Correction DS 4 – d’après CCP 1 PSI 2008 (Pb 1), Centrale 1 PSI 1997 (Pb 2)

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/ds4.pdf

DS 4 – Durée 4h – Samedi 8 janvier 2022 PC

Les calculatrices sont autorisées.

Problème I

Notations : On note :

• R: l’ensemble des nombres réels,

• ln : la fonction logarithme népérien.

Pour tout nombre réelxtel que la série X

nÊ1

(−1)ⁿ

n^x converge (resp. la série X

nÊ0

ln¡

1+e^−nx¢

converge), on noteθ(x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n^x (resp.f(x)=

+∞X

n=0

ln¡

1+e^−nx¢

) la somme de cette série.

Objectifs :

On se propose d’étudier quelques propriétés des fonctionsθetf.

Dans la partie I, on calcule la valeur exacte deθ(1) et une valeur approchée deθ(3). Dans la partie II, on étudie la nature d’une intégrale et on exprime sa valeur en fonction deθ(2). La partie III est consacrée à une étude de la fonctionf en liaison avecθ(2). Dans la partie IV, on étudie de façon plus précise la continuité de la fonctionθ.

Partie 1 Quelques valeurs de la fonction_θ

1. Préciser, selon la valeur du nombre réelx, la limite de 1

n^x lorsque l’entierntend vers+∞.

2. Montrer que l’ensemble de définition de la fonctionθestE=]0,+∞[.

Pour tout entier naturel n, on pose Jn= Z _π/4

0

(tant)ⁿdt .

3. Préciser une primitive de la fonctiont7→tantet calculerJ₁. 4. Montrer que la suite (Jn) est convergente et préciser sa limite.

5. CalculerJn+J_n+2pour tout entier natureln.

6. En utilisant le résultat obtenu à la question précédente, établir (par exemple par récurrence), pour tout entier naturelnnon nul, la relation :

n

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1+(−1)ⁿ⁺¹J2n+1

7. En déduire la valeur deθ(1).

8. Recherche d’une valeur approchée deθ(3).

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose :Sn=

n

X

k=1

(−1)^k+1 k³ .

(a) En utilisant le langage de programmation PYTHON, écrire une fonctionS(n)qui calcule et renvoie la valeur deS_npour l’entiernpassé en paramètre.

(b) Écrire les instructions permettant d’afficher la valeur deS30.

(c) Le nombreS30est-il une valeur approchée deθ(3) à 10⁻⁴près ? On justifiera la réponse.

Partie 2 Calcul d’une intégrale à l’aide de _θ(2)

Pour tout entier naturel n et tout nombre réel x, on note gn(x)=(−1)ⁿxⁿ⁺¹ n+1 . Pour tout nombre réel x tel que la série X

nÊ0

gn(x)converge, on note

g(x)=

+∞X

n=0

gn(x)

9. Représenter graphiquement, dans un repère orthonormé et sur le même dessin, les fonctionsg1, g2etg3sur l’intervalle [−1, 1].

10. Démontrer que la fonctiongest définie au moins sur l’intervalle ]−1, 1[.

11. Soitaun nombre réel tel que 0<a<1. Démontrer que la fonctiongest de classe C¹sur [−a,a].

Que peut-on en déduire ?

12. Pour tout nombre réelxtel que−1<x<1, expliciterg⁰(x).

13. Démontrer que, pour tout nombre réelxtel que−1<x<1, on a l’égalitég(x)=ln(1+x).

14. Montrer l’existence de l’intégrale Z 1

0

ln(1+x) x dx.

15. À l’aide d’un théorème d’échange série intégrale, démontrer que Z 1

0

ln(1+x)

x dx=θ(2).

Partie 3 Étude d’une fonction

Pour tout entier naturel n et tout nombre réel x, on note un(x)=ln(1+e^−nx). Pour tout nombre réel x tel que la sérieP

nÊ0un(x)converge, on note f(x)=

+∞X

n=0

un(x)

la somme de cette série. On se propose d’étudier quelques propriétés de la fonction f en utilisant en particulier

θ(2)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n²

16. Montrer que la fonctionf est définie sur ]0,+∞[.

On note désormaisE l’image par f de l’intervalle]0,+∞[.

17. Soita>0. Démontrer que la fonctionf est continue sur [a,+∞[. Que peut-on en déduire ? 18. Montrer que la fonctionf est strictement monotone sur ]0,+∞[.

19. Justifier l’affirmation :Eest un intervalle deR^.

20. Montrer que la fonctionf admet une limite finieλ(que l’on précisera) en+∞.

Pour tout nombre réel x strictement positif, on désigne parψxla fonction définie surR^{+par :} ψx(t)=ln(1+e^{−t x})

21. Justifier la convergence de l’intégrale Z _+∞

0 ψx(t) dt. 22. Établir, pour tout nombre réelx>0, la double inégalité :

Z _+∞

0 ψx(t) dtÉf(x)Éln 2+ Z _+∞

0 ψx(t) dt

23. Montrer qu’il existe une constanteµ(que l’on précisera) telle que pour tout nombre réelx strictement positif, on ait la double inégalité :

µ

x Éf(x)Éλ+µ x On utilisera pour cela le résultat de la question 16.

24. En déduire la limite dex f(x) lorsquextend vers 0 et préciser l’intervalleE. Partie 4 Propriétés de la fonction _θ

Rappel :θ(x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n^x .

25. Montrer que pour tout nombre réelxdeE=]0,+∞[, on a la double inégalité : 1− 1

2^x Éθ(x)É1

26.En déduire que la fonctionθest bornée surEet qu’elle admet une limite finie en+∞; on précisera cette limite.

Étude de la continuité de la fonctionθ.

27. Soita>1. En utilisant la notion de convergence normale, montrer que la fonctionθest continue sur l’intervalle [a,+∞[. Que peut-on en déduire ?

28. Montrer que la fonctionθest continue surE.

Problème II

On considère une suite(an)_nÊ1de nombre complexes et(λn)_nÊ1une suite strictement croissante de réels strictement positifs telle que :

n→+∞lim λn= +∞

Pour tout entier naturel non nul n, on définit surRla fonction unpar :∀x∈R^{, u}n(x)=ane^−λnx. Partie 1 Étude d’un cas particulier

Dans cette partie (uniquement) on choisitλn=ln(n+1)et an=(−1)ⁿln(n+1)

n(n+1) pour tout entier nÊ1.

On note U la fonction définie par : U(x)=

+∞X

n=1

un(x).

1. Montrer queUest définie au moins sur [0,+∞[.

2. Montrer queUest une fonction continue sur [0,+∞[.

3. Déterminer lim

x→+∞U(x).

4. Soit un entierpÊ1. Montrer queUest une fonction de classe C^psur [0,+∞[.

5. Déterminer une valeur approchée à 10⁻¹près des réelsU(0) etU⁰(0).

6. Étudier le signe deU⁰(x) pourxÊ0.

7. Donner l’allure de la représentation graphique deUdans un repère orthogonal (préciser les unités choisies sur chacun des axes).

8. Établir queu_nest une fonction intégrable sur [0,+∞[ pour toutnÊ1.

9. Déterminer la nature de la série numérique X

nÊ1

µZ _+∞

0 |un(x)|dx

¶ . Partie 2 Étude d’une fonction

Soitϕla fonction continue définie par :

∀t∈R^,ϕ(t)=sup {1− |t−1|, 0}

On suppose que(r_n)_nÊ1est une suite de réels tels que :

∀nÊ1, 0<rn<λn+1−λn

2 Pour tout t∈R, on pose : g(t)=

+∞X

n=1

an

rnϕ µt−λn

rn

¶ .

10. Représenter graphiquement la fonctionϕet calculer Z

Rϕ(t) dt.

11. Montrer que la fonctiongest définie et continue sur [0,+∞[.

12. Prouver que pour tout entierpÊ1 : Z _λp+1

λp

g(t) dt=ap.

Correction DS 4 – d’après CCP 1 PSI 2008 (Pb 1), Centrale 1 PSI 1997 (Pb 2)

Problème I

Partie 1 Quelques valeurs de la fonction_θ

1. On donne en caractère gras les réponses aux questions les plus faciles de sujet, qui doivent être rédigées avec un maximum de rigueur et de détails.

Six>0, 1

n^x −−−−−→

n→+∞ 0, Six=0, 1

n^x −−−−−→

n→+∞ 1, Six<0, 1

n^x −−−−−→

n→+∞ +∞

ÏTrois limites 3

2. SupposonsxÉ0. Alors d’après la question précédente, la suite(n^−x)ne converge pas vers0, de même que la suite((−1)ⁿn^−x). Le terme général de la sérieP

nÊ1(−1)ⁿn^−xne tend pas vers0donc cette série diverge. Supposons maintenantx>0et notonsan=n^−x. La suite(an)est positive, donc la sérieP

nÊ1(−1)ⁿanest alternée. D’après la question précédente, la suite(an)converge vers0. De plus, la fonctiont7→t^−xest décroissante sur]0,+∞[donc la suite(an)est décroissante. D’après le critère propre aux séries alternées, la sérieP

nÊ1(−1)ⁿanconverge. La sérieP

nÊ1(−1)ⁿn^−xconverge si, et seulement si,x>0; le domaine de définition deθestE=]0,+∞[.

ÏCasxÉ0 1

ÏThéorème des séries alternées 3 Trois hypothèses ÏConclusion : domaine]0,+∞[ 1

3. Considérons la fonctionf :t7→ −ln|cost|définie surD=R\ {π/2+kπ|k∈Z}. La fonctionf est de classe C¹par composition et :

∀t∈D, f⁰(t)= sint

cost =tant

La fonctionf :t7→ −ln|cost|est une primitive det7→tant. En particulier : J1=

Z _π/4

0

tantdt=[−ln|cost|]^π₀^/4= −ln cosπ

4+ln cos 0= −ln p2

2 =lnp 2 Ït7→ −ln|cost| 2 1 si oubli de la valeur absolue

ÏJ1=lnp 2 1

4. Soitn∈N. On réalise dans l’intégraleJnle changement de variablex=tant, qui est de classe C¹ sur [0,π/4]. On obtient :

Jn= Z 1

0

xⁿ 1+x²dx Pourx∈[0, 1], on a les inégalités 0É xⁿ

1+x²Éxⁿdonc par croissance de l’intégrale : 0ÉJnÉ

Z 1 0

xⁿdx= 1

n+1−−−−−→

n→+∞ 0 Par encadrement, la suite (J_n) converge vers 0.

Rq. Il était également possible d’utiliser le théorème de convergence dominée.

ÏJustification correcte 2 0 si on se contente de dire que la fonction dans l’intégrale tend vers 0 ÏLa limite est0 1

5. Pour toutn∈N,Jn+J_n+2= Z _π/4

0 (1+tan²t) tanⁿtdt. On reconnait une dérivée et ainsi : Jn+Jn+2=

·tanⁿ⁺¹t n+1

¸π/4

0 = 1

n+1 ÏCalcul 2

6. Pourn∈N^∗, on définit l’hypothèse de récurrence : H(n) :

n

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1+(−1)ⁿ⁺¹J2n+1

Pourn=1,

1

X

k=1

(−1)^k+1 2k =1

2et d’après la question précédente : J1+(−1)¹⁺¹J3=J1+J3=1 2

Par conséquent,H(1)est vraie. SoitnÊ1et supposonsH(1)vraie. Alors :

n+1X

k=1

(−1)^k+1

2k =

n

X

k=1

(−1)^k+1

2k +(−1)ⁿ⁺² 2(n+1) On applique l’hypothèse de récurrence :

n+1

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1+(−1)ⁿ⁺¹J2n+1+(−1)ⁿ⁺²

2(n+1)=J1+(−1)ⁿ⁺² µ 1

2(n+1)−J2n+1

¶

D’après la question précédente,J_2n+1+J_2n+3= 1

2(n+1)donc :

n+1

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1+(−1)ⁿ⁺²J2n+3

On en déduit queH(n+1)est vraie. Par récurrence :

∀nÊ1,

n

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1+(−1)ⁿ⁺¹J2n+1

ÏRécurrence 5 Hypothèse 1, initialisation 1, hérédité 2, conclusion 1

7. D’après la question 4, la suite (Jn) converge vers 0. Ainsi, la suite ((−1)ⁿ⁺¹J_2n+1) converge vers 0 et avec la relation de la question précédente :

n

X

k=1

(−1)^k+1

2k =J₁+(−1)ⁿ⁺¹J_2n+1−−−−−→_n

→+∞ J₁=lnp 2

Par définition, la sérieX

kÊ1

(−1)^k

2k converge et :

+∞X

k=1

(−1)^k+1

2k =J1=1 2

+∞X

k=1

(−1)^k+1

k =1

2θ(1) On en déduit queθ(1)=2 lnp

2=ln 2.

ÏJustifications (2),θ(1)=ln 2(1) 3

8. (a) On utilise une variables, initialisée à 0, à laquelle on ajoute l’un après l’autre les termes (−1)^k+1/k³à l’aide d’une bouclefor.

def S(n):

s = 0

for k in range(1,n+1):

s = s+(-1)**(k+1)/k**3 return s

ÏExplications 2

ÏProgramme 4 0 ou 2 ou 4 (b) On écrit simplement :

print(S(30)) 0.9015250830703634 ÏInstruction print 1 (c) La sérieP

kÊ1(−1)^k+1/k³est alternée, convergente, et sa somme estθ(3). D’après le cours, on a pour tout entier natureln:

|θ(3)−Sn| =

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

k=n+1

(−1)^k+1 k³

¯

¯

¯

¯

¯ É 1

(n+1)³ En particulier :

|θ(3)−S30| É 1 31³É 1

30³ = 1

27·10³ É 1 10⁴ Par conséquent,S30est une valeur approchée deθ(3) à 10⁻⁴près.

ÏEncadrementÉ10⁻⁴(1), conclusion (1) 2

Partie 2 Calcul d’une intégrale à l’aide de _θ(2)

9. On donne ci-dessous les intructions en langage PY THONpermettant d’obtenir la représentation graphique.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt def g(n,x):

return (-1)**n*x**(n+1)/(n+1) x = np.linspace(-1,1,100)

plt.plot(x,g(1,x),'-',label='$g_1$') plt.plot(x,g(2,x),'--',label='$g_2$') plt.plot(x,g(3,x),'-.',label='$g_3$')

plt.arrow(0,0,0.4,0,width=0.005,head_width=0.025,head_length=0.05,fc='k',ec='k') plt.arrow(0,0,-0.4,0,width=0.005,head_width=0.025,head_length=0.05,fc='k',ec='k') plt.legend()

plt.axis("equal")

−1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

g 1

g 2

g 3

ÏReprésentations graphiques 7 Repère 1, position relative des courbes 1, (im)parité 1, tangente horizontale 1, allure générale 3

10. Pourx∈]−1, 1[:

¯

¯gn(x)¯

¯=|x|ⁿ⁺¹ n+1 = o

n→+∞(|x|ⁿ) Comme|x| <1, la série géométriqueP

|x|ⁿconverge donc par comparaison de séries à termes positifs, la sériePgn(x)converge absolument donc converge. Ainsi, la fonctiongest définie au moins sur]−1, 1[.

ÏComparaison, référence, condition de cv, comp. SATP, conclusion 5 11. Soita∈]0, 1[. D’après la question précédente, la série de fonctionsP

gnconverge simplement sur]−1, 1[, donc sur[−a,a]. Pour tout entier natureln, la fonctiongnest de classeC¹sur[−a,a]et :

∀x∈[−a,a],g_n⁰(x)=(−1)ⁿ(n+1)xⁿ

n+1 =(−1)ⁿxⁿ On a alors la majoration :

∀x∈[−a,a],∀n∈N^,¯¯gn⁰(x)¯

¯= |x|ⁿÉaⁿ Par définition dekg_n⁰k∞,[−a,a], on obtient :

∀n∈N,°

°g_n⁰°

°∞,[−a,a]Éaⁿ

Comme|a| <1, la série géométriquePaⁿ converge donc par comparaison de séries à termes positifs, la série de fonctionsP

g_n⁰ converge normalement sur[−a,a]. D’après le théorème de classe C¹, la fonctiongest de classeC¹sur[−a,a]. Ceci étant vrai quel que soita∈]0, 1[, on en déduit que gest de classeC¹sur]−1, 1[.

ÏFonctionsgnC¹ 1 ÏConvergence simple 1

ÏMajoration avec quantificateurs 1 0 si pas quantifié ÏNorme∞(1), terme série convergente (1), CVN[−a,a](1) 3 ÏC¹[−a,a](1),C¹]−1, 1[(1) 2

12. D’après le théorème de classeC¹:

∀x∈]−1, 1[,g⁰(x)=

+∞X

n=0

g_n⁰(x)=

+∞X

n=0

(−x)ⁿ= 1 1+x ÏPg_n⁰ 1 et calcul 1 2

13. On ag(0)=

+∞X

n=0

gn(0)=0. Avec la question précédente, on a alors :

∀x∈]−1, 1[,g(x)=g(0)+ Z x

0

g⁰(t) dt=0+ Z x

0

1

1+tdt=[ln(1+x)]^x₀=ln(1+x) ÏValeur en01, justification correcte 1 2

14. On définit pour la suite :

h:x7→ln(1+x) x

La fonctionhest continue sur]0, 1]et avec les équivalents usuels : h(x) ∼

x→0

x x=1

Ainsi,hest prolongeable par continuité en0. Par conséquent, l’intégrale Z 1

0

ln(1+x)

x dx converge.

ÏContinue 1, étude en01, conclusion correctement rédigée 1 3 15. On définit, pourn∈N^,hn: [0, 1] → R

x 7→ (−1)ⁿxⁿ n+1 .

D’après la question 13 on a :

∀x∈]0, 1[, ln(1+x)

x =

+∞X

n=0

h_n(x) Pourx∈[0, 1], on a :

• (−1)ⁿhn(x)= xⁿ

n+1de signe constant positif ;

• |hn(x)| =xⁿ

n −−−−−→

n→+∞ 0 ;

• |hn+1(x)| − |hn(x)| =xⁿ⁺¹ n+2− xⁿ

n+1É0 carn+2Ên+1 etxⁿ⁺¹Éxⁿ.

D’après le théorème des séries alternées, la série de fonctionshnconverge simplement sur [0, 1]. On noteSla somme de cette série, on a déjà que :

∀x∈]0, 1[,S(x)=ln(1+x) x

Les fonctionshnsont continues sur [0, 1] et avec le théorème des séries alternées :

∀x∈[0, 1], ∀N∈N^,

¯

¯

¯

¯

¯ S(x)−

N

X

n=0

hn(x)

¯

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

hn(x)

¯

¯

¯

¯

¯

É |hN+1(x)| = x^N+1 N+2É 1

N+2

On en déduit que la série de fonctionsP

hnconverge uniformément sur [0, 1]. On utilise le théorème d’échange série intégrale avec convergence uniforme sur le segment [0, 1] :

Z 1 0

ln(1+x) x dx=

Z 1 0

S(x) dx= Z 1

0

µ_+∞

X

n=0

hn(x)

¶ dx=

+∞X

n=0

Z 1 0

hn(x) dx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ (n+1)²

(l’intégrale de départ est impropre mais elle est égale à l’intégrale de la fonction continueSsur le segment [0, 1]). Puis avec un changement d’indice (en utilisant (−1)ⁿ⁻¹=(−1)ⁿ⁺¹) :

Z 1 0

ln(1+x) x dx=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n² =θ(2) ÏThéorème des séries alternées 3

ÏMajoration (1), quantifiée (1), convergence uniforme (1) 3 ÏThéorème d’échange et fin du calcul 2

Partie 3 Étude d’une fonction 16. On supposex<0. Alorse^−nx−−−−−→_n

→+∞ +∞, donc la suite(ln(1+e^−nx)ne converge pas vers0ce qui montre que la sérieP

nÊ0ln(1+e^−nx)diverge. De même, six=0, alorsln(1+e^−nx)=ln(2)6=0pour toutn∈N, donc la sérieP

nÊ1ln(1+e^−nx)diverge. Supposons maintenantx>0, alorse^−nx−−−−−→_n

→+∞ 0.

Rappelons queln(1+t) ∼

t→0tce qui donne :

ln(1+e^−nx)_n ∼

→+∞e^−nx La sérieP

nÊ0e^−nxest une série géométrique de raisone^−x∈[0, 1[, c’est donc une série convergente.

Par comparaison de séries à termes positifs, la sérieP

nÊ0ln(1+e^−nx)converge. Finalement, la fonctionf est définie sur]0,+∞[.

ÏCasxÉ0 2 1 seulement si la distinctionx=0,x<0est mal gérée ÏCasx>0 3 Équivalent, référence, comparaisons séries à termes positifs ÏConclusion : domaine]0,+∞[ 1

17. Pour toutnÊ0, la fonctionu_nest continue sur]0,+∞[. Soita>0fixé, la fonctionx7→ln(1+ e^−nx)étant décroissante surR^:

∀nÊ0,∀x∈[a,+∞[, 0Éln(1+e^−nx)Éln(1+e^−na)

On en déduit quekunk∞,[a,+∞[Éln(1+e^−na). D’après la question précédente, la série numérique Pln(1+e^−na)est convergente, donc la série de fonctionP

nÊ0unconverge normalement sur[a,+∞[.

Par application du théorème de continuité pour les séries de fonctions, la sommef de cette série est continue sur[a,+∞[. Ceci étant vrai quel que soita>0, la fonctionf est continue sur]0,+∞[.

ÏFonctionsuncontinues 1

ÏMajoration avec quantificateurs 1 0 si pas quantifié ÏNorme∞(1), terme série CV (1), CNV[a,+∞[(1) 3 ÏContinuité[a,+∞[(1), continuité]0,+∞[(1) 2

18. Soientx,y∈]0,+∞[ avecx<y. La fonction exp est strictement croissante surR, donc pour nÊ1 : e^−nx>e^{−n y}. La fonction ln est strictement croissante surR^+∗donc :

∀nÊ1, ln(1+e^−nx)>ln(1+e^{−n y})

La sérieP

nÊ1(ln(1+e^−nx)−ln(1+e^{−n y})) est convergente et à termes strictement positifs. Par consé- quent sa somme est strictement positive et on en déduit :

f(x)−f(y)=

+∞X

n=0

ln(1+e^−nx)−

+∞X

n=0

ln(1+e^{−n y})=

+∞X

n=1

(ln(1+e^−nx)−ln(1+e^{−n y}))>0 Ceci montre quef est strictement décroissante sur ]0,+∞[.

ÏJustifications 2

19. L’image d’un intervalleIpar une fonction continue définie au moins surI est un intervalle (c’est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). Par conséquent, l’imageE de l’intervalle ]0,+∞[ par la fonctionf, qui est continue, est un intervalle deR^.

ÏJustification 2 Les mots : image, intervalle, continue doivent apparaitre 20. Pourx>0, on peut écriref sous la forme :

f(x)=ln(2)+ln(1+e^−x)+ln(1+e^−2x)+ln(1+e^−3x)+ · · · et il semble donc quef(x)−−−−−→

x→+∞ ln 2. Pour le justifier, on note que tous les termes de la somme sont positifs et on rappelle que pour toutt> −1, ln(1+t)Ét. On a alors :

0Éf(x)−ln(2)=

+∞X

n=1

ln(1+e^−nx)É

+∞X

n=1

e^−nx

Le majorant est la somme d’une série géométrique. En effectuant le calcul, on obtient : 0Éf(x)−ln(2) e^−x

1−e^−x = 1

e^x−1−−−−−→

x→+∞ 0 Par encadrement, on a bien f(x)−−−−−→_x

→+∞ ln(2).

ÏJustifications (2), limiteln(2)(1) 3

21. On considèrex>0. La fonctionψxest continue et positive sur[0,+∞[. De plus,e^{−t x}−−−−→_t

→+∞ 0 puisquex>0et ainsi :

ψx(t)=ln(1+e^{−t x})_t ∼

→+∞e^{−t x} L’intégraleR_+∞

0 e^{−t x}dxest une intégrale de référence qui converge carx>0, donc par comparaison de fonctions positives, l’intégraleR_+∞

0 ψx(t) dtconverge.

ÏFonction continue sur[0,+∞[ 1

ÏReste 3 Équivalent en+∞, intégrale de référence, comparaison fonctions positives 22. On considère toujoursx>0. La fonctionψxest continue et décroissante sur [0,+∞[ donc

∀nÊ0, Z _n+1

n ψx(t) dtÉψx(n)=ln(1+e^−nx) En ajoutant ces inégalités on obtient :

Z _+∞

0 ψx(t) dtÉ

+∞X

n=0

ln(1+e^−nx)=f(x)

n n+1 ψx(n)

(la convergence de la série et de l’intégrale ont été démontrées dans les question précédentes). De même :

∀nÊ1, Z n

n−1ψx(t) dtÊψx(n)=ln(1+e^−nx) et en ajoutant ces inégalités on obtient :

Z _+∞

0 ψx(t) dtÊ

+∞X

n=1

ln(1+e^−nx)=f(x)−ln(2)

n−1 n ψx(n)

On a démontré les inégalités :

∀x>0, Z _+∞

0 ψx(t) dtÉf(x)Éln(2)+ Z _+∞

0 ψx(t) dt ÏInégalités 4 Inégalité 1, ajouter 1, dessin 1, premier terme

23. Soitx>0. On calcule l’intégraleR_+∞

0 ψx(t) dtavec le changement de variable, de classe C¹et bijectif sur ]0,+∞[,y=e^−xt. L’intégraleR_+∞

0 ψx(t) dtétant convergente on a : Z _+∞

0 ψx(t) dt= Z _+∞

0

ln(1+e^−xt) dt= Z 0

1

ln(1+y)−1 x ydy=1

x Z 1

0

ln(1+y)

y dy

Avec la question 16, Z _+∞

0 ψx(t) dt=θ(2)

x et avec les inégalités de la question 22 :

∀x>0, θ(2)

x Éf(x)Éln 2+θ(2) x ÏCalculR_+∞

0 ψx(t) dt 2 1 pour la valeurθ(2)/x ÏInégalités précédentes 1

24. On multiplie les inégalités précédentes parx>0 :

∀x>0,θ(2)Éx f(x)Éxln 2+θ(2) Par encadrement, x f(x)−−−→

x→0 θ(2) et d’après le théorème des séries alternées,θ(2)>0, donc : f(x) ∼

x→0⁺

θ(2)

x donc f(x)−−−−→

x→0⁺ +∞

La fonctionf est continue et strictement décroissante sur ]0,+∞[, donc : E=f(]0,+∞[)=

¸

lim+∞f, lim

0⁺ f

·

=] ln 2,+∞[

Ïlim_x→0x f(x) 2 1 seulement si le mot encadrement n’apparait pas ÏIntervalle 1

Partie 4 Propriétés de la fonction _θ

25. Pourx>0,θ(x) est la somme de la série alternée convergenteP

nÊ1(−1)ⁿ⁺¹n^−x. PourN Ê1, notonsSN(x) la somme partielle de cette série :

SN(x)=

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n^x

D’après le cours, les suites (S2N(x)) et (S_2N+1(x)) sont adjacentes et leur limite commune estθ(x). On a en particulier :

S1(x)=1 et S2(x)=1− 1 2^x

Ainsi, la suite (S2N(x)) est croissante et la suite (S2N+1(x)) est décroissante. En particulier,S2(x)É θ(x)ÉS1(x), donc :

∀x>0, 1− 1

2^x Éθ(x)É1 ÏEncadrements du théorème des séries alternées et conclusion 2 26. Pourx>0,2^x=exp(xln 2)>1, donc1−1/2^x>0. Ainsi :

∀x>0, 0<θ(x)É1

Ceci montre que la fonctionθest bornée sur]0,+∞[. De plus,2^x=exp(xln 2)−−−−−→_x

→+∞ +∞, donc par encadrement :

θ(x)−−−−−→

x→+∞ 1

ÏJustification très rigoureuse du fait que la fonction est bornée 1 Ïθ(x)−−−−−→

x→+∞ 1 2 1 seulement si le mot encadrement n’apparait pas 27. PournÊ1, on définit la fonction :

vn:x7→(−1)ⁿ⁺¹

n^x =(−1)ⁿ⁺¹exp(−xlnn) Chaque fonctionvnest continue sur]0,+∞[. Soita>1fixé :

∀nÊ1,∀x∈[a,+∞[,|v_n(x)| =exp(−xlnn)Éexp(−alnn)= 1 n^a On en déduit quekv_nk∞,[a,+∞[Én^−a. La sérieP

nÊ1n^−a est une série de Riemann convergente puisquea>1, donc la série de fonctionsP

nÊ1vnconverge normalement sur[a,+∞[. Par appli- cation du théorème de continuité pour les séries de fonctions, la fonctionθ, somme de la série PnÊ1v_n, est continue sur[a,+∞[. Ceci étant vrai quel que soita>1, on en déduit queθest continue sur]1,+∞[.

ÏContinuité des fonctions 1

ÏMajoration rigoureuse et quantifiée sur[a,+∞[ 1 0 si pas quantifié ÏNorme∞(1), terme général série CV (1), CVN[a,+∞[(1) 3

ÏContinuité[a,+∞[(1), continuité]1,+∞[(1) 2

28. On considèrea>0 fixé. Pourn∈N^∗, la fonctionv_nest continue sur [a,+∞[. On définit pour N∈N^∗la somme partielle :

S_N:x∈]0,+∞[7→

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n^x

ainsi que le reste d’ordreN :RN=θ−SN. D’après les théorème des séries alternées :

∀x∈[a,+∞[,∀N∈N^∗,|θ(x)−S_N(x)| = |R_N(x)| É |v_N+1(x)| = 1

(N+1)^x É 1 N^a On en déduit quekθ−SNk∞,[a,+∞[ÉN^−a−−−−−→

N→+∞ 0 donc par encadrementkθ−SNk∞,[a,+∞[−−−−−→

N→+∞ 0.

Ainsi, la série de fonctionsPvnconverge uniformément sur [a,+∞[. Par application du théorème de

continuité, la fonctionθest continue sur [a,+∞[ et ceci étant vrai quel que soita>0, la fonctionθ est continue sur ]0,+∞[.

ÏContinuité des fonctions 1

ÏConsidérera>0(1), majoration rigoureuse sur[a,+∞[(1) 2 ÏNorme∞(1), majorant tend vers0(1), CVU[a,+∞[(1) 3 ÏContinuité[a,+∞[(1), continuité]0,+∞[(1) 2

Problème II

Partie 1 Étude d’un cas particulier 1. On a ici pournÊ1 :

u_n(x)=(−1)ⁿln(n+1)

n(n+1)e^−xln(n+1) Pourx∈[0,+∞[, on a e^−xln(n+1)É1 donc :

|un(x)| =ln(n+1)

n(n+1)e^−xln(n+1)= O

n→+∞

µln(n+1) n(n+1)

¶

|un(x)| = o

n→+∞

µ 1 n^3/2

¶

par croissances comparées

La série de RiemannPn^−3/2 converge puisque 3/2>1 donc par comparaison de séries à termes positifs la sérieP

un(x) converge absolument donc converge. On en déduit queU est définie au moins sur [0,+∞[.

ÏSigne, comparaison, référence, comparaison SATP, conclusion 5 Tous les points si autre méthode juste

Rq. Il est possible d’utiliser le théorème des séries alternées mais la décroissance de la suite (|un(x)|)nÊ1n’est pas complètement évidente.

2. Tout d’abord, pour toutnÊ1, la fonctionu_nest continue sur [0,+∞[. On reprend la majoration obtenue à la question précédente :

∀nÊ1,∀x∈[0,+∞[,|un(x)| Éln(n+1) n(n+1)

Par définition,ku_nk∞,[0,+∞[est le plus petit majorant de|u_n(x)|,x∈[0,+∞[ donc :

∀nÊ1,kunk_∞,[0,+∞[Éln(n+1) n(n+1) ku_nk_∞,[0,+∞[= o

n→+∞

µ 1 n^3/2

¶

par croissances comparées

Avec les mêmes arguments que dans la question précédente, par comparaison de séries à termes po- sitifs, la série de fonctionPunconverge normalement sur [0,+∞[. D’après le théorème de continuité, la fonctionU est continue sur [0,+i n f t y[.

ÏMajoration correcte 1 0 si pas quantifiée

ÏNorme∞(1), terme général série CV (1), CVN[0,+∞[(1) 3 ÏContinuité[0,+∞[ 1

Rq. Il est possible d’utiliser la convergence uniforme avec le théorème des séries alternées mais c’est plus compliqué à rédiger.

3. PournÊ1 etxÊ0, on a ln(n+1)Êln 2 donc e^−xln(n+1)Ée^−xln(2). En ajoutant ces inégalités, on obtient :

|U(x)| =

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=1

(−1)ⁿln(n+1)

n(n+1)e^−xln(n+1)

¯

¯

¯

¯É

+∞X

n=1

ln(n+1)

n(n+1)e^−xln(n+1)Ée^−xln(2)

+∞X

n=1

ln(n+1) n(n+1)

Ceci est légitime car on a vu dans les questions précédentes que la série majorante est convergente.

On a alors :

|U(x)| É 1 2^x

+∞X

n=1

ln(n+1)

n(n+1) −−−−−→_x

→+∞ 0 donc par encadrementU(x)−−−−−→

x→+∞ 0.

ÏMajoration correcte (1) et justifiée (1), encadrement (1), conclusion (1) 4 1 pt si la réponse est donnée en admettant qu’il manque la justification

Rq. Là encore, on peut utiliser la majoration de|U(x)|par la valeur absolue de premier terme avec le théorème des séries alternées mais c’est plus compliqué à rédiger.

4. SoitpÊ1. Pour toutnÊ1, la fonctionunest de classe C^psur [0,+∞[ et :

∀k∈ ‚0,pƒ,∀x∈[0,+∞[,u_n^(k)(x)=(−1)ⁿ(−1)^kln(n+1)^k+1

n(n+1) e^−xln(n+1) On en déduit que pourk∈ ‚0,pƒet pour toutx∈[0,+∞[ :

∀nÊ1,

¯

¯

¯u^(k)_n (x)¯

¯

¯=ln(n+1)^k+1

n(n+1) e^−xln(n+1)Éln(n+1)^k+1 n(n+1)

¯

¯

¯u^(k)_n (x)¯

¯

¯= o

n→+∞

µ 1 n^3/2

¶

par croissances comparées Par comparaison de séries à termes positifs, la sérieP

u^(k)_n (x) converge absolument donc converge donc la série de fonctionPu_n^(k)converge simplement sur [0,+∞[. De plus, en reprenant les majora- tions précédentes :

∀nÊ1,∀x∈[0,+∞[,

¯

¯

¯u^(p)_n (x)¯

¯

¯Éln(n+1)^p+1 n(n+1)

Par définition,ku^(p)_n k∞,[0,+∞[est le plus petit majorant de|u^(p)_n (x)|,x∈[0,+∞[ donc :

∀nÊ1,

°

°

°u_n^(p)°

°

°∞,[0,+∞[Éln(n+1)^p+1 n(n+1)

°

°

°u_n^(p)°

°

°∞,[0,+∞[= o

n→+∞

µ 1 n^3/2

¶

par croissances comparées

Avec les mêmes arguments que précédemment, par comparaison de séries à termes positifs, la série Pu_n^(p)converge normalement sur [0,+∞[. D’après le théorème de classe C^p, la fonctionUest de classe C^psur [0,+∞[.

Ïunde classeC^petu^(k)_n 2

ÏMajoration quantifiée, convergence simple 2

ÏMajoration quantifiée, norme∞, terme général série CV, convergence normale 4 ÏC^psur[0,+∞[ 1

5. On a d’après ce qui précède : U(0)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿln(n+1)

n(n+1) et U⁰(0)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

On souhaite utiliser comme valeurs approchées deU(0) etU⁰(0) les valeurs obtenues par des sommes partielles pourN assez grand :

N

X

n=1

(−1)ⁿln(n+1) n(n+1) et

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

L’énoncé demande des valeurs approchées à 10⁻¹près, on doit donc choisirNde sorte que :

¯

¯

¯

¯

¯ U(0)−

N

X

n=1

(−1)ⁿln(n+1) n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯

É10⁻¹ et

¯

¯

¯

¯

¯ U⁰(0)−

N

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯ É10⁻¹ Autrement dit :

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

(−1)ⁿln(n+1) n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯

É10⁻¹ et

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯ É10⁻¹

Ici il semble nécessaire d’utiliser le théorème des séries alternées pour établir ces majorations.

Admettons provisoirementque les hypothèses du théorème des séries alternées sont satisfaites pour les séries définissantU(0) etU⁰(0) (ceci est démontré plus loin), on a alors par majoration du reste :

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

(−1)ⁿln(n+1) n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯

É ln(N+2) (N+1)(N+2) et

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=N+1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

¯

¯

¯

¯

¯

É ln(N+2)² (N+1)(N+2) On calcule les premières valeurs de ln(N+2)²

(N+1)(N+2) à la machine (on utilise ici PYTHON) : from math import *

for N in range(1,5):

print(N,log(N+1)**2/(N+1)/(N+2)) 1 0.08007550231970023

2 0.10057908006771517 3 0.09609060278364027 4 0.08634301313267449

On voit que pourN=3, on a ln(N+2)²

(N+1)(N+2)É10⁻¹et on auraa fortiori ln(N+2)

(N+1)(N+2)É10⁻¹. Ainsi : X3

n=1

(−1)ⁿln(n+1) n(n+1) et

X3 n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)² n(n+1)

sont des valeurs approchées deU(0) etU⁰(0) à 10⁻¹près. On effectue le calcul à la machine (ici avec PYTHON) :

print(sum((-1)**n*log(n+1)/n/(n+1) for n in [1,2,3]))

print(sum((-1)**(n+1)*log(n+1)**2/n/(n+1) for n in [1,2,3]))

-0.2789960722619452 0.19921935146307082

On a doncU(0)' −0.28 etU⁰(0)'0.2 à 10⁻¹près, en ne tenant pas compte des imprécisions numé- riques de calcul.

Vérification des hypothèsesdu théorème des séries alternées. Il est évident que les séries sont bien alternées et que le terme général de chaque série tend vers 0 (chaque série étant convergente). Il reste alors à étudier la décroissance des suites (vn) et (wn) obtenues en posant pournÊ1 :

vn=ln(n+1)

n(n+1) wn=ln(n+1)²

n(n+1) On remarque que :

vn= 1 ln(n+1)wn

La suite (ln(n+1)) étant croissante et strictement positive, si on démontre que (positive) (wn) est décroissante il en sera de même de (vn). On pose alors :

f :x7→ln(x+1)² x(x+1) La fonctionf est dérivable sur [1,+∞[ et après calcul :

∀xÊ1, f⁰(x)= − ln(1+x)

x²(x+1)²(2x(ln(1+x)−1)+ln(1+x))

PourxÊ2, on a ln(1+x)Êln(e)=1 donc f⁰(x)É0. Ceci montre que la suite (w_n) est décroissante pournÊ2. Pour vérifier qu’elle est en fait décroissante à partir de 1, on vérifie siw1Êw2, je me contente ici d’une vérification numérique à la machine (ici toujours avec PYTHON)

def w(n):

return log(n+1)**2/n/(n+1) print(w(1),w(2))

0.2402265069591007 0.20115816013543034

La suite (w_n)_nÊ1 est décroissante et les hypothèses du théorème des séries alternées sont donc satisfaites pour les deux séries.

ÏMéthodes pourU(0)etU⁰(0)(2), valeurs approchées (2) 4 ÏJustification TSA (1), choix deN(1) 2

ÏHypothèses correctes pour le TSA 3 ÏJustification précise de la décroissance 2 6. SoitxÊ0. D’après la question 4 :

U⁰(x)=

+∞X

n=1

u_n⁰(x)=

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)²

n(n+1) e^−xln(n+1)

Comme dans la question précédente, cette série est clairement alternée et le terme général tend vers 0 (car la série converge). En reprenant les notations de la question précédente :

∀nÊ1,¯

¯u⁰_n(x)¯

¯=

¯

¯

¯

¯

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1)²

n(n+1) e^−xln(n+1)

¯

¯

¯

¯=ln(n+1)²

n(n+1) e^−xln(n+1)=wne^−xln(n+1)

La suite (wn)_n+1est décroissante et positive, la suite (e^−xln(n+1))_nÊ1est décroissante et positive donc la suite (|u_n⁰(x)|)nÊ1est décroissante. Ainsi le théorème des séries alternées s’applique et on en déduit queU⁰(x) est du signe de son premier terme doncU⁰(x)Ê0 pour toutxÊ0.

ÏSigne du premier terme,U⁰(x)Ê0 2 ÏJustification TSA 2

7. La représentation graphique doit mettre en évidence la croissance deU, la limite en+∞, la valeur en 0, la tangente en 0 (approximativement) et une échelle sur les axes.

0 2 4 6 8 10

−0.25

−0.20

−0.15

−0.10

−0.05 0.00

ÏRepère, allure, monotonie, valeurs, tangente 5 8. PournÊ1, la fonctionunest continue sur [0,+∞[ et :

∀xÊ0,|un(x)| =ln(n+1)

n(n+1)e^−xln(n+1) Comme ln(n+1)>0, l’intégrale de référenceR_+∞

0 e^−xln(n+1)dxconverge doncR_+∞

0 |un(x)|dxconverge et ainsi la fonctionunest intégrable sur [0,+∞[.

ÏContinue, valeur absolue, référence, conclusion 4 9. PournÊ1 :

Z _+∞

0 |u_n(x)|dx=ln(n+1) n(n+1)

Z _+∞

0 e^−xln(n+1)dx= 1

n(n+1)_n ∼

→+∞

1 n²

La série de RiemannPn⁻² converge donc par comparaison de séries à termes positifs, la série P R+∞

0 |un(x)|dxconverge.

ÏCalcul, équivalent, comparaison, référence, comparaison SATP, conclusion 6 Partie 2 Étude d’une fonction

10. La fonctionϕest définie comme une borne supérieure de deux valeurs, c’est donc un maximum.

Pour déterminerϕ(t), il faut savoir si 1− |t−1|est positif ou négatif. On a :

1− |t−1| Ê0 ≺===Â |t−1| É1 ≺===Â −1Ét−1É1 ≺===Â 0ÉtÉ2 Par conséquent :

ϕ(t)=1− |t−1| si 0ÉtÉ2

=0 sinon

Considéronst∈[0, 2]. Sit−1Ê0, autrement dit sitÊ1, alors : ϕ(t)=1−(t−1)=2−t SitÉ1, alors :

ϕ(t)=1−(1−t)=t On en déduit la représentation graphique deϕ.

−2 −1 0 1 2 3 4

−1 0 1 2

On retrouve au passage queϕest continue. Commeϕest continue sur [0, 2] et nulle en dehors de cet intervalle,ϕest intégrable surRet en utilisant la formule pour l’aire d’un triangle :

Z

Rϕ(t) dt= Z 2

0 ϕ(t) dt=2×1 2 =1 ÏCalcul deϕ,4cas 2

ÏReprésentation graphique pertinente 2 ÏConvergence (1) et valeur (2) de l’intégrale 3

11. ConsidéronstÊ0. Comme la suite (λn) est strictement croissante et diverge vers+∞, on aλnÊt à partir d’un certain rang. NotonsNun entier tel queλNÊt, alors pour toutnÊN+1 on aλn>t et ainsi :

ϕ µt−λn

r_n

¶

=0 On en déduit que la série

X

nÊ1

an

rnϕ µt−λn

rn

¶

converge puisque son terme général est nul à partir d’un certain rang. La fonctiongest donc définie sur [0,+∞[. Sur le même principe, considéronsa >0, il existe un entierN tel queλN Êa. Pour nÊN+1 ett∈[0,a] on a alorst−λnÉa−λnÉ0 donc :

ϕ µt−λn

r_n

¶

=0