CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 1

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CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 1

Dur´ee : 4 heures

Les calculatrices sont autoris´ees.

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N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

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Dans tout ce problème, on désigne par µ une application continue 2π-périodique de R dans R et on considère l’équation différentielle :

(E _µ ) y ⁰⁰ + y = µ (t)

On d´esigne par ϕ _µ la solution sur R de (E _µ ) qui v´erifie en outre les relations ϕ _µ (0) = ϕ ⁰ _µ (0) = 0.

Pour x ∈ R, on note :

G _µ (x) = Z _x

0 µ (t) cos tdt et H _µ (x) = Z _x

0 µ (t) sin tdt

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction ϕ _µ . Dans la partie II et la partie III, on

´etudie un exemple explicite.

PARTIE I

On d´esigne par F _µ la fonction d´efinie sur R par F _µ (x) = (sin x) G _µ (x) − (cos x) H _µ (x).

Pour simplifier les notations, on écrira F , G, H, ϕ pour désigner les fonctions F _µ , G _µ , H _µ , ϕ _µ . I.1 Justifier la dérivabilité de G, H et donc F . Préciser F (0) et F ⁰ (0).

I.2 Montrer que F est de classe C ² sur R et exprimer F ⁰⁰ (x) + F (x) en fonction de µ (x).

I.3 Justifier l’affirmation F = ϕ.

I.4 Etude du caract` ere 2π-p´ eriodique de ϕ.

I.4.1 Calculer la d´eriv´ee de G (x + 2π) − G (x) et H (x + 2π) − H (x).

I.4.2 Exprimer G (x + 2π) − G (x) en fonction de G (2π) et H (x + 2π) − H (x) en fonction de H (2π).

I.4.3 Exprimer ϕ (x + 2π) − ϕ (x) en fonction de sin x, cos x, G (2π), H (2π).

I.4.4 A quelle condition n´ecessaire et suffisante portant sur G (2π) et H (2π) la fonction ϕ est-elle 2π-p´eriodique ?

I.4.5 La fonction ϕ est-elle 2π-périodique lorsque µ (t) = sin t ? (resp. lorsque µ (t) = cos t ?) I.4.6 La fonction ϕ est-elle bornée lorsque µ (t) = sin t ? (resp. lorsque µ (t) = cos t ?) I.4.7 Montrer que la fonction ϕ est 2π-périodique lorsque µ (t) = |sin t|.

I.4.8 Les fonctions ϕ, ϕ ⁰ et ϕ ⁰⁰ sont-elles born´ees lorsque µ (t) = |sin t| ?

Dans toute la suite du probl` eme, on suppose que µ (t) = |sin t|.

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PARTIE II

Calcul de Z

R

+

e ^−t ϕ (t) dt

II.1 Justifier l’int´egrabilit´e sur R ₊ de la fonction t 7→ e ^−t |sin t|.

II.2 Pour n ∈ N, on note v _n =

Z _(n+1)π

nπ e ^−t |sin t| dt.

II.2.1 Calculer v ₀ .

II.2.2 Montrer qu’il existe un nombre r´eel ρ (que l’on explicitera) tel que pour tout n ∈ N, on ait v _n = ρ ⁿ v ₀ .

II.2.3 En d´eduire la convergence de la s´erie ^X

n≥0

v _n et expliciter sa somme

+∞ X

n=0

v _n . II.2.4 En d´eduire la valeur de l’int´egrale

Z

R

+

e ^−t |sin t| dt.

II.3

II.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de I.4.8) que les fonctions t 7→ e ^−t ϕ (t), t 7→ e ^−t ϕ ⁰ (t) et t 7→ e ^−t ϕ ⁰⁰ (t), sont intégrables sur R ₊ .

II.3.2 Etablir une relation entre Z

R

+

e ^−t µ (t) dt et Z

R

+

e ^−t ϕ (t) dt.

En d´eduire Z

R

+

e ^−t ϕ (t) dt.

PARTIE III

D´ eveloppement de Fourier des fonctions µ et ϕ.

Si f est une application continue 2π-périodique de R dans R, on désigne par a _n (f) et b _n (f ) les coefficients de Fourier réels de f :

a _n (f ) = 1 π

Z _2π

0 f (t) cos (nt) dt et b _n (f ) = 1 π

Z _2π

0 f (t) sin (nt) dt pour n ∈ N.

Lorsqu’elle converge, on d´esigne par SF _f (t) la somme de la s´erie de Fourier : SF _f (t) = a ₀ (f )

2 +

+∞ X

n=1

a _n (f) cos (nt) + b _n (f ) sin (nt) . III.1

III.1.1 Justifier la convergence de la s´erie de Fourier de la fonction µ (rappel : µ (t) = |sin t|).

III.1.2 Justifier la convergence de la s´erie de Fourier de la fonction ϕ (rappel : ϕ ⁰⁰ (t)+ϕ (t) = |sin t|, ϕ (0) = ϕ ⁰ (0) = 0).

III.2 S´ erie de Fourier de la fonction µ.

III.2.1 Calculer les coefficients a _n (µ) pour n ∈ N. Quelle est la valeur des coefficients b _n (µ) pour n ∈ N ^∗ ?

III.2.2 Etablir la convergence de la s´erie ^X

p≥1

1 4p ² − 1 et expliciter sa somme

+∞ X

p=1

1 4p ² − 1 . III.2.3 Etablir la convergence de la s´erie ^X

p≥1

1 (4p ² − 1) ² et expliciter sa somme

+∞ X

p=1

1 (4p ² − 1) ² .

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(3)

III.3 S´ erie de Fourier de la fonction ϕ.

III.3.1 Etudier la parit´e des fonctions G, H puis celle de la fonction ϕ. Quelle est la valeur des coefficients b _n (ϕ) pour n ∈ N ^∗ ?

III.3.2 Etablir une relation entre a _n (ϕ ⁰⁰ ) et a _n (ϕ) pour n ∈ N.

III.3.3 En d´eduire la valeur de a _n (ϕ) pour n 6= 1.

III.3.4 Calculer a ₁ (ϕ).

III.4 On consid`ere la s´erie ^X

p≥1

1 (4p ² − 1) (16p ⁴ − 1) . Justifier la convergence de cette s´erie et expliciter sa somme

+∞ X

p=1

1 (4p ² − 1) (16p ⁴ − 1) en calculant l’intégrale du II par un autre procédé qu’on justifiera soigneusement.

III.5 On consid`ere dans cette question l’application φ de classe C ² de R dans R v´erifiant : φ ⁰⁰ (t) + φ (t) = ϕ (t) pour tout t ∈ R

et φ (0) = φ ⁰ (0) = 0.

III.5.1 La fonction φ est-elle 2π-p´eriodique ? III.5.2 La fonction φ est-elle born´ee sur R ?

III.5.3 La fonction t 7→ e ^−t φ (t) est-elle int´egrable sur R ₊ ?

Fin de l’´ enonc´ e.

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Dur´ee : 4 heures

Les calculatrices sont autoris´ees.

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Dans tout ce problème, on désigne par µ une application continue 2π-périodique de R dans R et on considère l’équation différentielle :

(E µ ) y 00 + y = µ (t)

On d´esigne par ϕ µ la solution sur R de (E µ ) qui v´erifie en outre les relations ϕ µ (0) = ϕ 0 µ (0) = 0.

Pour x ∈ R, on note :

G µ (x) = Z x

0 µ (t) cos tdt et H µ (x) = Z x

0 µ (t) sin tdt

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction ϕ µ . Dans la partie II et la partie III, on

´etudie un exemple explicite.

PARTIE I

On d´esigne par F µ la fonction d´efinie sur R par F µ (x) = (sin x) G µ (x) − (cos x) H µ (x).

Pour simplifier les notations, on écrira F , G, H, ϕ pour désigner les fonctions F µ , G µ , H µ , ϕ µ . I.1 Justifier la dérivabilité de G, H et donc F . Préciser F (0) et F 0 (0).

I.2 Montrer que F est de classe C 2 sur R et exprimer F 00 (x) + F (x) en fonction de µ (x).

I.3 Justifier l’affirmation F = ϕ.

I.4 Etude du caract` ere 2π-p´ eriodique de ϕ.

I.4.1 Calculer la d´eriv´ee de G (x + 2π) − G (x) et H (x + 2π) − H (x).

I.4.2 Exprimer G (x + 2π) − G (x) en fonction de G (2π) et H (x + 2π) − H (x) en fonction de H (2π).

I.4.3 Exprimer ϕ (x + 2π) − ϕ (x) en fonction de sin x, cos x, G (2π), H (2π).

I.4.4 A quelle condition n´ecessaire et suffisante portant sur G (2π) et H (2π) la fonction ϕ est-elle 2π-p´eriodique ?

I.4.5 La fonction ϕ est-elle 2π-périodique lorsque µ (t) = sin t ? (resp. lorsque µ (t) = cos t ?) I.4.6 La fonction ϕ est-elle bornée lorsque µ (t) = sin t ? (resp. lorsque µ (t) = cos t ?) I.4.7 Montrer que la fonction ϕ est 2π-périodique lorsque µ (t) = |sin t|.

I.4.8 Les fonctions ϕ, ϕ 0 et ϕ 00 sont-elles born´ees lorsque µ (t) = |sin t| ?

Dans toute la suite du probl` eme, on suppose que µ (t) = |sin t|.

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PARTIE II

Calcul de Z

R

e −t ϕ (t) dt

II.1 Justifier l’int´egrabilit´e sur R + de la fonction t 7→ e −t |sin t|.

II.2 Pour n ∈ N, on note v n =

Z (n+1)π

nπ e −t |sin t| dt.

II.2.1 Calculer v 0 .

II.2.2 Montrer qu’il existe un nombre r´eel ρ (que l’on explicitera) tel que pour tout n ∈ N, on ait v n = ρ n v 0 .

II.2.3 En d´eduire la convergence de la s´erie X

n≥0

v n et expliciter sa somme

+∞ X

n=0

v n . II.2.4 En d´eduire la valeur de l’int´egrale

Z

R

e −t |sin t| dt.

II.3

II.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de I.4.8) que les fonctions t 7→ e −t ϕ (t), t 7→ e −t ϕ 0 (t) et t 7→ e −t ϕ 00 (t), sont intégrables sur R + .

II.3.2 Etablir une relation entre Z

R

e −t µ (t) dt et Z

R

e −t ϕ (t) dt.

En d´eduire Z

R

e −t ϕ (t) dt.

PARTIE III

D´ eveloppement de Fourier des fonctions µ et ϕ.

Si f est une application continue 2π-périodique de R dans R, on désigne par a n (f) et b n (f ) les coefficients de Fourier réels de f :

a n (f ) = 1 π

Z 2π

0 f (t) cos (nt) dt et b n (f ) = 1 π

Z 2π

0 f (t) sin (nt) dt pour n ∈ N.

Lorsqu’elle converge, on d´esigne par SF f (t) la somme de la s´erie de Fourier : SF f (t) = a 0 (f )

2 +

+∞ X

n=1

a n (f) cos (nt) + b n (f ) sin (nt) . III.1

III.1.1 Justifier la convergence de la s´erie de Fourier de la fonction µ (rappel : µ (t) = |sin t|).

III.1.2 Justifier la convergence de la s´erie de Fourier de la fonction ϕ (rappel : ϕ 00 (t)+ϕ (t) = |sin t|, ϕ (0) = ϕ 0 (0) = 0).

III.2 S´ erie de Fourier de la fonction µ.

III.2.1 Calculer les coefficients a n (µ) pour n ∈ N. Quelle est la valeur des coefficients b n (µ) pour n ∈ N ∗ ?

III.2.2 Etablir la convergence de la s´erie X

p≥1

1

4p 2 − 1 et expliciter sa somme

+∞ X

(E _µ ) y ⁰⁰ + y = µ (t)

On d´esigne par ϕ _µ la solution sur R de (E _µ ) qui v´erifie en outre les relations ϕ _µ (0) = ϕ ⁰ _µ (0) = 0.

G _µ (x) = Z _x

0 µ (t) cos tdt et H _µ (x) = Z _x

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction ϕ _µ . Dans la partie II et la partie III, on

On d´esigne par F _µ la fonction d´efinie sur R par F _µ (x) = (sin x) G _µ (x) − (cos x) H _µ (x).

Pour simplifier les notations, on écrira F , G, H, ϕ pour désigner les fonctions F _µ , G _µ , H _µ , ϕ _µ . I.1 Justifier la dérivabilité de G, H et donc F . Préciser F (0) et F ⁰ (0).

I.2 Montrer que F est de classe C ² sur R et exprimer F ⁰⁰ (x) + F (x) en fonction de µ (x).

I.4.8 Les fonctions ϕ, ϕ ⁰ et ϕ ⁰⁰ sont-elles born´ees lorsque µ (t) = |sin t| ?

e ^−t ϕ (t) dt

II.1 Justifier l’int´egrabilit´e sur R ₊ de la fonction t 7→ e ^−t |sin t|.

II.2 Pour n ∈ N, on note v _n =

Z _(n+1)π

nπ e ^−t |sin t| dt.

II.2.1 Calculer v ₀ .

II.2.2 Montrer qu’il existe un nombre r´eel ρ (que l’on explicitera) tel que pour tout n ∈ N, on ait v _n = ρ ⁿ v ₀ .

II.2.3 En d´eduire la convergence de la s´erie ^X

v _n et expliciter sa somme

v _n . II.2.4 En d´eduire la valeur de l’int´egrale

e ^−t |sin t| dt.

II.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de I.4.8) que les fonctions t 7→ e ^−t ϕ (t), t 7→ e ^−t ϕ ⁰ (t) et t 7→ e ^−t ϕ ⁰⁰ (t), sont intégrables sur R ₊ .

e ^−t µ (t) dt et Z

e ^−t ϕ (t) dt.

e ^−t ϕ (t) dt.

Si f est une application continue 2π-périodique de R dans R, on désigne par a _n (f) et b _n (f ) les coefficients de Fourier réels de f :

a _n (f ) = 1 π

Z _2π

0 f (t) cos (nt) dt et b _n (f ) = 1 π

Z _2π

Lorsqu’elle converge, on d´esigne par SF _f (t) la somme de la s´erie de Fourier : SF _f (t) = a ₀ (f )

a _n (f) cos (nt) + b _n (f ) sin (nt) . III.1

III.1.2 Justifier la convergence de la s´erie de Fourier de la fonction ϕ (rappel : ϕ ⁰⁰ (t)+ϕ (t) = |sin t|, ϕ (0) = ϕ ⁰ (0) = 0).

III.2.1 Calculer les coefficients a _n (µ) pour n ∈ N. Quelle est la valeur des coefficients b _n (µ) pour n ∈ N ^∗ ?

III.2.2 Etablir la convergence de la s´erie ^X

4p ² − 1 et expliciter sa somme

1 4p ² − 1 . III.2.3 Etablir la convergence de la s´erie ^X

(4p ² − 1) ² et expliciter sa somme

(4p ² − 1) ² .

III.3.1 Etudier la parit´e des fonctions G, H puis celle de la fonction ϕ. Quelle est la valeur des coefficients b _n (ϕ) pour n ∈ N ^∗ ?

III.3.2 Etablir une relation entre a _n (ϕ ⁰⁰ ) et a _n (ϕ) pour n ∈ N.

III.3.3 En d´eduire la valeur de a _n (ϕ) pour n 6= 1.

III.3.4 Calculer a ₁ (ϕ).

III.4 On consid`ere la s´erie ^X

(4p ² − 1) (16p ⁴ − 1) . Justifier la convergence de cette s´erie et expliciter sa somme

(4p ² − 1) (16p ⁴ − 1) en calculant l’intégrale du II par un autre procédé qu’on justifiera soigneusement.

III.5 On consid`ere dans cette question l’application φ de classe C ² de R dans R v´erifiant : φ ⁰⁰ (t) + φ (t) = ϕ (t) pour tout t ∈ R

et φ (0) = φ ⁰ (0) = 0.

III.5.3 La fonction t 7→ e ^−t φ (t) est-elle int´egrable sur R ₊ ?