Analyse num´ erique matricielle
M73010 (9 ECTS, coef. 3)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal Pr´e-requis : L1-L2 math´ematiques
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :Math´ematiques Appliqu´ees Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.
Programme des enseignements
– Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire : Polynˆome annulateur, polynˆome mi- nimal, polynˆome caract´eristique, valeurs propres, sous-espaces caract´eristiques, dia- gonalisation, triangularisation. Proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Ma- trices unitaires, normales, sym´etriques, hermitiennes. Formes bilin´eaires, formes qua- dratiques, th´eor`eme de Sylvester.
–Analyse matricielle : Normes dansKn, les normes`p. Normes matricielles, normes subordonn´ees. Valeurs singuli`eres d’une matrice. Norme de Frobenius. Matrices her- mitiennes : quotient de Rayleigh. Rayon spectral d’une matrice. Suite des puissances d’une matrice.
–M´ethodes directes pour les syst`emes lin´eaires : ´elimination de Gauss. Factorisation LU, unicit´e. Condition n´ecessaire et suffisante d’existence. Aspects algorithmiques.
M´ethode de Gauss avec pivot. Factorisation P A = LU. Factorisation de Choleski.
Factorisation QR. Probl`emes de moindres carr´es.
–M´ethodes it´eratives pour les syst`emes lin´eaires : - m´ethodes stationnaires : m´ethodes de Jacobi, de Gauss Seidel, de sur relaxation. M´ethodes par blocs. M´ethodes des directions altern´ees. - m´ethodes de descente : Gradient `a pas fixe. Gradient `a pas optimal. Gradient conjugu´e. M´ethodes de r´esidu minimal.
–M´ethodes de calcul des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : M´ethodes de la puissance et de la puissance inverse. M´ethode QR. M´ethode de Jacobi.
Objectifs :renforcement des connaissances en alg`ebre lin´eaire. Maˆıtrise des logiciels employ´es, aper¸cu de l’analyse num´erique des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Tr`es utile pour les concours de recrutement et le master de math´ematiques appliqu´ees.
