LEÇON n o 41 Exemples de cacluls d intégrales (méthodes exactes, méthodes approchées)

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CAPES de Math´ematiques session 2021— ´Epreuve de mise en situation professionnelle

LEC ¸ ON n ^o 41

Exemples de cacluls d’int´egrales (m´ethodes exactes, m´ethodes approch´ees)

Cl´ ement Boulonne

Propositions de plan et de contenu

Derni`ere mise `a jour : 10 novembre 2020

Pr´ eambule

Niveau de la le¸con

Terminale Math´ematiques Sp´ecialit´e Pr´erequis

Int´egrales, accroissements finis, primitives, propri´et´es sur l’int´egrale, trigonom´etrie, fonction polynˆome, fonction exponentielle

R´ef´erences

– G. Costantini,Calcul int´egral. Cours de Terminale S. URL :http://bacamaths.net.

– D. Arnaud& al, Manuel Sesamaths, TS. Magnard 2016.

– Le¸con 84 : Calcul approch´e d’int´egrales. Universit´e Claude Bernard-Lyon I. CAPES de Math´ematiques : Oral. URL :http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/integrales.

pdf. Ann´ee 2004-2005.

– M.Lezen,Diverses m´ethodes de calcul approch´e d’int´egrales d´efinies. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou deux exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. URL : http://capes-de-maths.com. 2011.

– F. Thirioux,BTS Electrotechnique Cours de Math´ematiques. Lyc´ee Ren´e Perrin, Ugine.

– C. Cherruau & F.Cherruau,Maths, BTS Groupement A. Contrˆole Continue Ellipses.

Plan de la le¸ con

1 Sommes de Riemann 2

2 Int´egration par primitives 4

3 Int´egration par parties 6

4 Int´egration par changement de variables 8

5 Int´egration de fractions rationnelles 11

6 Calcul approch´e de l’int´egrale 12

1 Sommes de Riemann

Soitf une application continue d´efinie sur un segment [a, b] et `a valeurs dansR,σ = (a<sub>i</sub>)<sub>1≤i≤n</sub> est une subdivision de [a, b] (c’est-`a-direa=a₀ < a₁<· · ·< a_n=b),hest le pas de la subdivision σ (h= max(ai+1−ai)) et pour tout 0≤i≤n−1,ξi ∈[ai, ai+1].

On appellesomme de Riemann associ´ee `a (f, σ,(ξi)_0≤i≤n) le r´eel :

n−1

X

i=0

(a_i+1−a_i)f(ξ_i).

D´efinition 41.1. Somme de Riemann

Commeh= max(ai+1−ai), quandh devient tr`es petit (tend vers 0), la subdivision devient de plus en plus fine et la somme de Riemann associ´e `a (f, σ,(ξ_i)_0≤i≤n) converge vers l’int´egrale de la fonctionf sur l’intervalle [a , b].

h→0lim

n−1

X

i=0

(ai+1−ai)f(ξi) = Z b

a

f(x) dx.

Theoreme 41.2.

D´emonstration. ♦Montrons que la diff´erence suivante peut ˆetre rendue aussi petite que voulue : Z b

a

f(x) dx−

n−1

X

i=0

(a_i+1−a_i)f(ξ_i) =

n−1

X

i=0

Z ai+1

ai

f(x) dx−(a_i+1−a_i)f(ξ_i)

=

n−1

X

i=0

Z ai+1

ai

(f(x)−f(ξ_i))

.

En passant aux valeurs absolues, on a la majoration suivante :

Z b a

f(x) dx−

n−1

X

i=0

(ai+1−ai)f(ξi)

≤

n−1

X

i=0

Z _ai+1

ai

|f(x)−f(ξi)|dx

.

Or, du th´eor`eme de Heine appliqu´e `af continue sur le segment [a, b], on d´eduitf uniform´ement continue sur [a, b] (et donc aussi sur chaque [a_i+1, a_i], c’est-`a-dire :

∀ε∈R^∗₊, ∃η∈R^∗₊, ∀(x, y)∈[a, b]², (|x−y|< η⇒ |f(x)−f(y)|< ε).

Pour une subdivision σ de pash tel que 0< h < η, on aura :

∀x∈[a_i, a_i+1], |x−ξ_i| ≤a_i+1−a_i ≤h < η.

Ce qui entraˆınera :

|f(x)−f(ξi)| ≤ε.

Dans ces conditions, on peut ´ecrire :

Z b a

f(x) dx−

n−1

X

i=0

(a_i+1−a_i)f(ξ_i)

≤

n−1

X

i=0

Z _ai+1

ai

εdx

=

n−1

X

i=0

ε(a_i+1−a_i) =ε(b−a).

Ceci prouve bien que :

h→0lim

n−1

X

i=0

(ai+1−ai)f(ξi) = Z b

a

f(x) dx.

Toute int´egrale est donc une limite de somme de Riemann.

Le r´esultat ci-dessus reste valable sif est continue par morceaux. Il suffit de refaire la mˆeme d´emonstration avec des subdivisions adapt´ees `af.

Remarque 41.3.

Pour n∈N^∗, on particularise ai =a+i^b−a_n etξi=ai (donch= ^b−a_n ). On a alors : ai+1−ai = b−a

n . D’o`u :

n→+∞lim b−a

n

n−1

X

i=0

f

a+ib−a n

= Z b

a

f(x) dx.

Proposition 41.4. Cas particulier d’une subdivision r´eguli`ere

La formule ci-dessous devient alors :

n→+∞lim 1 n

n−1

X

i=0

f i

n

= Z 1

0

f(x) dx Proposition 41.5. Cas particulier des fonctions d´efinies sur [0,1]

On veut ´etudier la limite de la somme :

n

X

i=1

1 n+i.

On consid`ere l’applicationf d´efinie sur [0,1] parf(x) = _1+x¹ . On a alors :

n→+∞lim 1 n

n

X

i=1

1 1 +_nⁱ =

Z 1 0

1 1 +xdx

n→+∞lim

n

X

i=1

1

n+i = ln 2.

Exemple 41.6.

2 Int´ egration par primitives

Soitf une fonction d´efinie et continue sur un intervalleI. Uneprimitive def surI est une fonctionF d´efinie et d´erivable sur I telle que F⁰=f.

D´efinition 41.7.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives surI. Theoreme 41.8. Existence de primitives

D´emonstration. ♦ On d´emontre ce th´eor`eme dans le cas o`u I est un intervalle ferm´e [a , b] et on admettra pour cela le r´esultat suivant :toute fonction continue sur un intervalle [a , b] est born´ee et atteint ses bornes.

Soitf une fonction continue surI et on notem son minimum. La fonctionϕ:x7→f(x)−m est alors continue et positive sur I. La fonction Φ :x7→ ^R_a^xϕ(t) dt est d´efinie et d´erivable sur I et on a, pour toutx∈I, :

Φ⁰(x) =ϕ(x) =f(x)−m.

Etant donn´´ e que l’on cherche une fontiton F, d´efinie et d´erivable sur I telle que F⁰ = f, la fonction F :x7→Φ(x) +mxest une candidate id´eale : elle est d´efinie et d´erivable sur I et pour tout x∈I :F⁰(x) = Φ⁰(x) +m=f(x).

Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I et F est une primitive de f sur I. Alors f admet une infinit´e de primitives surI qui sont toutes de la forme :

x7→F(x) +k, k ∈R.

Theoreme 41.9. Lien entre les primitives

D´emonstration. ♦

– D´emontrons d’abord que toutes les primitives ont bien la forme annonc´ee. Soit G une primitive def surI. AlorsG⁰ =f =F⁰ et doncG⁰−F⁰= 0. La fonctionG−F, de d´eriv´ee nulle, est donc une fonction constante sur I : il existe alors un r´eel k tel que, pour tout x∈I,G(x)−F(x) =k, soitG(x) =F(x) +k.

– On v´erifie maintenant que toutes les fonctions de la formex7→F(x) +k, avec kr´eel, sont bien des primitives def. Soitk∈RetG:x7→F(x) +kd´efinie surI. AlorsGest d´erivable surI et pour toutx∈I,G⁰(x) =F⁰(x) =f(x) :Gest donc bien une primitive def surI.

Soient x0 ∈I ety0 deux r´eels donn´es. Parmi toutes les primitives d’une fonction f d´efinie et continue sur I, il en existe une seule qui v´erifie la conditionF(x0) =y0.

Propri´et´e 41.10. Condition d’unicit´e d’une primitive

D´emonstration. ♦

Existence : soitG une primitive de f surI et consid´erons F :x7→G(x)−G(x₀) +y₀, d´efinie sur I. AlorsF est une primitive def sur I et de plus,F(x₀) =y₀.

Unicit´e : notonsF etGdeux primitives def surItelles queF(x₀) =G(x₀) =y₀et d´emontrons que F(x) = G(x) pour tout x ∈ I. Comme F et G sont deux primitives de f, il existe, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, un r´eel k tel que, pour tout x ∈ I, F(x) = G(x) +k. En particulier, pour x=x0, on obtient k= 0 et par cons´equentF =Gsur I.

Les primitives permettent de faire du calcul int´egral.

Soit f une fonction continue et positive sur [a , b] etF une primitive def sur [a , b]. Alors : Z b

a

f(x) dx= [F(x)]^b_a=F(b)−F(a) Propri´et´e 41.11.

D´emonstration. ♦Introduisons la fonction Φ :x7→^R_a^xf(t) dtde sorte que^R_a^bf(t) dt= Φ(b). Φ et F ´etant deux primitives def sur [a , b], on en d´eduit d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent qu’il existe un r´eelktel que Φ(x) =F(x) +kpour toutx∈[a , b]. Ainsi, Φ(b) =F⁰b) +k. Il nous reste `a calculer k : en remarquant que Φ(a) = 0, il vient queF(a) =−k, et ainsi, Φ(b) =F(b)−F(a).

Soit f une fonction continue sur un intervalleI etF une primitive def surI. Alors pour tous a etbdansI :

Z b a

f(t) dt=F(b)−F(a).

Corollaire 41.12.Formule de Newton-Leibniz

D´emonstration. ♦Soit x0 ∈I etG la primitive def d´efinie par : G(x) =

Z x a

f(t) dt.

On sait que deux primitives F et G diff`erent d’une constante. Donc il existe un r´eel k tel que pour tout :

F(x) =G(x) +k.

On a alors :

F(b)−F(a) =G(b)−G(a) = Z b

a

f(t) dt.

La quantit´e F(b)−F(a) se note souvent [F(t)]^b_a. Remarque 41.13.

1.

Z 1 0

e^tdt=^he^ti1

0= e−1.

2.

Z 1 0

xⁿ=

"

xⁿ⁺¹ n+ 1

#1

0

= 1

n+ 1. 3.

Z e 2

1

xlnxdt= Z e

2

1/x

lnxdt= [ln(ln(t))]^e₂=−ln(ln(2)).

Exemples 41.14.

Le choix de la primitive F choisie n’influe pas le r´esultat de l’int´egrale. En effet, siF et G sont deux primitives d’une mˆeme fonctionf surI, alors elles diff´erent d’une constante. Les quantit´es F(b)−F(a) et G(b)−G(a) sont donc ´egales.

Remarque 41.15.

Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I telle quef⁰ soit continue surI. S’il existe un r´eelM tel que|f⁰| ≤M surI alors : pour tous r´eelsaetbdeI, on a :|f(b)−f(a)| ≤M|b−a|.

Theoreme 41.16.In´egalit´e des accroissements finis

D´emonstration. ♦Pour a < b, on a :

|f(b)−f(a)|=

Z b a

f⁰(t) dt

≤ Z b

a

f⁰(t)dt≤M(b−a)≤M|b−a|. Pour a > b, ona :

|f(b)−f(a)|=

Z a b

f⁰(t) dt

≤ Z a

b

f⁰(t)dt≤M(a−b)≤M|b−a|.

3 Int´ egration par parties

On dit qu’une fonction est declasse C¹ sur un intervalleI si elle est d´erivable surI et si sa d´eriv´eef⁰ est continue surI.

D´efinition 41.17.Classe C¹

Soient u etv deux fonctions de classe C¹ sur [a , b], alors : Z b

a

u(t)v⁰(t) dt= [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u⁰(t)v(t) dt.

Theoreme 41.18.

♦ D´emonstration du th´eor`eme 41.18. On sait que pour tout t∈[a , b] : (uv)⁰(t) =u⁰(t)v(t) +u(t)v⁰(t).

En int´egrant dea`a b: Z b

a

(u(t)v(t))⁰dt= Z b

a

u⁰(t)v(t) +u⁰(t)v⁰(t) dt et d’apr`es la lin´earit´e de l’int´egrale :

Z b a

(u(t)v(t)⁰) dt= Z b

a

u⁰(t)v(t) dt+ Z b

a

u(t)v⁰(t) dt

[u(t)v(t)]^b_a= Z b

a

u⁰(t)v(t) dt+ Z b

a

u(t)v⁰(t) dt.

D’o`u le th´eor`eme.

Pour int´egrer par parties, il faut

– reconnaˆıtre, dans la fonction `a int´egrer, le produit d’une fonctionu et d’une fonction d´eriv´eev⁰;

– appliquer la formule d’int´egration par parties.

M´ethode 41.19.

1. Soit `a calculer :

I = Z 1

0

te^tdt.

On poseu(t) =tetv⁰(t) = e^t. D’o`uu<sup>0</sup>(t) = 1 etv(t) = e<sup>t</sup>(`a une constante pr`es) et ainsi : I =^hte^ti1

0− Z 1

0

e^tdt= e−(e−1) = 1.

2. Soit `a calculer :

J(x) = Z x

1

lntdt.

On pose u(t) = ln(t) et v⁰(t) = 1. D’o`u u<sup>0</sup>(t) = <sup>1</sup><sub>t</sub> etv(t) = t (`a une constante pr`es) et ainsi :

J(x) = [tlnt]^x₁ − Z x

1

dt=xlnx−(x−1) =xlnx−x+ 1.

Exemples 41.20.

4 Int´ egration par changement de variables

Soit ϕune fonction de classe C¹ sur [a , b], dont les valeurs sont dansR. Alors : Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) dt= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(u) du.

Theoreme 41.21.

La d´emonstration est hors programme du BTS et admise.

Dans ^R_ϕ(a)^ϕ(b)f(u) du, on pose u =ϕ(t) (changement de variable qu’on donne ou qu’on doit trouver). Sit vaut a (resp. b) alors u vaut ϕ(a) (resp. ϕ(b)), ce qui conduit `a changer les bornes de l’int´egrale. Ensuite ^du_dt =ϕ⁰(t), ou encore (bien que cette ´ecriture soit formellement incorrecte au niveau BTS), du=ϕ⁰(t) dt, que l’on remplace dans l’int´egrale.

Remarque 41.22.

♦ D´emonstration (hors programme). Posons H(x) = ^R_α^xf(u) du o`u α et x sont deux ´el´ements de I. La fonctionf est continue surI, donc la fonctionH est d´erivable surI, on aH⁰(x) =f(x) pour toutx∈I. On a :

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(u) du= Z α

ϕ(a)

f(u) du+ Z ϕ(b)

α

f(u) du=− Z ϕ(a)

α

f(u) du+ Z ϕ(b)

α

f(u) du soit :

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(u) du=−H(ϕ(a)) +H(ϕ(b)) =−(H◦ϕ)(a) + (H◦ϕ)(b).

Posons K=H◦g, nous obtenons : Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(u) du=K(b)−K(a).

Comme la fonction ϕ est de classe C¹ sur l’intervalle [a, b] et puisque H est d´erivable sur I, la fonction compos´eeK est d´erivable sur [a , b] et on a :

K⁰(t) =H⁰(ϕ(t))ϕ⁰(t) =f(ϕ(t))ϕ⁰(t).

Par cons´equent, la fonction K est une primitive sur [a, b] de la fonction (f ◦ϕ)ϕ⁰.

De plus, les fonctions ϕ etϕ⁰ sont continues sur [a, b] et la fonction f ´etant continue sur I alors la fonction K⁰ est continue sur [a, b] et on a :

K(b)−K(a) = Z b

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t) soit encore :

Z ϕ(b) ϕ(a)

f(u) du= Z b

a

f(ϕ⁰(t))ϕ(t) dt.

1. Soit `a calculer

I = Z 1

0

1

t²+t+ 1dt.

On mett²+t+ 1 sous la forme canonique : t²+t+ 1 = 3

4

" 2t

√ 3 + 1

√ 3

2

+ 1

# .

Ainsi

I = Z 1

0

1 t²+t+ 1 =

Z 1 0

4 3

1 (^√2t

3+ ^√1

3)²+ 1dt= 4 3

Z

√ 3 1/√ 3

1 u²+ 1

√3 2 du, en posant u= ^√2t

3 +^√1

3, d’o`u du= ^√2

3dt U = 2

√

3[arctan(u)]

√3 1/√

3 = 2

√ 3

π 3 −π

6

= π√ 3 9 .

2. Soit f une fonction T-p´eriodique. Alors l’int´egrale de f sur une p´eriode est constante ; par exemple :

Z T 0

f(t) dt= Z T /2

0

f(t) dt+ Z T

T /2

f(t) dt par la relation de Chasles

= Z T /2

0

f(t) dt+ Z 0

−T /2

f(u+T) du en posant u=t−T

= Z 0

−T /2

f(u) du+ Z T /2

0

f(t) dt

car f(u+T) =f(u)

= Z T /2

−T /2f(t) dt.

Exemples 41.23.

Il s’agit, pour n∈N, des int´egrales suivantes : I_n=

Z π/2 0

(cost)ⁿdt, J_n= Z π/2

0

(sint)ⁿdt, K_n= Z 1

−1

(1−t²)ⁿdt, L_n= Z 1

−1

(t²−1)ⁿdt.

♦

Exercice 41.23.Int´egrale de Wallis

1. On va calculer I_n grˆace `a une int´egration par parties. On a imm´ediatement : I₀= π

2 et I₁= Z π/2

0

costdt= 1.

Pour toutn≥0, on a, par int´egration par parties [u(t) = (cost)ⁿ⁺¹ etv⁰(t) = cost]

In+2 = Z π/2

0

(cost)ⁿ⁺¹costdt=^h(cost)ⁿ⁺¹sint^it

0+ (n+ 1) Z π/2

0

(cost)ⁿ(sint)²dt In+2 = (n+ 1)(In−In+2)⇔In+2 = n+ 1

n+ 2In

ou encore

I_n= n−1

n In−2 pour toutn≥2.

On en d´eduit imm´ediatement : I₂ = 1

2I₀ = π

4, I₃= 2 3I₁= 2

3, I₄ = 3

4I₂ = 3π 16. Ainsi, on peut en d´eduire une formule g´en´erale :

– Sin pair (n= 2p)

I_2p = 2p−1

2p ×2p−3

2p−2× · · · × 1

2I₀= (2p)!π 2^2p+1(p!)² =

2p p

π 2^2p+1. – Sin impair (n= 2p+ 1) :

I2p+1= 2p

2p+ 1× 2p−2

2p−1 × · · · ×2

3I1 = 2^2p(p!)² (2p+ 1)!. 2. On calcule J_n en se ramenant `a I_n. En posantu= ^π₂ −t, on obtient :

Jn= Z π/2

0

(sint)ⁿdt= Z 0

−π/2

sin

π 2 −u

n

(−du) = Z π/2

0

(cosu)ⁿdu=In. 3. On calculeK_nen se ramenant `aI_2n+1. On poseu= arcsint(t7→arcsintest une bijection

de [−1,1] dans [−^π₂,^π₂]). On a donc t= sinu.

K_n= Z 1

−1

(1−t²)ⁿdt= Z π/2

−π/2

(cosu)²ⁿcosudu= 2I_2n+1 = 2²ⁿ⁺¹(n!)² (2n+ 1)! . 4. On calcule Ln en se ramenant `a Kn.

Ln= Z 1

−1(t²−1)ⁿdt= (−1)ⁿKn= (−1)ⁿ2²ⁿ⁺¹(n!)² (2n+ 1)! .

5 Int´ egration de fractions rationnelles

1. D´eterminer les r´eelsa,b etctels que, pour tout x∈R\ {−1,1}: 2x²−4

(x−1)(x+ 1)² = a

x−1 + b

x+ 1+ c (x+ 1)²

2. a) En d´eduire sur ]1,+∞[ une primitiveF₁ de la fonction f d´efinie par : f(x) = 2x²−4

(x−1)(x+ 1)².

b) D´eterminer une primitive F2 de f sur l’intervalle ]−1,1[ puis une primitive F3 sur l’intervalle ]−∞,1[.

3. Calculer la valeur exacte de I =

Z −2

−4

2x²−4 (x−1)(x+ 1)² dx puis la valeur d´ecimale approch´ee de 1 `a 10<sup>−2</sup> pr`es par d´efaut.

Exercice 41.23.

♦ Correction de l’exercice. 1.

a

x−1 + b

x+ 1+ c

(x+ 1)² = a(x+ 1)²+b(x−1)(x+ 1) +c(x−1) (x−1)(x+ 1)²

= a(x²+ 2x+ 1) +b(x²−1) +cx−c (x−1)(x+ 1)²

= (a+b)x²+ (2a+c)x+a−b−c

(x−1)(x+ 1)² = 2x²−4 (x−1)(x+ 1)². L’´egalit´e est v´erifi´ee pour tout x ∈ R\ {−1,1}, la comparaison des coefficients respectifs donne :











a+b= 2 2a+c= 0 a−b−c=−4

On exprime, `a l’aide des deux premi`eres ´equations, b et cen fonction de aet l’on reporte les expressions trouv´ees dans la troisi`eme ´equation b= 2−aetc=−2a:

a−(2−a)−(−2a) =−4⇔4a=−2⇔a=−1 2. On en tireb= 2 +¹₂ = ⁵₂ etc=−2−¹₂= 1. Ainsi,

a=−1

2, b= 5

2, c= 1.

2. a) On peut ´ecrire, en utilisant les r´esultats de la premi`ere question : f(x) = 1

2 × 1 x−1 +5

2 × 1 x−1 +5

2 × 1

x+ 1+ 1 (x+ 1)².

Sur l’intervalle ]1,+∞[, x −1 > 0 et x+ 1 > 0. On en reconnaˆıt dans les deux premiers quotients la forme ^u_u⁰ avec u >0. Le troisi`eme quotient est de la forme _u^u₂⁰. Une primitiveF₁ de f sur l’intervalle ]1,+∞[ est :

F1(x) =−1

2ln(x−1) +5

2ln(x+ 1)− 1 x+ 1. b) Dans le cas g´en´eral x7→ln|u|est une primitive dex7→ ^u_u⁰ siu6= 0.

F(x) =−1

2ln|x−1|+5

2ln|x+ 1| − 1 x+ 1.

Si u < 0, ln|u|= ln(−u), on applique cette r`egle pour le calcul des primitives F de f : sur l’intervalle ]−1,1[, x−1<0 etx+ 1>0 :

F₂(x) =−1

2ln(−x+ 1) +5

2ln(x+ 1)− 1 x+ 1, sur l’intervalle ]−∞,−1[, x−1<0 et x+ 1<0 :

F₃(x) =−1

2ln(−x+ 1) + 5

2ln(−x−1)− 1 x−1.

3. L’intervalle [−4,−2] est inclus dans l’intervalle ]−∞,1[. On utilise, pour primitive de f, la fonction F3.

I =F₃(−2) +F₃(−4) =

−1

2ln 3 +5

2ln 1− 1

−1

−

−1

2ln 5 + 5

2ln 3− 1

−3

=−1

2ln 3 + 1 +1

2ln 5− 5

2ln 3−1 3 = 1

2ln 5−3 ln 3 +2 3. La calculatrice donneI ≈ −1,824451, ce qui signifie−1,83≤I ≤ −1,82. La valeur d´ecimale approch´ee par d´efaut deI `a 10<sup>−2</sup> pr`es est : I ≈ −1,83.

6 Calcul approch´ e de l’int´ egrale

Dans cette section, on ne travaillera qu’avec des fonctions monotones (croissantes). Si la fonction n’est pas monotone, il suffit de subdiviser l’intervalle I.

6.1 M´ethode des rectangles `a gauche

On subdivise [a, b] ennintervalles de longueur^b−a_n . On construit (x_i)_0≤i≤navecx_i =a+i^b−a_n . Soit R_k l’aire de A_kB_kB_k+1A_k+1. Soit :

AR_n=

n−1

X

k=0

R_k = b−a n

n−1

X

k=0

f(x_k).

0 x0=a x1 · · · xi xi+1 · · · xn=b

1. Sif est croissante, c’est une approximation par d´efaut et si f est d´ecroissante, c’est une approximation par exc`es.

2. La m´ethode des rectangles `a gauche fait penser aux sommes de Riemann vue en d´ebut de le¸con.

Remarques 41.24.

6.2 M´ethode des trap`ezes

On construit (x_i)_1≤i≤n,x_i=a+i^b−a_n . Soit T_k l’aire du trap`eze A_kB_kB_k+1A_k+1 et AT_n=

n−1

X

k=0

T_k= b−a n

f(a) +f(b)

2 +

n−1

X

i=1

f(x_i).

!

Plus rapide en termes de convergence par rapport `a n mais on ne peut pas savoir si c’est une approximation par exc`es ou par d´efaut.

Remarque 41.25.

7 Autres calculs de primitives

On veut calculer :

F = Z

(t²+ 2t)e^λtdt o`u λest un nombre r´eel non nul.

Puisque la fonction x 7→ x²+ 2x est une fonction polynˆome, cherchons F sous la forme F(x) =P(x) exp(λx), o`uP est une fonction polynˆome de la forme x7→ax²+bx+c. On doit avoir quel que soit x :

F⁰(x) = (P⁰(x) +λP(x)) exp(λx) = (x²+ 2x) exp(λx), c’est-`a-dire

x² = 2x=P⁰(x) +λP(x) = (2ax+b) +λ(ax²+bx+c)

=λax²+ (2a+λb)x+b+λc.

Les coefficients a,b etcsont solutions du syst`eme d’´equations lin´eaires :









 λa= 1 2a+λb= 2 b+λc= 0 d’o`u









 a= _λ¹ b= ^2(λ−1)_λ2 c= ^2(1−λ)_λ3

.

Il vient donc

F(x) = 1

λx²+ 2λ−1

λ² x+ 21−λ λ³

exp(λx).

Exemple 41.26.

On veut calculer

Z

(sint)⁴dt.

Nous avons l’identit´e :

8(sinx)⁴= cos 4x−4 cos 2x+ 3.

Il vient donc : Z

(sint)⁴dt= 1 8 Z

cos(4t) dt−1 2

Z

cos 2tdt+3 8

Z

dt= 1

32sin 4x−1

4sin 2x+3 8x.

Exemple 41.27.