Examen - Session 1 – Eléments de correction Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Licence Math-Info. Université d’Artois. 2020-2021.

Examen - Session 1 – Eléments de correction Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Exercice 1 cf TD.

Exercice 2 cf cours/TD 1) cf cours.

2) (cf TD) Puisque Φ est linéaire, on utilise les caractérisations des applications linéaires continues.

Ainsi pour toute suite bornée u “ pu_nqnPN P X, la série de terme général u_n

2^n`1 converge puisque Op2^´nqet la série géométrique de raison 1{2 converge (car1{2ă1). De plus

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

`8

ÿ

n“0

u_n 2^n`1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď

`8

ÿ

n“0

|u_n| 2^n`1 ď

`8

ÿ

n“0

}u}₈

2^n`1 “ }u}₈ car

`8

ÿ

n“0

1 2^n`1 “

`8

ÿ

n“1

1 2ⁿ “1.

On a donc |Φpuq| ď }u}₈ et on en déduit que |||Φ||| ď1.

Réciproquement, si on considère la suitev contante à1, elle est bien dans X avec }v}₈ “1 et

Φpvq “

`8

ÿ

n“0

1 2^n`1 “1 donc |||Φ||| “ 1.

Exercice 3

On fixe N ě 1. Soit V l’espace vectoriel engendré par les monômes X, . . . , X^N: c’est un sous-espace vectoriel deRNrXs, de dimension (finie !) N.

Par ailleurs pour P P V, les quantités }P}8 “ sup

xPr0,1s

ˇ ˇ ˇPpxq

ˇ ˇ

ˇ et ν₈pPq “ sup

xPr´1,1s

ˇ ˇ ˇPpxq

ˇ ˇ ˇ définissent des normes sur V: c’est le cours pour la première; pour la seconde, ce sont les mêmes arguments.

Comme V est de dimension finie, ces normes sont équivalentes. En particulier, il existe C_N ą0 tel que

pour toutP PV, on a ν₈pPq ď C_N}P}8

ce qui est le résultat cherché.

Exercice 4 1) cf cours.

2) cf TD