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CCP Physique 1 PSI 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) ; il a été relu par Nicolas Wawresky (Mines de Paris) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon).
L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, consacré à l’électromagnétisme, est lui-même divisé en trois parties globalement indépendantes. Il s’agit d’abord de généralités sur l’énergie élec- trostatique et sur la puissance électromagnétique. Ensuite, on considère la pression de radiation comme force de sustentation d’un aéronef.
Le second problème, consacré à la thermodynamique, est lui aussi composé de parties indépendantes. Là encore, il s’agit d’abord de généralités sur la calorimétrie et la variation d’entropie. Enfin, on étudie de façon plus détaillée le fonctionnement d’une machine thermique.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/18 Indications
Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique.
1.1 En cas de doute, revenir à la définition de W.
1.3 Ne pas considérer trop d’interactions.
1.5 Utiliser l’équation de Maxwell-Gauss.
1.7 Exprimer la dépendance en R de chaque terme.
2.1.c Ne pas oublier que la moyenne d’uncos2 vaut 1 2. 2.1.e Persévérer dans le calcul de Π
w; le résultat doit être remarquable.
2.2.a Exprimer la conservation de la puissance.
2.2.b Utiliser le fait que le vecteur de Poynting est la puissance surfacique à la distance R.
3.5.a Faire un bilan de quantité de mouvement avant et après le choc.
3.6.a Le rendement est, par définition, le rapport de l’énergie utile sur l’énergie utilisée.
3.9 Le système le plus simple est constitué de deux lentilles.
Calorimétrie, variation d’entropie, échanges de chaleur.
A.1 Exprimer la puissance de chauffe sur deux périodes différentes.
B.1 Égaliser les transferts thermiques échangés.
B.4 Utiliser un argument mathématique.
D.1 Tracer la courbe dθ
dt =f(P).
D.2 Considérer deux périodes différentes : avec ou sans résistance.
D.3 Égaliser le transfert thermique échangé pendant un temps dtoù la température varie de dθ.
D.5 La constante de temps est caractéristique de la vitesse de décroissance expo- nentielle.
D.7 Faire le même raisonnement qu’à la question D.3.
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Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique.
1 Calcul de l’énergie éléctrostatique
1.1 Par définition, l’énergie potentielle W est l’énergie dont dérive la force électrique
−
→f =q−→
E. On a donc :
q−→ E =−
−−→ grad (W)
ou encore −q.−−→
grad (V) =−
−−→ grad (W)
On obtient alors l’énergie potentielle électrique à une constante près W =q.V
1.2 D’après la question précédente, on a Wij = qiVj(Mi) + C où Vj(Mi) est le potentiel créé par la chargeqj à l’endroit de la chargeqi :
Vj(Mi) = qj
4πε0rij
donc Wij = qiqj
4πε0rij
+ C La condition lim
rij→+∞Wij = 0annule la constante C, d’où Wij = qiqj
4πε0rij
1.3 Pourncharges, l’énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles entre deux particules. SiV(Mi) représente le potentiel créé à l’endroit de la charge qi par toutes les autres charges, on peut alors écrire :
W = 1 2
Pn i=1
qiV(Mi)
Le facteur1/2vient du fait que l’on compte deux fois chaque interaction puisque l’on somme sur toutes les charges.
1.4 Dans le cas où les charges sont réparties de manière continue il suffit de changer de schématisation par rapport à la question précédente :
– la somme devient une intégrale sur le volume ; – qi devient dq=ρdτ.
Par conséquent W = 1
2 ZZZ
Ω
ρV(M)dτ
1.5 Le théorème de Gauss provient de l’équation de Maxwell div (−→ E ) = ρ
ε0
; on peut donc remplacerρdans l’équation précédente, ce qui donne :
W = 1 2
ZZZ
Ω
ε0.div (−→
E )V(M)dτ La charge n’apparaît plus dans l’expression de
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dτ = 1
2ε0.div (−→ E )V(M)
De plus, nous verrons dans la suite que cette expression est plus facilement exploi- table.
1.6 La formule de l’énoncé donne : V.div (−→
E ) = div (V.−→ E )−
−
→E.−−→
grad V, donc le resultat de la question 1.5 se réécrit :
W = 1 2ε0
ZZZ
Ω
(div (V.−→ E )−
−
→ E.−−→
grad (V))dτ
ou encore W = 1
2ε0
ZZZ
Ω
(div (V.−→ E ) +−→
E.−→ E )dτ
W est donc la somme de deux termes : W =
ZZ
Σ
1 2ε0V.−→
E.d−→ S +
ZZZ
Ω
1
2ε0E2dτ
1.7 LorsqueΩest fini etΣtend vers l’infini, regardons la contribution du flux : – V varie en1/R
– E varie en1/R2 – S varie enR2
Au final, le flux s’exprime en1/R. Ainsi, sa contribution tend vers0. On en déduit, pour R tendant vers l’infini :
dW dτ = 1
2ε0E2
1.8 Dans le cas d’un condensateur plan, on sait que E =V
e = Q ε0S L’énergie électromagnétique W s’écrit donc
W = 1
2CV2= 1
2QV =1
2(ε0SE).(Ee)
d’où dW
dτ = 1 2ε0E2 On retrouve bien le résultat théorique.
2 Puissance transmise par une onde éléctromagnétique 2.1.a Pour l’onde éléctromagnétique dont le champ électrique s’écrit
−
→E = E0.−→ u .cos(−→
k .−→ r −w.t) le vecteur−→
k est le vecteur d’onde qui représente la propagation spatiale de l’onde.
Son module vaut
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