SUJET DE MATHÉMATIQUES

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SUJET DE MATHÉMATIQUES

Mercredi 5 mai 2010

Epreuves communes ENI-GEIPI-POLYTECH

Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d’épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie.

Ne rien inscrire ci-dessous

1

2 La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de 1h30.

L’usage d’une calculatrice est autorisé. 3

Tout échange de calculatrices entre candidats, pour quelque raison que ce soit,

est interdit. 4

Aucun document n’est autorisé.

TOTAL L’usage du téléphone est interdit.

Vous ne devez traiter que 3 exercices sur les 4 proposés.

Chaque exercice est noté sur 10 points. Le sujet est donc noté sur 30 points.

Si vous traitez les 4 exercices, seules seront retenues les 3 meilleures notes.

Le sujet comporte 8 pages num´ erot´ ees de 2 ` a 9

Il faut choisir et r´ ealiser seulement trois des quatre exercices propos´ es

EXERCICE I

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 3 On se place dans le plan complexe rapport´e au rep`ere (O; ~ u , ~ v ) orthomorm´e, direct.

Soient A le point d’affixe z

= 1 + 3 i et B le point d’affixe z

= 2.

I-1- Dessiner le triangle OAB.

I-2- Expliquer pourquoi le triangle OAB est isoc`ele en A.

I-3- On consid`ere le point C , sym´etrique du point O par rapport au point A et le point D, sym´etrique du point B par rapport au point O.

Placer les points C et D sur la figure de I-1-.

D´eterminer les affixes z

et z

des points C et D.

I-4- On consid`ere le point E, image du point A par l’homoth´etie de centre O et de rapport 1

3 .

Placer le point E sur la figure de I-1-.

D´eterminer l’affixe z

du point E.

I-5- On d´esigne par F le barycentre des points pond´er´es (A ; 2), (B ; − 3) et (D ; 2).

D´eterminer l’affixe z

du point F . Placer le point F sur la figure de I-1-.

I-6- Justifier que les points B, E et F sont align´es.

I-7- On note Z le complexe d´efini par : Z = z

− z

z

− z

7-a- D´eterminer le r´eel a tel que Z = a i. On d´etaillera les calculs.

7-b- D´eterminer le module | Z | et un argument arg(Z) de Z.

REPONSES A L’EXERCICE I I-1-

~ v

O ~ u I-2- OAB est isoc`ele en A car

I-3- z

= z

=

I-4- z

=

I-5- z

=

I-6- B, E, F align´es car

I-7-a- a = car

I-7-b- | Z | = arg(Z) =

I-7-c- le triangle CBF est

car

EXERCICE II

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 5 On consid`ere la fonction f d´efinie, pour tout r´eel x de ]1 ; + ∞ [, par :

f (x) = x

√ x

− 1

Soit C la courbe repr´esentant f dans un rep`ere (O;~ı , ~  ) orthonorm´e (1 cm d’unit´e).

II-1-a- D´eterminer lim

x→1⁺

f (x) et lim

x→+∞

f (x) .

1-b- En d´eduire que C admet deux asymptotes ∆

et ∆

dont on donnera les ´equations.

II-2-a- Soit g la fonction d´efinie, pour tout r´eel x de ]1 ; + ∞ [ , par : g(x) = √

x

− 1 Justifier que sa d´eriv´ee g

v´erifie, pour tout r´eel x de ]1 ; + ∞ [ : g

(x) = f (x) 2-b- f

d´esigne la d´eriv´ee de f . Justifier que, pour tout r´eel x de ]1 ; + ∞ [, on a :

f

(x) = − 1 (x

− 1) √

x

− 1 2-c- Dresser le tableau des variations de f .

2-d- Compl´eter le tableau suivant, en donnant des valeurs approch´ees ` a 0, 01 pr`es des images f (x).

x 1, 1 1, 25 1, 5 1, 75 2 4

f (x)

2-e- Tracer la courbe C , ∆

et ∆

dans le rep`ere (O; ~ı, ~  ) donn´e.

II-3- Soient deux r´eels a et b tels que 1 < a < b.

On d´efinit l’int´egrale : J (a, b) = Z

a

(f (x) − 1)dx.

3-a- En utilisant la question II-2-a-, justifier que l’on a : J (a, b) = p

b

− 1 − p

a

− 1 − b + a 3-b- D´eterminer, en fonction de b, la limite : I(b) = lim

a→1⁺

J (a, b) II-4-a- On admet que, pour tout r´eel b > 1 , on a : p

b

− 1 − b = − 1

√ b

− 1 + b D´eterminer la limite K = lim

b→+∞

I(b) .

4-b- Donner une interpr´etation g´eom´etrique de ce que repr´esente K.

REPONSES A L’EXERCICE II

II-1-a- lim

x→1⁺

f (x) = lim

x→+∞

f (x) =

II-1-b- ∆

: ∆

:

II-2-a- g

(x) = f (x) car

II-2-b- f

(x) = − 1 (x

− 1) √

x

− 1 car :

II-2-c- x 1 + ∞

f

(x) | | f (x) || |

|

II-2-d- x 1, 1 1, 25 1, 5 1, 75 2 4

f (x) II-2-e-

~  O ~ı II-3-a- J (a, b) = p

b

− 1 − p

a

− 1 − b + a car

II-3-b- I (b) = II-4-a- K =

II-4-b- K repr´esente

EXERCICE III

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 7 Un certain concours d’entr´ee dans une ´ecole d’ing´enieurs consiste en plusieurs ´epreuves : - Apr`es examen de leur dossier scolaire, 15% des candidats (les meilleurs) sont admis directe- ment sans passer d’autres ´epreuves.

- Les autres candidats, non admis sur dossier, passent une ´epreuve ´ecrite. On estime que 60%

des candidats r´eussissent cette ´epreuve ´ecrite et les autres sont recal´es.

- Les candidats ayant r´eussi l’´epreuve ´ecrite sont alors convoqu´es pour passer une ´epreuve orale.

Les candidats r´eussissant l’´epreuve orale sont alors admis. On estime que les candidats ont une chance sur trois de r´eussir l’´epreuve orale.

On consid`ere les ´ev`enements suivants : - D : ”Le candidat est admis sur dossier”

- E : ”Le candidat passe et r´eussit l’´epreuve ´ecrite”

- O : ”Le candidat passe et r´eussit l’´epreuve orale”

- A : ”Le candidat est admis”

On note E l’´ev´enement contraire de E.

On note P (D) la probabilit´e de l’´ev´enement D et P

(O) la probabilit´e de l’´ev´enement O sa- chant que l’´ev´enement E est r´ealis´e.

III-1- Compl´eter le sch´ema donn´e.

III-2-a- Compl´eter ` a l’aide des hypoth`eses : P (D) = P

(E) = P

(O) = 2-b- D´eterminer la probabilit´e P (E) qu’un candidat passe et r´eussisse l’´epreuve ´ecrite et

la probabilit´e P (O) qu’un candidat passe et r´eussisse l’´epreuve orale.

2-c- On note p la probabilit´e P (A) qu’un candidat soit admis dans cette ´ecole d’ing´e- nieurs. Justifier que p vaut 0, 32.

III-3- Cinq amis d´ecident de passer ce concours (les r´esultats obtenus par chaque candidat sont ind´ ependants les uns des autres).

3-a- Exprimer, en fonction de p, la probabilit´e P

que les cinq soient admis.

Puis donner une valeur approch´ee de P

` a 10

pr`es.

3-b- Exprimer, en fonction de p, la probabilit´e P

qu’au moins un des cinq soit recal´e.

Puis donner une valeur approch´ee de P

` a 10

pr`es.

3-c- Exprimer, en fonction de p, la probabilit´e P

qu’au moins un des cinq soit admis.

Puis donner une valeur approch´ee de P

` a 10

pr`es.

3-d- Exprimer, en fonction de p, la probabilit´e P

que trois exactement soient admis.

Puis donner une valeur approch´ee de P

` a 10

pr`es.

III-4- Par hasard, je rencontre un candidat qui me dit avoir ´et´e admis dans cette ´ecole

REPONSES A L’EXERCICE III

III-1- ^D

D

E

0, 15 1 O

3

E

· · · ·

· · ·

O

III-2-a- P (D) = P

(E) = P

(O) =

III-2-b- P (E) = P (O) =

III-2-c- p = 0, 32 car

III-3-a- P

= P

≈

III-3-b- P

= P

≈

III-3-c- P

= P

≈

III-3-d- P

= P

≈

III-4- P

(D) =

EXERCICE IV

Donner les r´ eponses ` a cet exercice dans le cadre pr´ evu ` a la page 9

On consid`ere la suite (u

)

d´efinie, pour tout entier n de N , par : u

= e

IV-1-a- Justifier que la suite (u

)

est d´ecroissante.

1-b- Montrer que, pour tout entier n de N , on a : 0 < u

≤ 1

IV-2- Etudier le signe de la fonction h d´efinie, pour tout r´eel t de ] 0 ; + ∞ [, par : h(t) = 1 − ln(t)

IV-3- Soit la fonction g d´efinie, pour tout r´eel t de ] 0 ; + ∞ [, par : g(t) = t (2 − ln(t))

3-a- D´eterminer g

(t) o` u g

est la d´eriv´ee de g. On d´etaillera le calcul.

3-b- En d´eduire la primitive H de la fonction h qui s’annule en e

. On justifiera la r´eponse.

IV-4- On consid`ere maintenant la suite (v

)

d´efinie, pour tout entier n de N , par : v

=

Z

e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

(1 − ln(t)) dt 4-a- Justifier que, pour tout entier n de N , on a : v

≥ 0

4-b- A l’aide de la question IV-3-b-, calculer v

en fonction de n. On d´etaillera le calcul.

4-c- D´eterminer alors lim

n→+∞

v

.

IV-5- Pour tout entier n de N , on pose : S

= v

+ v

+ · · · + v

5-a- Exprimer S

en fonction de n.

5-b- D´eterminer alors lim

n→+∞

S

.

REPONSES A L’EXERCICE IV

IV-1-a- (u

)

est d´ecroissante car

IV-1-b- Pour tout n ∈ N , 0 < u

≤ 1 car

IV-2- t 0 + ∞

Signe de h(t) | ||

IV-3-a- g

(t) =

IV-3-b- H(t) = car

IV-4-a- Pour tout n ∈ N , v

≥ 0 car

IV-4-b- v

=

IV-4-c- lim

n→+∞

v

= IV-5-a- S

=

IV-5-b- lim

n→+∞

S

=