Contrôle de mathématiques n°3

1^ère S, le 22/11/2013

Contrôle de mathématiques n°3

EXERCICE 1

1. Pour chacune des suites suivantes, calculer les trois premiers termes, déterminer s’il s’agit d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

a) u est la suite définie par : un = 3 – 2 n pour tout entier naturel n b) v est la suite définie par : v_n = – 4

3ⁿ pour tout entier naturel n.

2. On considère l’algorithme ci-contre écrit sur Algobox a) On lance l’algorithme :

• A la demande « entrer u0 » on entre : 12

• A la demande « entrer r » on entre : 3

• A la demande « entrer p » on entre : 20

Donner l’expression et la valeur de chacun des deux premiers et des deux derniers nombres affichés par cet algorithme.

b) Modifier les lignes de 18 à 24 pour obtenir uniquement les nombres 70 et 1360 en lançant l’algorithme avec :

• A la demande « entrer u0 » on entre : 100

• A la demande « entrer r » on entre : – 2

• A la demande « entrer p » on entre : 15

3. a) Exprimer la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … + n en fonction de n.

b) Calculer la somme S = 5 + 9 + 13 + 17 + … + 125

4. Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 3 et u3 = 24.

a) Calculer la raison q de la suite.

b) Donner l’expression de un en fonction de n.

c) Calculer u9.

d) Pour q≠1, quelle est l’expression de la somme 1 + q + q² + q³ + … + qⁿ en fonction de n ?

e) Calculer la valeur exacte de la somme S = u0 + u1 + u2 + … + u13.

1 VARIABLES

2 u0 EST_DU_TYPE NOMBRE 3 r EST_DU_TYPE NOMBRE 4 u EST_DU_TYPE NOMBRE 5 S EST_DU_TYPE NOMBRE 6 k EST_DU_TYPE NOMBRE 7 p EST_DU_TYPE NOMBRE 8 DEBUT_ALGORITHME 9 LIRE u0

10 u PREND_LA_VALEUR u0 11 S PREND_LA_VALEUR u0 12 LIRE r

13 LIRE p

14 POUR k ALLANT_DE 1 A p 15 DEBUT_POUR

16 u PREND_LA_VALEUR u+r 17 S PREND_LA_VALEUR S+u 18 AFFICHER "u"

19 AFFICHER k 20 AFFICHER " = "

21 AFFICHER u 22 FIN_POUR 23 AFFICHER "S = "

24 AFFICHER S 25 FIN_ALGORITHME

EXERCICE 2 : QCM

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte. Noter dans la dernière colonne la réponse choisie (A ou B ou C ou D)

Proposition Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D

Si A(-2 ;5), B(2 ;7), C(6 ;5) alors la droite parallèle à (AB) passant par C a pour équation

0 12

2x− = −x+2y−4=0 y=2x−7 0,5x−y−6=0

→u (x ;y) et ^→v (x’ ;y’)

sont colinéaires équivaut à x x’ + y y’= 0 x x’ – y y’ = 0 x y’ – x’ y = 0 x y’ + x’ y = 0

Si A(4 ;2) et B(1 ;6) alors : AB = 1 AB = 7 AB = 25 AB = 5

Si A(-2 ;5) et B(2 ;7) alors le cercle de centre A passant par B coupe l’axe des ordonnées en

E(1 ;0) F(0 ;9) G(0 ;5) H( 5;0)

Si^→u (3 ;4) et ^→v (–1 ;2)

alors 2^→u – 3^→v (3 ;2) (9 ;2) (3 ;14) (11 ;6)

La droite d’équation 3x – 5y + 5 = 0 admet pour vecteur directeur

→u (3 ; – 5) ^→u (3 ; 5) ^→u (5 ; 3) ^→u (5 ; – 3)

→u ( – 2 ; 3) est un vecteur directeur d’une droite (d) ;

(d) a pour coefficient directeur

m = 2

3 m = 3

2 m = – 2

3 m = – 3

2 L’ensemble des points

M(x ;y) tels que x² + y² – 2x + 6y + 6 = 0 est :

Le cercle de centre Ω (1 ;–3) et de rayon 2

Le cercle de centre Ω (1 ;–3)

et de rayon 4

Le cercle de centre Ω (–1 ;3)

et de rayon 2

Le cercle de centre Ω (–1 ;3)

et de rayon 4 L’ensemble des points

M(x ;y) tels que x² + y² + 4x + 10y + 29 = 0 est :

Le point A(4 ;10)

Le point A(2 ;5)

Le point

A( – 2 ; – 5) ∅

EXERCICE 3 :

Afin d’acquérir et d’aménager une boutique du centre ville, un investisseur décide de contracter un emprunt d’un montant de 100 000 euros. Dans le but d’obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté 3 banques : A, B et C.

1° La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur 7 ans, en 7 versements : le premier remboursement serait d’un montant de 15 000 euros et les

remboursements suivants augmenteraient de 1800 euros par rapport au remboursement précédent.

On note u₀ le 1^er remboursement et u₁, u₂, … les remboursements suivants.

a) Calculer u₁ et u₂.

b) Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Justifier et préciser sa raison et son 1^er terme.

c) Exprimer u_n en fonction de n.

d) Quel est le montant du dernier versement ?

2° La banque B lui propose de rembourser ce prêt sur 7 ans, en 7 versements : le premier remboursement serait d’un montant de 20 000 euros et les

remboursements suivants augmenteraient de 2 % par rapport au remboursement précédent.

On note v₀ le 1^er remboursement et v₁, v₂, … les remboursements suivants.

a) Calculer v₁ et v₂.

b) Quelle est la nature de la suite (v_n) ? Justifier et préciser sa raison et son 1^er terme.

c) Exprimer v_n en fonction de n.

d) Quel est le montant du dernier versement ? Donner la valeur arrondie au centime d’euro.

3° La banque C lui propose de rembourser ce prêt sur 7 ans, en 7 versements : le premier remboursement serait d’un montant de 17 000 euros et les

remboursements suivants augmenteraient à la fois de 1 % par rapport au remboursement précédent et d’une part fixe de 500 euros.

On note w₀ le 1^er remboursement et w₁, w₂, … les remboursements suivants.

a) Calculer w₁ et w₂.

b) Justifier que w_n+1 = 1,01w_n+ 500.

c) On pose z_n= w_n + 50 000 ; quelle est la nature de la suite (z_n) ? Exprimer z_n en fonction de n.

d) En déduire w_n en fonction de n.

4° Quelle banque offre à notre emprunteur la solution la plus avantageuse ? Justifier.