Topologie des espaces vectoriels normés

(1)

Topologie des espaces vectoriels normés

1 Normes et espaces vectoriels normés

1.1 Distance

Dénition

SoitAun ensemble ; soitdune application deA² dansR+. On dit quedest une distance surA si :

1)∀x, y∈A, d(x, y) =d(y, x)

2)∀x, y, z∈A, d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) 3)∀x, y∈A, d(x, y) = 0⇐⇒x=y Dénition

Sidest une distance surA, on dit que(A, d)est un espace métrique.

1.2 Norme

1.2.1 Dénition

SoitE unK−espace vectoriel ; soit N une application deE dansR+; on dit queN est une semi-norme sur E si :

1)∀x∈E,∀λ∈K, N(λx) =|λ|N(x)

2)∀x, y∈E, N(x+y)≤N(x) +N(y): l'inégalité triangulaire.

1.2.2 Dénition

Une semi-normeN est une norme si de plus : 3)∀x∈E− {0}, N(x)>0

SiN est une norme surE, on dit que (E, N)est un espace vectoriel normé.

La norme est souvent notée ainsi : N(x) =kxk. 1.2.3 Distance associée

Soit(E, N)est un espace vectoriel normé ; soitAune partie deE; on dénit une distancedsurApar

d(x, y) =N(x−y)

Dans la suite, on n'étudiera que les espaces métriques qui sont des parties d'un espace normé, et dont la distance est dénie à partir de la norme.

1.2.4 La deuxième inégalité triangulaire.

Toute norme vérie aussi :

∀x, y∈E,|kxk − kyk| ≤ kx−yk Démonstration

Soitx, y ∈E.

kxk=kx−y+yk ≤ kx−yk+kyk, donc kxk − kyk ≤ kx−yk Puis de même,− kxk+kyk ≤ kx−yk.

Exemple

La distance entre Paris et Lille est de 204 km ; on en déduit que les distances d₁ de Marseille à Paris etd₂ de Marseille à Lille dièrent d'au plus 204 km.

En fait,d₁= 661etd₂= 835.

(5)

1.3 Fonctions lipschitziennes

1.3.1 Dénition

SoitE et F deux espaces normés, Aune partie de E, etf une application deAdansF ; on dit quef estk−lipschitzienne si

∀x, y ∈A,kf(x)−f(y)k_F ≤k.kx−yk_E 1.3.2 Exemple : la norme

D'après la deuxième inégalité triangulaire,x→ kxk est 1-lipschitzienne sur E.

1.3.3 Exercice : le plus petit rapport de Lipschitz

Soitf une application lipschitzienne ; montrer que f possède un plus petit rapport de Lipschitz.

Démonstration

k= sup

x6=y

kf(x)−f(y)k kx−yk

1.4 Norme associée à un produit scalaire sur un espace préhilbertien

Soit E un R−espace vectoriel muni d'un produit scalaire ; on dénit une norme surE ainsi :

kxk=p hx, xi

1.5 Exemples de normes sur K

ⁿ

1.5.1 E=K

La norme est en général la valeur absolue siE=R, le module siE=C.

1.5.2 kk₁ kxk₁=Pn

j=1|xj|. 1.5.3 kk_∞ kxk_∞= max

j |x_j|. 1.5.4 kk₂ kxk₂=

Pn

j=1|xj|²¹₂ .

On montre que c'est la norme associée à un produit scalaire ; lequel ? Si K=C?

Réponse

En notantX et Y les colonnes associées àxet y :

hx, yi=

n

X

j=1

xj.yj=X^T.Y SiK=C:

hx, yi= Re

n

X

j=1

xj.yj

(6)

1.6 Parties bornées

SoitAune partie non vide d'un espace vectoriel normé(E, N). On dit queAest bornée si

{kxk/x∈A}

est majorée.

On dit qu'une fonction à valeurs dans E est bornée si son image est bornée.

Diamètre

SoitAune partie non vide bornée d'un espace vectoriel normé(E, N). On appelle diamètre deA:

diam (A) = sup{kx−yk/x, y∈A}

1.7 Boules

1.7.1 Dénition : boules dansE

SoitE un espace vectoriel norméE ; soita∈E et r≥0. Boule ouverte de centreaet de rayonr:

B(a, r) ={x∈E/d(x, a)< r}={x∈E/kx−ak< r}

Boule fermée de centreaet de rayon r:

Bf(a, r) ={x∈E/kx−ak ≤r}

Sphère de centreaet de rayonr:

S(a, r) ={x∈E/kx−ak=r}

1.7.2 Dénition : boules dansA

SoitAune partie d'un espace vectoriel norméE ; soita∈A etr≥0. Boule ouverte dansAde centre aet de rayonr:

BA(a, r) ={x∈A/d(x, a)< r}={x∈A/kx−ak< r}

Boule fermée de centreaet de rayon r:

BA,f(a, r) ={x∈A/kx−ak ≤r}

Sphère de centreaet de rayonr:

SA(a, r) ={x∈A/kx−ak=r}

Remarque

BA(a, r) =B(a, r)∩A 1.7.3 Exemples

Décrire les boules dansR, puis dansR² pour chacune des 3 normes précé- dentes.

Réponse

DansR: B(a, r) = ]a−r, a+r[.

DansR² : B(a, r)est un disque pourkk₂, un carré pour les deux autres.

(7)

1.7.4 Boules dans R+ 1.7.5 Convexité des boules Rappel

SoitAune partie d'un R−espace vectoriel E ; on dit queAest convexe si

∀x, y∈A, [x, y]⊂A où

[x, y] ={(1−t)x+ty /t∈[0,1]}

Théorème

Les boules d'un espace normé sont convexes.

Démonstration

Il faut remarquer que(1−t)x+ty−apeut s'écrire (1−t) (x−a) +t(y−a) Ensuite appliquer l'inégalité triangulaire.

1.8 Distance à une partie

SoitAune partie non vide d'un espace vectoriel norméE ; soitx∈E. On appelle distance dexàA

dA(x) = inf

u∈Akx−uk Existence ded_A(x)?

Théorème

dA est 1-lipschitzienne sur E. Démonstration

Soitx, y ∈E.

∀u∈A, dA(x)≤ kx−uk ≤ kx−yk+ky−uk Donc :

∀u∈A, m=dA(x)− kx−yk ≤ ky−uk

mest un minorant indépendant deu, donc, par passage à la borne inférieure :

d_A(x)− kx−yk ≤d_A(y) Donc

dA(x)−dA(y)≤ kx−yk et de même

dA(y)−dA(x)≤ kx−yk D'où le résultat.

2 Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé (E, N )

2.1 Dénition

Une suite(u_n)∈E^Nconverge versa∈E si :

∀ε >0,∃n0,∀n≥n0,kun−ak ≤ε

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Remarque

(un)∈E^Nconverge versa∈E si et seulement si(kun−ak)converge vers 0 dansR.

Remarque

(un)converge versasi et seulement si :

∀ε >0,{n/kun−ak ≥ε}est une partie nie deN.

2.2 Unicité de la limite

Théorème

Si une suite(un)∈E^N converge, il y a unicité de la limite.

2.3 Caractère borné

Théorème

Si une suite(u_n)∈E^N converge, elle est bornée.

Démonstration

Pourε= 1, il existe n0tel que :

∀n≥n₀,kun−ak ≤ε Alors : ∀n∈N,ku_nk ≤M, avecM =?

Réponse

M₁= max{kukk/k < n₀} ;M = max (M₁,1 +kak). En eet :

∀n≥n0,kunk=kun−a+ak ≤ kun−ak+kak ≤1 +kak

2.4 Opérations sur les limites

Théorème

Soitλ∈K ; si(un)converge versu, et(vn)converge versv, alors(un+λvn)converge versu+λv.

Démonstration

Soitε >0 ; soitn0 etn1 tels que

∀n≥n0,kun−uk ≤ ε 2

∀n≥n1,kvn−vk ≤ ε 2 Soitn₂= max (n₀, n₁); alors :

∀n≥n2,k(un+vn)−(u+v)k ≤ε

2.5 Norme produit

2.5.1 Dénition

Soit(E1,kk₁)et(E2,kk₂)deux espaces vectoriels normés.

On dénit une norme surE=E1×E2 ainsi : k(x, y)k= max (kxk₁,kyk₂)

On généralise aisément à un produit ni d'espaces vectoriels normés.

(9)

2.5.2 Convergence Théorème

La suite (z_n) = (u_n, v_n) converge versl = (a, b)dans E si et seulement si (u_n)converge versaet(v_n)converge versb.

Démonstration

∀n≥0,0≤ kun−ak₁≤ kzn−lk ≤ kun−ak₁+kvn−bk₂.

2.6 Suites extraites

2.6.1 Lemme

Soitϕune fonction strictement croissante deNdansN; alors :

∀n≥0, ϕ(n)≥n 2.6.2 Dénition

Soitϕune fonction strictement croissante deNdansNet(un)∈E^N. On dit que u_ϕ(n)

est une suite extraite de(un). Si u_ϕ(n)

converge, on dit que sa limite est une valeur d'adhérence de (u_n).

2.6.3 Théorème

Si(un)converge versa, toute suite extraite de(un)converge versa. Démonstration

Soitε >0 etn0 tel que

∀n≥n0,kun−ak ≤ε Alors :

∀n≥n0,

u_ϕ(n)−a ≤ε car sin≥n0, alorsϕ(n)≥n≥n0.

Corollaire

Une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence distinctes diverge ; exemple ?

Réponse

u_n= (−1)ⁿ ;(u_2n)et (u_2n+1)convergent vers des limites distinctes.

3 Comparaison des normes

3.1 Exemples de normes sur des espaces de fonctions

3.1.1 Norme de la convergence uniforme

SoitX un ensemble ; soitE l'ensemble des fonctions bornées deX dansK. On dénit surE la norme de la convergence uniforme ainsi :

kfk_∞= sup

X

|f|= sup

t∈X

|f(t)|

Remarque

Cas particulier : la normekk_∞ déjà vue dansE=Rⁿ, avecX =?

(10)

3.1.2 Norme de la convergence en moyenne

SoitI= [a, b]un segment ; soitE =C⁰(I, K); norme de la convergence en moyenne :

kfk₁= ˆ

I

|f|= ˆ

I

|f(t)|dt

Remarque

Peut-on généraliser à l'ensemble E⁰ des fonctions continues par morceaux surI?

Réponse

On obtient une semi-norme surE⁰.

3.1.3 Norme de la convergence en moyenne quadratique

SoitI= [a, b]un segment ; soitE =C⁰(I, K); norme de la convergence en moyenne quadratique :

kfk₂= ˆ

I

|f|² ¹₂

Cette norme dérive du produit scalaire suivant : hf, gi=

ˆ

I

f g SiK=C

hf, gi= Re ˆ

I

f g

3.2 Normes équivalentes

3.2.1 Dénition

Deux normesN etN⁰ surE sont équivalentes si

∃α >0,∃β >0,∀x∈E, αN(x)≤N⁰(x)≤βN(x) Dénition équivalente :

N etN⁰ surEsont équivalentes si _N^N0 et ^N_N⁰ sont majorées surE− {0}. Complément

On dit queN1est plus ne queN2 si

∃α >0, N2≤αN1

ou encore si ^N_N²₁ est majorée.

Deux normes sont équivalentes si chacune des deux est plus ne que l'autre.

3.2.2 Remarque

SoitN etN⁰ deux normes surE équivalentes ; les parties bornées, les suites convergentes sont les mêmes.

(11)

3.3 Exemples dans K

ⁿ

3.3.1 kk_∞≤ kk₁ 3.3.2 kk₁≤nkk_∞ 3.3.3 kk_∞≤ kk₂ 3.3.4 kk₂≤√

nkk_∞ 3.3.5 kk₁≤√

nkk₂ 3.3.6 kk₂≤ kk₁

3.4 Exemples dans M

_n

( R )

3.4.1 kk₂,kk_∞

Il s'agit d'un cas particulier du précédent, avecn²à la place den; on dénit donc :

kAk_∞= max

1≤i,j≤n|ai,j|

kAk₂=





n

X

i=1 n

X

j=1

|ai,j|²





1 2

kk₂(norme de Frobenius) est la norme associée à un produit scalaire ; lequel

? SiK=C? Réponse

hA, Bi=

n

X

i=1 n

X

j=1

ai,j.bi,j

SiK=C:

hA, Bi= Re

n

X

i=1 n

X

j=1

ai,j.bi,j

Expression simpliée pourkk₂ ? hA, Bi= tr ^tA.B

,kAk₂=p

tr (^tA.A) 3.4.2 Une norme subordonnée

On noteraF =Mn,1(R)l'ensemble des colonnes de taillen. Dénition

kAk= sup

x∈F−{0}

kA.xk_∞ kxk_∞ Propriétés

On peut montrer qu'on dénit ainsi une norme surE =Mn(R) ; kAk est en fait le rapport de Lipschitz deA.

Cette norme vérie

∀x∈F,kA.xk_∞≤ kAk.kxk_∞ On l'appelle la norme subordonnée àkk_∞.

Exercice

SoitA∈E. Notons(L₁, ..., L_n)les lignes deA. Alors : kAk= max

1≤i≤nkLik₁

(12)

Démonstration Notons

m= max

1≤i≤nkLik₁ Soitx∈F.

∀i,(A.x)_i=

n

X

j=1

a_i,jx_j Donc :

∀i,|(A.x)_i| ≤

n

X

j=1

|a_i,jx_j| ≤ kxk_∞.

n

X

j=1

|a_i,j|=kxk_∞.kL_ik₁≤m.kxk_∞

D'où :

kA.xk_∞≤m.kxk_∞

Cherchons maintenantx∈F, non nul, tel quekA.xk_∞=m.kxk_∞. On choisit d'aborditel que m=kLik₁. Ensuite ?

On dénitxde la façon suivante :

xj=±1, du signe deai,j. Il y a alors égalité dans l'inégalité triangulaire.

3.4.3 Une autre norme subordonnée Exercice

On noteF =Mn,1(R)l'ensemble des colonnes de taillenet kAk= sup

x∈F−{0}

kA.xk₁ kxk₁

De manière analogue, on peut montrer qu'on dénit ainsi une norme sur E=Mn(R);kAkest le rapport de Lipschitz deA. Cette norme vérie

∀x∈F,kA.xk₁≤ kAk.kxk₁

On l'appelle la norme subordonnée àkk₁. On va montrer que kAk= max

1≤j≤nkCjk₁ Démonstration

Soit(e1, e2, ...en)la base canonique deRⁿ. Notons M = max

1≤j≤nkCjk₁ Notons d'abord que

∀j∈J1, nK,kCjk₁=kA.e_jk₁ ke_jk₁ DoncM ≤ kAk.

Inversement, soitx∈Rⁿ : x=Pn j=1xjej.

kAxk₁=

n

X

j=1

x_j.Ae_j 1

≤

n

X

j=1

|xj| kAejk₁≤M

n

X

j=1

|xj|=Mkxk₁

Donc

∀x∈F\ {0}, kA.xk₁ kxk₁ ≤M D'oùkAk ≤M.

(13)

3.4.4 Que dire dekA.Bk ? Exercices

Pour kk_∞

∀A, B∈E,kA.Bk_∞≤n.kAk_∞kBk_∞ Pour kk₁

∀A, B∈E,kA.Bk₁≤ kAk₁kBk₁ Pour la norme subordonnée

∀A, B ∈E,kA.Bk ≤ kAk.kBk On parle de norme sous-multiplicative.

Autre norme qui vérie cette propriété ? n.kAk_∞ 3.4.5 Pourkk₂

∀A, B ∈E,kA.Bk₂≤ kAk₂.kBk₂ Démonstration

SoitC=AB; alors :

c_i,j=

n

X

k=1

a_i,kb_k,j=hLi(A), C_j(B)i

Donc :

c²_i,j ≤ kLi(A)k²₂.kCj(B)k²₂=a_i.b_j On somme et on obtient le résultat.

Cas d'égalité

kA.Bk₂ = kAk₂.kBk₂ si et seulement si pour tout (i, j), (Li(A), Cj(B)) est liée. Ce qui se produit dans les cas suivants :

-A= 0. -B= 0.

- A et B sont de rang 1 ; les lignes de A et celles de B^T sont sur une même droite.

3.5 Exemples dans E = C

⁰

([a, b] , R )

3.5.1 kk₁≤(b−a)kk_∞ 3.5.2 kk₂≤√

b−akk_∞ 3.5.3 kk₁≤√

b−akk₂ 3.5.4 kk_∞≤C.kk₁ ? Non, exemple

I= [0,1];f_n(x) =xⁿ; la suite_kf

nk_∞ kfnk₁

n'est pas pas majorée.

3.5.5 kk₂≤αkk₁ ? Même réponse.

(14)

3.5.6 Convergence de(fn)

(fn)converge versf = 0pourkk₁. En eet :

∀n≥0,kf_nk₁=kf_n−0k₁= 1 n+ 1 Supposons que(f_n)converge vers une limite gpourkk_∞.

Alors,(f_n)converge aussi versg pourkk₁. En eet :

∀n≥0,kfn−gk₁≤ kfn−gk_∞ Par unicité de la limite pourkk₁, g=f = 0.

Il reste à savoir si(fn)converge vers 0 pour kk_∞.

∀n≥0,kfn−0k_∞=kfnk_∞= 1 Donc(f_n)ne converge pas vers 0pour kk_∞.

Donc(fn)n'a pas de limite pourkk_∞.

3.6 Intégration sur un intervalle I quelconque

3.6.1 Convergence en moyenne kfk₁=

ˆ

I

|f|= ˆ

I

|f(t)|dt

dénit une norme sur l'espace des fonctions continues intégrables surI. 3.6.2 Exercice : convergence en moyenne quadratique

kfk₂= ˆ

I

|f|² ¹₂

Cette norme dérive du produit scalaire suivant : hf, gi=

ˆ

I

f g

oui, mais sur quel espace ? Réponse

L'ensemble des fonctions continues de carré intégrable.

Démonstration

|f+g|²≤2

|f|²+|g|² prouve qu'il s'agit d'un espace vectoriel.

|f g| ≤ 1 2

|f|²+|g|²

prouve quehf, gi=´

If gexiste.

3.6.3 Généralisation

Soitω une fonction continue et strictement positive surI. hf, gi=

ˆ

I

f gω

dénit un produit scalaire sur l'ensemble des fonctions f continues sur I telles que ?

Telles quef².ω soit intégrable.

(15)

4 Topologie d'un espace métrique A

4.1 Ouverts de A

4.1.1 Dénition U est un ouvert de Asi

∀a∈U,∃ε >0, B(a, ε)⊂U 4.1.2 Quelques exemples dansR

4.1.3 Stabilité Théorème

Toute intersection nie, toute union d'ouverts deA est un ouvert deA. L'ensemble vide etA sont des ouverts deA.

Démonstration

SoitU1et U2 deux ouverts deA; soit aélément de U1∩U2 ; alors

∃ε1>0, B(a, ε1)⊂U1

∃ε2>0, B(a, ε2)⊂U2

D'où

∃ε >0, B(a, ε)⊂U1∩U2

Par exemple,ε= min (ε₁, ε₂). Intersection quelconque ? SoitUn=

−_n¹,_n¹pour n≥1.

\

n≥1

U_n ={0}

intersection d'ouverts deRqui n'est pas un ouvert deR.

4.1.4 Boules Théorème

Toute boule ouverte est un ouvert deA. Démonstration

Soitr >0 ; soitU =B(a, r); soitb∈U ;B(b, ε)⊂U, avecε=? Réponse

ε=r− ka−bk En eet :

∀x∈B(b, ε),ka−xk ≤ ka−bk+kb−xk<ka−bk+ε=r donc

B(b, ε)⊂B(a, r)

(16)

4.1.5 Les ouverts de A sont les unions de boules ouvertes Démonstration

Les unions de boules ouvertes sont des ouverts deA. Réciproquement : SoitU un ouvert deA, etV l'union des boules ouvertes contenues dans U ; évidemment,

V ⊂U Soitx∈U ; alorsx∈V car ...?

Conclusion :

U =V 4.1.6 Voisinages

On dit queV est un voisinage deadansAsiV contient une boule de centre aet de rayon non nul, c'est-à-dire :

∃ε >0, B(a, ε)⊂V Remarque

U est un ouvert deAsi et seulement siU est un voisinage de chacun de ses points.

Exemple

A=R;R+est un voisinage de quels points ? Tous sauf 0.

4.2 Continuité

4.2.1 Dénition

SoitAet B deux espaces métriques ; soitf une application de AdansB. On dit quef est continue au pointa∈Asi

∀ε >0,∃α >0,∀x∈A, d (x, a)< α⇒d (f(x), f(a))< ε Autre formulation

∀ε >0,∃α >0, f(B(a, α))⊂B(f(a), ε) 4.2.2 Dénition, cas particulier de la précédente

SoitE et F deux espaces normés ; soitAune partie deE, B une partie de F ; soit f une application deAdansB.

On dit quef est continue au pointa∈Asi

∀ε >0,∃α >0,∀x∈A,kx−ak< α⇒ kf(x)−f(a)k< ε Autre formulation

∀ε >0,∃α >0, f(B_A(a, α))⊂B(f(a), ε) 4.2.3 Les fonctions lipschitziennes

Théorème

Sif estk−lipschitzienne, alorsf est continue surA(en tout point deA).

Démonstration

α= ^ε_k ; on remarqueαest indépendant dea.

(17)

4.2.4 Images réciproques Théorème

Soitf une application continue deAdansB.

Alors l'image réciproque de tout ouvert deBest un ouvert deA(pas un ouvert deE).

Démonstration

SoitV ouvert de B ; soitU =f⁻¹(V); soita∈U ; b=f(a)∈V etV est un ouvert deB ; donc :

∃ε >0, B(b, ε)⊂V Ensuite :

∃α >0,∀x∈A,kx−ak< α⇒ kf(x)−f(a)k< ε Conclusion ?

B(a, α)⊂U 4.2.5 Application

Toute boule ouverte deAest un ouvert deA. Démonstration

B(a, r) =f⁻¹(]−∞, r[), avecf : A→R x→ kx−ak

4.3 Fermés de A

4.3.1 Dénition

T est un fermé deA si son complémentaire est ouvert dansA. 4.3.2 Quelques exemples dansR

4.3.3 Stabilité Théorème

Toute intersection, toute union nie de fermés deA est un fermé deA. L'ensemble vide etA sont des fermés deA.

Union quelconque ? SoitTn =1

n,1 ; l'union desTn pour n≥1 est ]0,1]qui n'est pas fermé dansR.

4.3.4 Images réciproques Théorème

Soitf une application continue deAdansB.

Alors l'image réciproque de tout fermé deB est un fermé deA. Démonstration

SiT est le complémentaire deUdansB, alorsf⁻¹(T)est le complémentaire def⁻¹(U)dansA.

4.3.5 Boules Théorème

Les boules fermées, les sphères sont des fermés deA.

(18)

Démonstration

Bf(a, r) =f⁻¹(]−∞, r]);S(a, r) =f⁻¹({r}).

4.4 Intérieur

4.4.1 Point intérieur Dénition

SoitE un espace normé ; soitA une partie deE, etaun élément deE. aest un point intérieur àAsi

∃ε >0, B(a, ε)⊂A

aest donc un point intérieur à AsiAest un voisinage deadansE. Dénition

L'ensemble des points intérieurs deAest appelé intérieur deA, notéInt (A), ouA^◦.

4.4.2 Exemples dansE=R

Trouver l'intérieur des parties suivantes deR 1)]0,1[

2)R+ 3)[0,1]

4)[0,1[

5)Z 6)Q,R\Q Réponses

1)]0,1[

2)]0,+∞[

3, 4)]0,1[

5, 6)∅

4.4.3 Propriétés

SoitAet B des parties deE. 1)A^◦ ⊂A.

2) SiA⊂B,A^◦ ⊂B^◦.

3) SiAest un ouvert deE,A^◦ =A.

4) SoitU un ouvert deE contenu dansA; alorsU ⊂A^◦. 5)A^◦ est un ouvert de E.

Démonstration 1), 2) , 3) : clair.

3) SoitU un ouvert deE contenu dansA: U ⊂A

Donc ◦

U ⊂A^◦ OrU =

o

U, donc

U ⊂A^◦

(19)

5) Soita∈A^◦ : il existeε >0 tel que B(a, ε)⊂A On sait queU =B(a, ε)est un ouvert deE ; donc

B(a, ε)⊂A^o

◦

Aest bien un ouvert deE.

4.4.4 Caractérisation de l'intérieur Théorème

◦

Aest le plus grand ouvert deE contenu dansA: c'est un résumé de ce qui précède.

4.4.5 Exercice

Montrer que l'intérieur de A est un ouvert de E en utilisant une image réciproque.

Démonstration

On supposeAdiérent deE; soitB le complémentaire deAdansE ; alors

: _◦

A={x∈E\d_B(x)>0}

4.5 Adhérence

4.5.1 Point adhérent Dénition

SoitE un espace normé ; soitA une partie deE, etaun élément deE. aest un point adhérent àAsi

∀ε >0, B(a, ε)∩A6=∅

aest donc un point adhérent àAsi tout voisinage deadansErencontreA. Dénition

L'ensemble des points adhérents àAest appelé adhérence deA, notéA.

4.5.2 Premières propriétés -A⊂A

-A⊂B ⇒ A⊂B

4.5.3 Exemples dansE=R

Trouver l'adhérence des parties suivantes deR 1)]0,1[

2)R+ 3)[0,1]

4)[0,1[

5)Z 6)Q,R\Q 7]0,+∞[

(20)

Réponse 1)[0,1]

2)R+ 3, 4)[0,1]

5)Z 6)R 7)R+

4.5.4 La borne supérieure

SiAest une partie deRnon vide et majorée,supA∈A. 4.5.5 Adhérence et intérieur

SoitAune partie de E,B son complémentaire dansE.

L'adhérence deB est le complémentaire de l'intérieur deA: E\A=E\A^o

Démonstration

a /∈A^◦ ⇐⇒ ∀ε >0, B(a, ε)6⊂A⇐⇒ ∀ε >0, B(a, ε)∩B 6=∅⇐⇒a∈B 4.5.6 Caractérisation de l'adhérence

Théorème

-Aest le plus petit fermé deEcontenantA. -A=Asi et seulement siAest fermé dansE. 4.5.7 Exercice

SoitAet B deux parties deE ; comparerA∪B etA∪B. Réponse

A⊂A∪B, doncA⊂A∪B ; de même, B⊂A∪B.

Inversement,A∪B⊂A∪B, qui est fermé dansE; doncA∪B⊂A∪B. 4.5.8 Exercice

SoitAet B deux parties deE ; comparerA∩B etA∩B. Réponse

A∩B ⊂A, doncA∩B⊂A; de même, A∩B⊂B ; donc A∩B⊂A∩B

Mais ils ne sont pas toujours égaux : A= [0,1[etB = ]1,2].

4.6 Frontière

4.6.1 Dénition

SoitAune partie de E ; on appelle frontière deA : FrA=∂A=A\A^◦ SoitB le complémentaire de AdansE ;

∂A=A∩B

Par conséquent,Aet B ont la même frontière, et c'est un fermé deE.

(21)

4.6.2 Exemples

Trouver la frontière des parties suivantes deR 1)]0,1[

2)]0,+∞[

3)Z 4)Q Réponse

1){0,1}

2){0}

3)Z 4)R

4.7 Changement de norme

Théorème

Deux normes équivalentes surEdénissent les mêmes notions topologiques suivantes :

ouverts, fermés, adhérence, intérieur, frontière, limites, continuité, conti- nuité uniforme, voisinages, parties bornées...

Démonstration

Soitkk₁ etkk₂ deux normes équivalentes surE. Soitk >0tel que kk₂≤k.kk₁

Considérons

f : (E,kk₁)→(E,kk₂) x→x

f estk−lipschitzienne, donc continue.

Donc tout ouvert pourkk₂est ouvert pourkk₁, car image réciproque par f d'un ouvert.

De manière analogue, tout ouvert pourkk₁ est ouvert pourkk₂.

5 Suites et topologie

5.1 Adhérence

Théorème

SoitAune partie de E ; soita∈E.

a∈ Asi et seulement s'il existe une suite d'éléments de A convergeant versa.

Démonstration

Soita∈A ; pour toutn≥1, B

a,1

n

∩A6=∅

Soit doncun un élément deB a,_n¹

∩A; la suite(un)convient.

Réciproque ? Théorème

SoitAune partie de E.

Aest fermée dansEsi et seulement si, pour toute suite d'éléments deA convergente, la limite est dansA.

(22)

5.2 Densité

5.2.1 Dénition

SoitAet B deux parties deE ; on dit queAest dense dansB siB⊂A. 5.2.2 Caractérisation séquentielle

A est dense dans B si et seulement si tout élément de B est limite d'une suite d'éléments deA.

5.2.3 Rationnels Qest dense dansR.

Démonstration

Pourn≥1,soit a_n= 10⁻ⁿE(10ⁿa).

∀n≥1, E(10ⁿ.a)≤10ⁿ.a < E(10ⁿ.a) + 1 D'où :

∀n≥1, a_n ≤a < a_n+ 1 10ⁿ D'où

∀n≥1, a− 1

10ⁿ < an ≤a 5.2.4 Irrationnels

R\Qest dense dansR.

Démonstration

Soitaun réel,(rn)une suite de rationnels convergeant versa−√ 2. Alors rn+√

2

converge versa. 5.2.5 Sous-espace vectoriel Exercice

SoitF un sous-espace vectoriel deE distinct deE. AlorsA=E\F est dense dansE.

Démonstration

Soite∈E\F ; soit x∈F ; soit

xn=x+1 ne

(xn)est une suite d'éléments deAqui converge versx. Remarque

SoitAune partie quelconque deE.

Aest dense dansE si et seulement si son complémentaire est d'intérieur vide.

Donc un sous-espace deE autre queE est d'intérieur vide.

(23)

5.3 Les valeurs d'adhérence d'une suite

Exercice

Soit(u_n)∈E^N; soita∈E.

Montrer queaest une valeur d'adhérence de(u_n)si et seulement si

∀n≥0,∀ε >0,∃p≥n,kup−ak ≤ε A l'aide de

Xn={up/p≥n}

montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de(un)est un fermé deE. Réponse

L'ensemble des valeurs d'adhérence de(u_n)est :

\

n≥0

Xn

5.4 Exercice : les fonctions strictement positives

SoitI= [0,1]etE=C(I,R); soit

U ={f ∈E/∀t∈I, f(t)>0}

U est-il ouvert dansE ? 1er cas : kk_∞.

Soitf ∈U.

Trouverε >0 tel queB(f, ε)⊂U et en déduire que U est ouvert dans E.

Réponse

ε= min

I f 2e cas : kk₁.

Soitf ∈U ; construire une suite(fn)d'éléments deE\U convergeant vers f.

Montrer queU n'est pas ouvert dansE ; quel est son intérieur ? Réponse

Soit hn continue ane par morceaux, nulle sur ₁

n,0

, telle que hn(0) = f(0).

Plus précisément :

∀t∈

0,1 n

, hn(t) =f(0).(1−nt)

Soitfn=f−hn ; on constate que :

∀n≥1, fn∈/ U (carf_n(0) = 0).

∀n≥1,kf−f_nk₁=kh_nk₁= f(0) 2n

DoncE\U est dense dansE, ce qui équivaut àU d'intérieur vide.

(24)

6 Topologie induite

Eest un espace normé, etAune partie de E.

6.1 Boules

B_A(a, ε) =A∩B(a, ε). Corollaire

Les voisinages deadansAsont les intersections avecAdes voisinages dea dansE.

6.2 Ouverts relatifs

6.2.1 Théorème 1

Les ouverts deAsont les intersections avecAdes ouverts deE. On dit aussi les traces surAdes ouverts deE.

Démonstration Soit

f : A→E x→x

SoitU un ouvert deE ; pourquoiU∩Aest-il un ouvert deA? Réponse

U∩Aest l'image réciproque deU parf.

Soit maintenantV un ouvert deA; on sait queV est une union de boules ouvertes :

V =[

i∈I

B_A(a_i, r_i) Donc

V =A∩ [

i∈I

B(ai, ri)

!

Remarque

Un ouvert deEcontenu dansAest ouvert dansA. 6.2.2 Théorème 2

Dans le cas oùAest un ouvert de E :

les ouverts deAsont les ouverts deE contenus dans A.

6.3 Fermés relatifs

6.3.1 Théorème 1

Les fermés deA sont les intersections avecAdes fermés deE. On dit aussi les traces surAdes fermés deE.

Remarque

Un fermé deE contenu dansAest fermé dansA. 6.3.2 Théorème 2

Dans le cas oùA est un fermé de E, les fermés de A sont les fermés de E contenus dansA.

(25)

6.3.3 Caractérisation séquentielle des fermés deA Théorème

SoitB une partie de A.

B est fermée dansAsi et seulement si, pour toute suite(u_n)d'éléments deB qui converge vers une limiteadansA,aappartient àB.

6.4 La topologie de Z

Exercice

DansA=Z, chercher les boules, les ouverts, et les fermés.

Réponse Soitn∈Z;

{n}= ]n−1, n+ 1[∩Z ce qui prouve que{n} est un ouvert deZ.

On en déduit par réunion que toute partie est ouverte dansZ.

Par passage au complémentaire, on en déduit que toute partie est fermée dansZ: on parle de topologie discrète.

7 Limites et continuité

7.1 Voisinages

7.1.1 Cas oùa∈E

On dit queV est un voisinage deadansEsiV contient une boule de centre aet de rayon non nul :

∃ε >0, B(a, ε)⊂V 7.1.2 Cas oùa= +∞

On dit queV est un voisinage de+∞dansRsi

∃b∈R,]b,+∞[⊂V 7.1.3 Cas oùa=−∞

On dit queV est un voisinage de−∞dansRsi

∃b∈R,]−∞, b[⊂V 7.1.4 Cas oùa=∞

On dit queV est un voisinage de l'inni dansE si

∃b >0,∀x∈E,kxk> b⇒x∈V Remarque

V est un voisinage de l'inni dansAsi et seulement si son complémentaire dansEest... ?

Réponse borné.

(26)

7.2 Limites

7.2.1 Dénition

SoitAune partie de E ; soita∈A; soit f une application deAdansF. On dit que

lima f =l

si pour tout voisinageV del dansF, il existe un voisinageU deadans E tel que

f(A∩U)⊂V Cas particulier important

Dans l'étude de la convergence des suites,A=Net a= +∞. 7.2.2 Extension

Comment interprétera∈Adans le cas oùaest inni ? Réponse

Poura= +∞: Anon majoré ; poura=∞: Anon borné.

7.2.3 Caractérisation séquentielle Théorème

lima f =L

si et seulement si, pour toute suite d'éléments deAconvergeant versa, limn f(un) =L

7.2.4 Cas d'une application à valeurs dans un produit ni d'espaces vectoriels normés

Théorème Ici,F =F1×F2.

f(x) = (f1(x), f2(x)) Dans ce cas :

lima f = (l1, l2)si et seulement silim

a f1=l1 etlim

a f2=l2. Démonstration

Découle de la caractérisation séquentielle.

7.2.5 Opérations algébriques sur les limites Théorème

Silim

a f =let lim

a g=l⁰, alorslim

a f+λg=l+λl⁰. 7.2.6 Limite d'une composée

Théorème

Soitf une application de AdansB, etg une application deB versF. Silim

a f =bet lim

b g=l, alors

lima g◦f =l

(27)

7.2.7 Continuité en un point et limite Silim

a f =l, et si de plus a∈A, alors l=f(a)

Dans ce cas, f est continue au point a ; réciproquement, si f est continue au pointa,lim

a f =f(a).

La continuité au point a équivaut donc à l'existence d'une limite nie dans le cas oùa∈A.

Corollaire

Les propriétés précédentes s'appliquent à la continuité :

caractérisation séquentielle, opérations algébriques, composition...

7.3 Fonctions coïncidant sur une partie dense

Théorème

SoitBpartie dense deA; soitfetgdeux applications deAdansFcontinues qui coïncident surB. Alors

f =g Démonstration 1

Soita∈A ; soit(b_n)une suite d'éléments de B qui converge versa; alors

∀n≥0, f(b_n) =g(b_n) Il sut de passer à la limite.

Démonstration 2

Que dire de(f−g)⁻¹{0}?

C'est un fermé deAqui contientB, donc c'estA.

7.4 Endomorphismes continus de ( R , +)

Exercice important

Les seuls endomorphismes de groupes continusf de(R,+)sont les f_a:t→at

oùadécrit R.

Démonstration

SoitF une primitive def. De

(H) : ∀x, y∈R, f(x+y) =f(x) +f(y) on déduit, en intégrant sur[0,1]par rapport ày :

∀x∈R, F(x+ 1)−F(x) =f(x) +F(1)−F(0)

Ceci montre que f est de classe C¹ sur R. On revient à (H) ; en dérivant par rapport ày :

∀x, y ∈R, f⁰(x+y) =f⁰(y) D'où

∀x∈R, f⁰(x) =f⁰(0) Conclusion ?

Topologie des espaces vectoriels normés