour résumer (OA, OE) = 17°. Le cercle (E, EC) recoupe le cercle unité en F(51). Le cercle (F, F A) recoupe le cercle unité enG(102).
F etGsont les points de partage demandés, obtenus avec 3 cercles.
Question 2
La droiteAOrecoupe le cercle unité enH(180). Le cercle (D, BH) recoupe le cercle unité en I(49). On obtient ensuite J(98) par le cercle (I, IA) ; (L,196) par le cercle (J, J A) ; K(147) et M(245) par le cercle (L, IA) ; enfinN(294) par le cercle (M, IA).
I, J, K, L, M, N sont les points de partage demandés, obtenus avec une droite et 6 cercles.
Question 3
P est l’un des points d’intersection des cercles (B, BC) et (C, BC). La droiteOP coupe l’arc AD en Q(68). Le cercle (D, DA) recoupe le cercle unité en R(152). Le cercle (Q, CA) coupe l’arc AQ en S(51). Le cercle (A, RB) coupe l’arcAS en T(1).
Les arcsAT, T S, SD de respectivement 1°, 50°, 25° sont obtenus avec une droite et 5 cercles.
Question 4
Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec règle et compas ont un nombre de côtés dont le plus grand diviseur impair est le produit de nombres premiers de Fermat distincts. Pour fournir des angles exprimés en nombre entier de degrés, ce nombre de côtés doit diviser 360. Ainsi le nombre de côtés doit diviser 120, et les angles qui peuvent être construits (en l’absence d’autre angle donné) sont multiples de 3°.
Les angles de k degrés de cette question sont le triple d’angles exprimés par un nombre entier de degrés ; ainsikest multiple de 3. Sikest multiple de 9, on peut construire l’angle de k/3 degrés ; c’est impossible si k est multiple de 3 et non de 9.
Les angles qui peuvent êre partagés comme demandé sont les 360/9 = 40 angles multiples de 9 degrés.
Question 5
Outre l’angle donné dekdegrés, on peut construire un angle de 3°. Ensuite, l’identité de Bachet permet de construire, par reports répétés d’angles, l’angle deP GCD(k,3) degrés.
Pour obtenir l’angle de 1°, il faut quekne soit pas divisible par 3, ce qui est le cas de 240 entiers entre 1 et 359.
