Études des phases de cristallisation dans le graphène en champ magnétique

Etudes des phases de cristallisation dans le graph`ene en champ magn´etique

par

Jean-Fran¸cois Jobidon

m´ emoire pr´ esent´ e au d´ epartement de physique

en vue de l’obtention du grade de maˆıtre ` es sciences (M.Sc.)

FACULT´ E DES SCIENCES UNIVERSIT´ E DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ ebec, Canada, 7 juillet 2009

Composition du jury

Le 7 juillet 2009, le jury a accept´ e le m´ emoire de J.-F. Jobidon dans sa version finale.

Prof. Alexandre Blais D´ epartement de physique

Pr´ esident-rapporteur

Prof. Ren´ e Cˆ ot´ e D´ epartement de physique

Directeur de recherche

Prof. Louis Taillefer D´ epartement de physique

Membre du jury

ii

iii

Sommaire

Depuis tout r´ ecemment, la d´ ecouverte du graph` ene, un cristal monocouche form´ e d’atomes de carbone agenc´ es en nid d’abeille constitue un des rares exemples connus ` a ce jour de cristal ` a deux dimensions pourtant interdit par le c´ el` ebre th´ eor` eme de Mermin- Wagner publi´ e en 1966. Depuis son observation r´ ecente (2004), ce nouveau mat´ eriau ne cesse de r´ ev´ eler de nouvelles propri´ et´ es ´ electroniques exceptionnelles.

Dans ce m´ emoire, nous explorons des phases cristallines du gaz d’´ electrons telles que le cristal de Wigner ou le cristal de skyrmions dans le graph` ene monocouche sous champ magn´ etique transverse. Nous traitons l’interaction entre ´ electrons par l’approximation de Hartree-Fock pour ´ etablir l’´ etat fondamental du gaz d’´ electrons. Nous explorons les phases cristallines dans les trois premiers niveaux de Landau : n = 0, 1, 2. Notre m´ ethode de calcul nous restreint ` a des valeurs du taux de remplissage dans le niveau de Landau n (ν

) comprises entre 0.1 et 0.9. Cette m´ ethode de calcul ne nous permet pas d’obtenir une valeur absolue de l’´ energie de Hartree-Fock pour chaque ´ electron mais elle nous permet de calculer l’´ energie des diff´ erentes phases et de trouver celle qui a l’´ energie la plus basse.

Nous pouvons ainsi ´ etablir un diagramme de phase du gaz d’´ electrons. Nous calculons

´

egalement les modes collectifs des cristaux d’´ electrons ce qui nous permet d’´ etablir un crit` ere pour ´ evaluer la stabilit´ e des diff´ erentes phases lorsque leurs ´ energies sont tr` es proches.

Cette ´ etude nous permet de v´ erifier la similarit´ e de la s´ equence de transitions de phases cristallines ´ electroniques entre le graph` ene et les gaz d’´ electrons ` a deux dimen- sions (2DEG) dans le cas n = 0. Dans le cas des niveaux de Landau sup´ erieurs ` a z´ ero, nous montrons que l’on retrouve des textures de pseudospin, contrairement aux 2DEG conven- tionnels. Finalement, l’examen des modes collectifs nous montre l’existence de modes de Goldstone qui constitueront ´ eventuellement une signature unique de ces cristaux dans la perspective d’observations exp´ erimentales.

iv

Remerciements

Je voudrais ici remercier mon directeur Ren´ e Cˆ ot´ e avec qui j’ai eu le privil` ege d’abor- der l’´ etude du graph` ene, un nouveau mat´ eriau aux propri´ et´ es fascinantes. Cette ´ etude m’a ouvert les portes d’une physique complexe, passionnante et pleine de ramifications.

J’aimerais ´ egalement profiter de l’occasion pour remercier ma conjointe, Ren´ ee Joyal qui m’a apport´ e son support moral, logistique et financier ind´ efectible depuis d´ ej` a plu- sieurs ann´ ees et sans qui je n’aurais pu mener ` a bien une telle entreprise dans un temps raisonnable.

Je souhaite aussi remercier mes coll` egues d’´ etudes qui ont partager mon bureau, Jules, Marc-Antoine et Wenchen avec qui j’ai eu de nombreuses discussions stimulantes.

Merci ´ egalement ` a tous les ´ etudiants de physique que j’ai eu le privil` ege de cˆ otoyer pendant ces quelques ann´ ees ` a l’Universit´ e de Sherbrooke ainsi que tout le personnel technique et informatique qui ont rendu possible la r´ ealisation de ce travail.

Merci ´ egalement ` a Barbara (5 ans) et au petit Youri (1 an) qui, malgr´ e de nombreuses nuits ´ ecourt´ ees, m’ont permis de toujours garder la motivation d’atteindre cet objectif.

En terminant, dans le mˆ eme esprit, j’exprime une pens´ ee pour M` ere Nature ainsi que tous les travailleurs anonymes pour n’avoir fourni une quantit´ e impressionnante de caf´ e pour suppl´ eer aux carences de sommeil.

v

Table des mati` eres

Sommaire iv

Table des mati` eres vi

Liste des figures ix

Introduction 1

Le graph` ene, un mat´ eriau improbable . . . . 1

1 Caract´ erisation du graph` ene 4 1.1 Structure cristallographique du graph` ene . . . . 4

1.2 Structure de bande du graph` ene . . . . 4

1.2.1 Approximation par les liaisons fortes . . . . 5

1.3 Structure de bande autour des points K et K

. . . . 10

1.4 Relations de dispersion dans les vall´ ees K et K

. . . . 11

1.5 Expression pour l’hamiltonien (premi` ere quantification) . . . . 13

1.6 Chiralit´ e . . . . 14

1.7 Hamiltonien dans un champ magn´ etique perpendiculaire . . . . 15

1.7.1 Solution pour les points K

et K . . . . 17

1.7.2 Masse et fr´ equence cyclotron . . . . 19

1.8 Hamiltonien en seconde quantification . . . . 20

1.9 Approximation de Hartree-Fock pour le graph` ene . . . . 21

1.9.1 Evaluation du terme de Hartree . . . . ´ 22

1.9.2 Evaluation du terme de Fock . . . . ´ 23

1.10 Calcul des facteurs de forme Ξ

(q) . . . . 23

1.11 ´ Equation du mouvement et fonctions de Green . . . . 25

1.12 Proc´ edure de r´ esolution de l’´ equation du mouvement . . . . 27

vi

1.13 M´ ethode de r´ esolution num´ erique . . . . 29

2 Skyrmions et mod` ele σ non-lin´ eaire 32 2.1 Ondes solitaires . . . . 32

2.2 Solitons . . . . 33

2.3 Charge topologique . . . . 34

2.3.1 Solutions non-topologiques (KdV) . . . . 34

2.3.2 Solutions topologiques (Kink) . . . . 34

2.4 Th´ eor` eme d’homotopie . . . . 35

2.5 Description des skyrmions . . . . 37

2.6 Mod` ele σ non-lin´ eaire . . . . 39

2.6.1 Mod` ele de Klein-Gordon ` a champs r´ eels . . . . 39

2.6.2 Equation de Klein-Gordon ` ´ a champs complexes . . . . 40

2.6.3 Mod` ele σ lin´ eaire . . . . 42

2.6.4 Mod` ele σ non-lin´ eaire . . . . 42

2.7 Th´ eor` eme d’´ echelle . . . . 42

2.8 Solitons topologiques : Skyrmions O(3) . . . . 43

2.9 Limitation du mod` ele σ non-lin´ eaire . . . . 45

2.10 Brisure spontann´ ee de sym´ etrie . . . . 45

3 Diagrammes de phase et modes collectifs du gaz d’´ electrons 47 3.1 Apparition des textures de pseudospin . . . . 47

3.2 Quasi-particules pr´ esentes . . . . 48

3.2.1 Densit´ e ´ electronique versus densit´ e d’orbites . . . . 48

3.2.2 eBC1 : cristal de Wigner ` a bulles d’´ electrons, un ´ electron par bulle 49 3.2.3 hBC1 : cristal de Wigner ` a bulles de trous, un trou par bulle . . 49

3.2.4 eBC2 (hBC2) : cristal de Wigner ` a bulles d’´ electrons (trous), deux ´ electrons (trous) par bulle, et rayures (“stripes”) eS, hS . . . . . 51

3.2.5 M´ erons . . . . 54

3.2.6 MC : cristal de m´ erons . . . . 54

3.2.7 MPC : cristal de paires de m´ erons . . . . 55

3.3 Absence de corr´ elations entre les niveaux de Landau . . . . 55

3.4 Absence de corr´ elations Zeeman pour les spins ´ electroniques . . . . 59

3.5 Restrictions sur la valeur du taux de remplissage . . . . 60

3.5.1 Sym´ etrie autour de ν

= 1 . . . . 60

3.5.2 Probl` eme avec ν

∈ [0.0, 0.1] et ν

∈ [0.9, 1.0] . . . . 61

4 Analyse des r´ esultats num´ eriques 63 4.1 Analyse des r´ esultats pour n = 0 . . . . 63

4.1.1 Taux de remplissage 0.10 < ν

< 0.50 . . . . 63

4.1.2 Taux de remplissage 0.50 < ν

< 0.90 . . . . 66

4.2 Relations de dispersion . . . . 69

4.3 Analyse des r´ esultats pour n = 1 . . . . 72

4.4 Analyse des r´ esultats pour n = 2 . . . . 72

4.5 Signature des cristaux de Wigner et de m´ erons . . . . 75

Conclusion 79 Annexe A Compl´ ements 80 A.1 Taille des particules en fonction du taux de remplissage . . . . 80

A.2 Valeur typique de la constante de r´ eseau du cristal de Wigner a

. . . . 81

Bibliographie 85

Liste des figures

1.1 Structure cristalline du graph` ene . . . . 5

1.2 R´ eseau r´ eciproque du graph` ene . . . . 6

1.3 Structure de bande des orbitales p

du graph` ene . . . . 11

1.4 Niveaux d’´ energie 2DEG versus Graph` ene . . . . 18

2.1 Kink : exemple simple de charge topologique non nulle . . . . 34

2.2 Mapping π

(S

) . . . . 35

2.3 Mapping π

(S

) . . . . 36

2.4 Compactification de l’espace et mapping π

(S

) . . . . 36

2.5 R´ esum´ e des classes d’homotopie . . . . 37

2.6 Exemple de skyrmion . . . . 38

2.7 Potentiel du mod` ele de Klein-Gordon ` a champs r´ eels. . . . 40

2.8 Potentiel de Higgs . . . . 41

3.1 Repr´ esentation de la formation des excitations topologiques. . . . 48

3.2 Cristal de Wigner de bulles ` a un ´ electron (eBC1) ` a n = 0 et ν

= 0.25 . . 50

3.3 Cristal de Wigner de bulles ` a un trou (hBC1) ` a n = 0 et ν

= 0.75 . . . . 51

3.4 Potentiel de Coulomb effectif pour n = 0, 1, 2, 3 . . . . 52

3.5 Cristal de Wigner de bulles ` a deux ´ electrons (eBC2) ` a n = 2 et ν

= 0.40 52 3.6 Cristal de rayures ´ electroniques ` a n = 3 et ν

= 0.44 et φ = 80 . . . . 53

3.7 Exemple de m´ eron . . . . 53

3.8 Quatre saveurs de m´ erons possible . . . . 55

3.9 Cristal de m´ erons (MC) ` a n = 0 et ν

= 0.80 . . . . 56

3.10 Cristal de m´ erons (MC) ` a n = 1 et ν

= 0.80, repr´ esentation sch´ ematique 56 3.11 Cristal de paires de m´ erons (MPC) ` a n = 0 et ν

= 0.80 . . . . 57

ix

3.12 Cristal de paires de m´ erons (MPC) ` a n = 0 et ν

= 0.80, repr´ esentation

sch´ ematique . . . . 57

3.13 Niveaux d’´ energie et gap Zeeman . . . . 59

3.14 Sym´ etrie des phases cristallines autour de ν

= 1 . . . . 61

4.1 Energie des phases cristallines en fonction de ´ ν

pour n = 0, ν

< 0.5 . . 64

4.2 Cristal de Wigner obtenu ` a partir d’un germe eBC3 ` a n = 0 et ν

= 0.25 65 4.3 Energie des phases cristallines en fonction de ´ ν

pour n = 0, ν

> 0.5 . . 66

4.4 Energie des phases cristallines en fonction de ´ ν

pour n = 0 . . . . 67

4.5 Tableau des ´ energies de Hartree-Fock en fonction de ν

pour n = 0 . . . . 68

4.6 Cristal de Wigner obtenu ` a partir d’un germe hBC2 ` a n = 0 et ν

= 0.75 68 4.7 Relation de dispersion des phases eBC1 et hBC1. . . . 70

4.8 Crit` ere de stabilit´ e et transition de phases. . . . 71

4.9 Energie des phases cristallines en fonction de ´ ν

pour n = 1 . . . . 73

4.10 ´ Energie des phases cristallines en fonction de ν

pour n = 2 . . . . 74

4.11 Comparaison des phases de cristallisation pour n = 0, 1, 2 . . . . 76

A.1 Taille des particules en fonction de B . . . . 81

A.2 Taille des particules en fonction de ν

. . . . 81

Introduction

Le graph` ene, un mat´ eriau improbable

En 1966, Mermin et Wagner [1] ont montr´ e que l’existence d’un cristal ` a deux di- mension ´ etait impossible ` a temp´ erature non nulle ; les fluctuations thermiques ´ etant trop importantes pour que le cristal garde sa coh´ esion.

Il fallut attendre jusqu’en 2004 pour que Geim et Novoselov [2] isolent une couche monoatomique de carbone : le graph` ene. La stabilit´ e du graph` ene est rendu possible par la pr´ esence de l´ eg` eres ondulations de la feuille dans la troisi` eme dimension [3, 4]. Depuis cet av` enement, le graph` ene suscite un engouement ph´ enom´ enal dans la communaut´ e de la physique de la mati` ere condens´ ee. En effet, les propri´ et´ es ´ electroniques du graph` ene se r´ ev` elent hors du commun : une mobilit´ e ´ electronique 100 fois sup´ erieure aux mat´ eriaux les plus performants [5], la pr´ esence d’un effet Hall quantique ` a temp´ erature ambiante [6], la possibilit´ e d’observer le paradoxe de Klein [7], une r´ esistance sup´ erieure ` a la d´ echirure [8], ... Les propositions pour des applications potentielles ne cessent d’augmenter. Citons ` a titre d’exemple le transistor ` a un ´ electron cadenc´ e au terahertz [9], la “vall´ eetronique”

[10], la d´ etection chimique d’une seule mol´ ecule [11], la r´ ealisation de panneaux solaires [12] ou d’´ ecrans plats, transparents et souples [13], le stockage de l’hydrog` ene [14], des supercondensateurs pour la r´ ealisation de batteries [15], le s´ equen¸cage entier du g´ enome en quelques heures [16], les m´ emoires de type Flash non volatile [17], etc. La liste continue de s’allonger.

Dans notre m´ emoire, nous avons concentr´ e notre ´ etude sur le gaz d’´ electrons bidi- mensionnel dans le graph` ene et plus sp´ ecifiquement sur les possibilit´ es de cristallisation

´

electronique en pr´ esence d’un champ magn´ etique. La structure atomique particuli` ere du graph` ene entraˆıne une relation de dispersion ´ electronique atypique [18]. En effet, autour de deux points du r´ eseau r´ eciproque, les points K et K

, la relation de dis- persion est lin´ eaire. Les ´ electrons ont alors un comportement relativiste et ob´ eissent ` a

1

l’´ equation de Dirac dans laquelle la masse effective est nulle et la vitesse de la lumi` ere est remplac´ ee par la vitesse de Fermi (∼ 10

m/s). En pr´ esence d’un champ magn´ etique, cette propri´ et´ e entraˆıne l’apparition de niveaux de Landau ayant des ´ energies donn´ ees par E

= sgn(n)2 ~ v

/l

p

|n| avec n = 0, ±1, ±2, ... En plus du spin ´ electronique, les

´

electrons ont acc` es ` a deux nouveaux ´ etats : K et K

, pour lesquels il n’y a aucun gap d’´ energie. Par analogie avec le spin ´ electronique o` u seuls deux ´ etats sont accessibles, les

´

etats K et K

sont appel´ es des pseudospins de vall´ ee. Leur description est identique ` a celle des spins ´ electroniques, il suffit de faire la correspondance |Ki, |K

i vers |+i, |−i.

Dans deux articles r´ ecents, Zhang et Joglekar [19, 20] ont explor´ e les possibilit´ es de formation de cristaux de Wigner (WC) en pr´ esence de champ magn´ etique. Alors que la situation en pr´ esence de champ magn´ etique est semblable pour les 2DEG conventionnels

et le graph` ene, en absence de champ magn´ etique elle est tr` es diff´ erente. Pour des densit´ es faibles, les ´ electrons vont former des cristaux de Wigner dans les 2DEG conventionnels tandis que dans le graph` ene, en l’absence de champ magn´ etique, la cristallisation n’est pas possible de sorte qu’un arrangement en r´ eseau des ´ electrons ne peut cr´ eer un potentiel effectif capable de localiser les ´ electrons. C’est le paradoxe de Klein qui cause l’instabilit´ e de toute forme de structure cristalline. En pr´ esence de champ magn´ etique par contre, l’apparition des niveaux de Landau introduit une s´ erie de gaps et une d´ eg´ en´ erescence des niveaux de Landau. L’´ energie cin´ etique est gel´ ee et la physique est alors domin´ ee par l’interaction de Coulomb. Il est alors possible d’observer une cristallisation ´ electronique [21].

Dans l’approche du champ moyen de Hartree-Fock, les interactions pour n = 0 sont, dans une excellente approximation [22], identiques ` a celles des gaz d’´ electrons ` a deux dimensions (2DEG) conventionnels sans gap Zeeman. Nous avons effectivement retrouv´ e les mˆ emes s´ equences de phases cristallines que dans les 2DEG conventionnels. Nous avons

´

egalement explor´ e les possibilit´ es de cristallisation de skyrmions pour chaque niveau de Landau et nous avons compar´ e leurs stabilit´ es ainsi que les propri´ et´ es des modes collectifs. Nous avons trouv´ e que, dans les taux de remplissage accessibles ` a notre m´ ethode num´ erique, des cristaux de skyrmions existent dans les niveaux de Landau n = 0 et n = 1 contrairement aux 2DEG conventionnels o` u les skyrmions sont pr´ esents seulement dans le niveau n = 0. En fait, due ` a l’absence de gap Zeeman pour le pseudospin, l’´ etat fondamental est plutˆ ot un cristal de m´ erons (MC) qu’un cristal de skyrmions.

1

Les 2DEG conventionnels sont des gaz d’´electrons `a deux dimensions form´es dans les h´et´erostructures

ou les puits quantiques.

En calculant les modes d’excitations collectives, nous pouvons montrer que la sym´ etrie SU(2) de l’hamiltonien pour un cristal de Wigner entraˆıne l’apparition de modes de pseu- dospin sans gap ayant une dispersion quadratique ainsi qu’un mode de phonon ´ egalement pr´ esent dans les 2DEG conventionnels. Dans les cristaux de m´ erons, nous trouvons plutˆ ot, pour toutes les valeurs de n, trois modes sans gap ayant une dispersion lin´ eaire en plus du mode phonon. Dans le graph` ene, les modes de pseudospin repr´ esentent une fluctuation de charge ´ electrique entre les deux sous-r´ eseaux atomiques plutˆ ot qu’une fluctuation de spin comme dans les 2DEG.

Nous croyons donc qu’il serait possible d’observer relativement facilement ces cristaux dans des exp´ erience d’absorption micro-ondes. Ainsi, les cristaux de Wigner et de m´ erons auraient une signature unique contrairement aux mˆ emes cristaux dans les 2DEG. De plus, l’introduction d’un potentiel de d´ esordre entraˆınerait l’ancrage des cristaux de Wigner, provoquant l’apparition d’un gap dans les modes de Goldstone pr´ esents. Des exp´ eriences r´ ecentes confirment cette hypoth` ese.

Ce m´ emoire est construit de la fa¸con suivante : dans le chapitre un, nous effectuons une

´

etude des caract´ eristiques du graph` ene jusqu’` a l’obtention d’une ´ equation du mouvement pour les ´ electrons cristallins. Dans le chapitre deux, nous introduisons le concept de skyrmion, c. ` a d. de soliton topologique, dans le cadre du mod` ele σ non-lin´ eaire. Le chapitre trois traite des diff´ erentes phases de cristallisation ´ electroniques retrouv´ ees dans les r´ esultats de nos calculs num´ eriques. Enfin, le chapitre quatre pr´ esente les r´ esultats num´ eriques obtenus ainsi qu’une discussion sur les possibilit´ es d’observation de ces phases cristallines dans le graph` ene.

Un article tir´ e des r´ esultats de ce m´ emoire a ´ et´ e publi´ e en aoˆ ut 2008 dans Physical

Review B [23].

Chapitre 1

Caract´ erisation du graph` ene

1.1 Structure cristallographique du graph` ene

Le graph` ene est un cristal bidimensionnel enti` erement constitu´ e d’atomes de carbone dispos´ es dans une structure hexagonale en forme de nids d’abeilles. Du point de vue cristallographique on le consid` ere comme un r´ eseau triangulaire dont la base est constitu´ ee de deux atomes. Pour notre ´ etude sur le graph` ene, nous allons le consid´ erer comme la juxtaposition de deux sous-r´ eseaux triangulaires l´ eg` erement d´ ecal´ es. Le sous-r´ eseau B est d´ ecal´ e du sous-r´ eseau A par un vecteur c = c(0, −1). Pour le graph` ene c = 1.42 ˚ A (fig.

1.1). Les vecteurs a

= a 1/2, − √ 3/2

et a

= a (1, 0) (o` u a = √

3 c = 2.46 ˚ A) forment un sous-r´ eseau de Bravais. Tous les points d’un sous-r´ eseau peuvent ˆ etre repr´ esent´ es par le vecteur g´ en´ eral : R = n

a

+ n

a

avec n

, n

= 0, ±1, ±2, ...

Les vecteurs du r´ eseau r´ eciproque sont donn´ es par b

= (2π/a) 0, −2/ √ 3

et b

= (2π/a) 1, 1/ √

3

(fig. 1.2). Le r´ eseau r´ eciproque est ´ egalement un r´ eseau hexagonal ayant subi une rotation de 30 degr´ es par rapport au r´ eseau direct. Les vecteurs du r´ eseau r´ eciproque sont donn´ ees par

G

= mb

+ nb

, (1.1)

avec m, n = 0, ±1, ±2, ...

1.2 Structure de bande du graph` ene

L’hybridation sp

des atomes de carbone est responsable des liaisons σ entre les atomes du plan qui assurent la coh´ esion de la feuille de graph` ene. Pourtant le th´ eor` eme

4

F igure 1.1 – Structure cristalline du graph` ene. Les atomes de carbone sont dispos´ es en deux sous-r´ eseaux triangulaires A (rouge) et B (bleu) s´ epar´ es par un vecteur c = cˆ y. Les vecteurs a

et a

sont les deux vecteurs du r´ eseau triangulaire. Les vecteur δ

, δ

et δ

repr´ esentent les trois plus proches voisins de chacun des atomes.

de Mermin-Wagner [1] assure qu’aucune structure ` a deux dimension n’est stable. Le graph` ene assure donc sa stabilit´ e en formant des ondulations moyennes de 1/2 nanom` etres de haut par 5 nanom` etres de longueur. Le quatri` eme ´ electron de valence se trouve dans l’orbitale p

et fait un angle de 90

avec la plan du graph` ene. Il existe un recouvrement de ces orbitales p

qui forment une liaison π plus faible que la liaison σ. C’est cette liaison qui est ` a l’origine de la coh´ esion entre les diff´ erentes feuilles de graphene constituant le graphite. C’est ´ egalement cette liaison qui est ` a l’origine des bandes de conduction π qui sont responsables de la conductivit´ e ´ electronique du graph` ene.

1.2.1 Approximation par les liaisons fortes

Dans l’approximation des liaisons fortes, nous consid´ erons que les orbitales ´ electroniques

sont fortement localis´ ees autour des sites atomiques. Le recouvrement des fonctions

d’onde ´ electroniques est suffisant pour exiger des corrections ` a la repr´ esentation d’atomes

isol´ es, mais pas assez pour invalider la description atomique. Au voisinage de chaque

noeud du r´ eseau, l’hamiltonien p´ eriodique total du cristal, H, peut s’´ ecrire approxima-

tivement comme l’hamiltonien H

d’un seul atome localis´ e sur le noeud du r´ eseau. Les

F igure 1.2 – R´ eseau r´ eciproque du graph` ene. Les vecteurs b

et b

repr´ esentent les

vecteurs du r´ eseau r´ eciproque. Le r´ eseau est ´ egalement triangulaire et est tourn´ e d’un

angle de 30

par rapport au r´ eseau direct. Les deux sous-r´ eseaux directs correspondent ` a

deux sous-r´ eseaux r´ eciproques not´ es K et K

. La zone gris´ ee repr´ esente la premi` ere zone

de Brillouin.

niveaux li´ es de l’hamiltonien atomique sont bien localis´ es, nous avons donc :

H

Ψ

(r) = E

(k)Ψ

(r). (1.2) Si maintenant nous consid´ erons le recouvrement des orbitales, nous devons ajouter une correction ` a cet hamiltonien atomique : H = H

+ ∆U (r) o` u ∆U (r) contient toutes les corrections du potentiel atomique requises pour reconstruire le potentiel p´ eriodique total du cristal. Si la fonction d’onde Ψ

(r) satisfait l’´ equation atomique de Schr¨ odinger (´ eq. 1.2), elle devra ´ egalement satisfaire l’´ equation de Schr¨ odinger du cristal (´ eq. 1.3) ` a la condition de prendre un Ψ

(r) plus petit mais non nul avant que ∆U(r) ne devienne appr´ eciable (voir fig. 10.2 Ashcroft [24]). L’´ equation de Schr¨ odinger s’´ ecrit alors :

HΨ

(r) = E(k)Ψ

(r), (1.3)

La fonction d’onde du syst` eme en un point donn´ e est exprim´ ee par la somme de toutes les contributions de chacun des sites de chaque sous-r´ eseau. La fonction d’onde g´ en´ erale pour un ´ electron est une superposition de fonctions centr´ ees sur les sites A et B :

Ψ

(r) = γ

X

R

e

X(r − R − d

) + γ

X

R

e

X(r − R − d

), (1.4) o` u d

= −c y, ˆ d

= cˆ y et γ

et γ

sont des constantes ` a d´ eterminer. Les fonctions X(r) sont les orbitales P

de l’hybridation SP

du carbone. ´ Etant donn´ e que le r´ eseau est p´ eriodique, nous pouvons v´ erifier que cette fonction d’onde satisfait bien le th´ eor` eme de Bloch donn´ e par la relation suivante :

Ψ

(r + R) = e

Ψ

(r). (1.5)

Nous voulons maintenant d´ eterminer la relation de dispersion des ´ electrons dans le graph` ene.

Pour obtenir la relation de dispersion du graph` ene, nous aurons besoin de deux

´

equations. Pour la premi` ere ´ equation, nous allons faire la projection de (1.3) sur un

site A (d

= −c y) et int´ ˆ egrer sur r. Nous obtenons l’´ equation suivante :

E

γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

)

siteA

z }| {

X(r − R − d

) (1.6)

+ E

γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

)

siteB

z }| {

X(r − R − d

) (1.7)

+ γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

) ∆U

siteA

z }| {

X(r − R − d

) (1.8)

+ γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

) ∆U

siteB

z }| {

X(r − R − d

) (1.9)

= E(k)γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

)

siteA

z }| {

X(r − R − d

) (1.10)

+ E(k)γ

X

R

e

Z

dr

siteA

z }| { X

(r − d

)

siteB

z }| {

X(r − R − d

) . (1.11) Pour la deuxi` eme ´ equation, nous effectuons la projection sur un site B (d

= c y) avant ˆ d’int´ egrer ´ egalement sur r. Nous obtenons ainsi une ´ equation similaire. Dans ces deux

´

equations, nous trouvons une int´ egrale de recouvrement de la forme :

E

γ

X

R

e

Z

dr

sites

z }| { X

(r − d

)

sites⁰

z }| {

X(r − R − d

), (1.12) o` u s, s

= A, B. Dans l’approche des liaisons fortes, les orbitales p

sont fortement loca- lis´ ees sur les sites de sorte que cette int´ egrale est toujours nulle sauf dans le cas o` u s = s

et R = 0. Dans ce cas, l’int´ egrale donne 1 car les fonctions d´ ecrivant les orbitales p

sont orthonorm´ ees. Nous trouvons ´ egalement une int´ egrale d’interaction ayant la forme suivante :

γ

X

R

e

Z

dr

sites

z }| { X

(r − d

) ∆U

sites⁰

z }| {

X(r − R − d

) . (1.13)

Un ´ electron plac´ e sur un site s poss` ede donc une probabilit´ e finie de se retrouver sur un

site s

par effet tunnel. L’int´ egrale mesure l’´ energie impliqu´ ee dans un tel processus. On

l’appelle le terme tunnel. D´ efinissons l’int´ egrale de transfert : t(δ) = −

Z

dr X

(r − d

)∆U X (r − R − d

), (1.14) o` u δ est le vecteur reliant les deux points r − d

et r − R − d

. Pour ce terme, nous conservons uniquement les plus proches voisins en consid´ erant que les autres termes ont une contribution n´ egligeable. En effet, pour le graph` ene, entre un site A(B) et son plus proche voisin B(A) (voir fig. 1.1), on a t(R) = t(|δ

|) = t(δ) = t = 2.8 eV. Si on consid` ere les deuxi` emes plus proches voisins des sites A (B), alors t(δ

) = t

= 0.1 eV. Les troisi` emes plus proches voisins donneront t

= 0.07 eV [25]. L’approximation de ne conserver que les sauts aux plus proches voisins peut donc ˆ etre consid´ er´ ee comme valide. L’´ eq. (1.3) se r´ esume ` a :

E

γ

+ γ

X

hRi

e

t(δ) = E(k)γ

, (1.15) o` u la notation hRi indique une sommation sur les plus proches voisins.

Dans le cas du graph` ene, il y a trois plus proches voisins (fig. 1.1) : δ

= c

√ 3 2 , 1

2

!

= a 1

2 , 1 2 √

3

, (1.16)

δ

= c −

√ 3 2 , 1

2

!

= a

− 1 2 , − 1

2 √ 3

, (1.17)

δ

= c (0, −1) = a(0, − 1

√ 3 ). (1.18)

L’´ eq. (1.15) devient :

(E

− E(k))γ

− Λ(k)γ

= 0, (1.19) o` u

Λ(k) = t(e

− e

− e

), (1.20) avec t(δ

) = t(δ

) = t(δ

) = t(|δ|) = t. Pour la deuxi` eme ´ equation, la projection centr´ ee sur le site B donne plutˆ ot :

(E

− E(k))γ

− Λ

(k)γ

= 0. (1.21)

Ces deux derni` eres ´ equations (1.19 et 1.21) donnent sous forme matricielle dans la base

{A, B} :

E

− E(k) −Λ(k)

−Λ

(k) E

− E(k)

! γ

γ

!

= 0

0

!

. (1.22)

La relation de dispersion est finalement donn´ ee par :

E(k) = ±|Λ(k)|, (1.23)

o` u l’on a pris E

= 0 sans perte de g´ en´ eralit´ e.

D´ eterminons l’expression de Λ(k) telle que d´ efinie dans l’´ eq. (1.20). Le vecteur δ peut prendre trois valeurs diff´ erentes (´ eq. 1.16, 1.17 et 1.18), une pour chaque plus proche voisin.

On trouve :

|Λ(k)|

= t

"

1 + 4 cos k

a

2

cos

√ 3 2 k

a

!

+ 4 cos

k

a

2 #

. (1.24)

L’´ eq. (1.23) devient alors

E

(k) = ±t

"

1 + 4 cos k

a

2

cos

√ 3 2 k

a

!

+ 4 cos

k

a

2

#

. (1.25)

Wallace fut le premier en 1947 ` a trouver cette ´ equation [18]. La structure de bande d´ ecrite par cette ´ equation est repr´ esent´ ee sur la graphique de la fig. 1.3. Sur ce graphique, on constate que les bandes de conduction et de valence se touchent en six points pr´ ecis. Le graph` ene ne poss` ede donc aucun gap et constitue un semi-m´ etal.

1.3 Structure de bande autour des points K et K ⁰

Pour le graph` ene non dop´ e, le niveau de Fermi se situe ` a l’´ energie E = 0. Si on consid` ere la premi` ere zone de Brillouin (fig. 1.2) situ´ ee dans le plan xy, les points de contact entre les cˆ ones de Dirac sont localis´ es sur six points not´ es K et K

. En raison de la forme particuli` ere des bandes d’´ energie autour des points K et K

, on parlera des vall´ ees K et K

. L’´ electronique fond´ ee sur le comportement des ´ electrons autour de ces points prend le nom en anglais de “valleytronic”. Tout les points K sont physiquement

´

equivalents puisque l’on peut passer de l’un ` a l’autre par un vecteur du r´ eseau r´ eciproque

F igure 1.3 – Structure de bande des orbitales p

du graph` ene. La structure de bande montre clairement l’existence de six points particuliers autour desquels la relation de dispersion est lin´ eaire. La masse effective autour de ces points est nulle, c’est pourquoi nous parlons de cˆ ones de Dirac.

G. Le mˆ eme raisonnement s’applique pour K

. Le fait de choisir diff´ erentes valeurs de K et K

ne fait qu’introduire un facteur de phase global diff´ erent dans l’hamiltonien ce qui n’affecte en aucune fa¸con le comportement du syst` eme [26]. Il n’existe donc que deux points non-´ equivalents. Choisissons

K = 2π a

− 2 3 , 0

et K

= 2π a

2 3 , 0

. (1.26)

1.4 Relations de dispersion dans les vall´ ees K et K ⁰

Nous sommes maintenant int´ eress´ e ` a ´ etudier le comportement du syst` eme autour de ces points. Effectuons un d´ eveloppement de Taylor de l’´ energie des bandes pr` es des points K et K

.

Reprenons l’hamiltonien en premi` ere quantification extrait de l’´ eq. (1.22). Nous avons

H = 0 Λ(k)

Λ

(k) 0

!

, (1.27)

o` u Λ(k) est donn´ e par l’´ eq. (1.20). D´ eveloppons k autour du point K

dans l’´ eq. (1.24), en posant :

k = K

+ p, (1.28)

avec p aussi petit que l’on veut : p K

. On a : k

=

2π a

2

3 + p

et k

= p

, (1.29)

de sorte que :

Λ(K

+ p) = − ~ v

|p| e

, (1.30) o` u tan θ = p

/p

avec θ l’angle entre le vecteur p et l’axe des ˆ x. On trouve ensuite :

E(K

+ p) = ±

√ 3

2 a t |p| . (1.31)

Si on utilise l’expression de la vitesse de groupe, on peut ´ ecrire l’´ energie sous une forme plus pratique. Puisque :

v

= 1

~

∂E

∂ p = ± 1

~

√ 3

2 a t, (1.32)

on a :

E(K

+ p) = ± ~ v

|p| . (1.33)

La vitesse de Fermi v

≈ 1 × 10

m/s soit environ 300 fois plus petite que la vitesse de la lumi` ere. Nous montrons de la mˆ eme fa¸con que :

Λ(K + p) = ~ v

|p| e

, (1.34)

et

E(K + p) = ± ~ v

|p| . (1.35)

Masse effective m

Le spectre lin´ eaire (conique) de l’´ energie autour des points K et K

est un aspect tr` es particulier du graph` ene. Par comparaison avec la formule E = p

p

c

+ m

c

pour

l’´ energie cin´ etique relativiste, ceci entraˆıne que la masse effective des ´ electrons m

est

nulle. Les quasi-particules auront donc un comportement relativiste sans masse ayant

une impulsion k (comme les neutrinos). Le mouvement des ´ electrons dans le graph` ene

sera donc d´ ecrit par l’´ equation relativiste de Dirac :

i ~ ∂

∂t + i ~ c α · ∇ − β m c

Ψ(r, t) = 0. (1.36)

Par contre le rˆ ole de la vitesse de la lumi` ere est assur´ e par v

, la vitesse de Fermi (10

m/s). C’est pourquoi on parle de cˆ ones de Dirac. On s’attendra donc ` a ce que le comportement des ´ electrons dans le graph` ene soit tr` es diff´ erent de celui des ´ electrons dans les m´ etaux et semi-conducteurs conventionnels o` u le spectre d’´ energie peut ˆ etre approxim´ e par une relation de dispersion parabolique.

1.5 Expression pour l’hamiltonien (premi` ere quanti- fication)

Reprenons ` a nouveau l’´ eq. (1.27) en utilisant les ´ eq. (1.30) et (1.34) ainsi que les matrices de Pauli :

σ

= 0 1 1 0

!

, σ

= 0 −i i 0

!

, σ

= 1 0 0 −1

!

, (1.37)

ainsi que

σ = σ

x ˆ + σ

y ˆ + σ

ˆ z. (1.38) Nous pouvons alors ´ ecrire l’hamiltonien pour K et K

dans la base {A, B } sous les formes suivantes :

H

(p) = − ~ v

0 p e

p e

0

!

, (1.39)

H

(p) = ~ v

0 p e

p e

0

!

. (1.40)

On peut ´ egalement abr´ eger l’´ ecriture comme suit :

H

(p) = − ~ v

σ · p, (1.41)

H

(p) = ~ v

σ

· p. (1.42)

Finalement l’hamiltonien total dans la base {KA, KB, K

A, K

B } est donn´ e par :

H = ~ v













0 −p e

0 0

−p e

0 0 0

0 0 0 p e

0 0 p e

0













, (1.43)

o` u p = |p|.

1.6 Chiralit´ e

Le ket propre d´ ecrivant l’´ etat d’une particule dans la vall´ ee K

s’´ ecrit comme :

|u

i

= 1

√ 2

e

|Ai + σe

|Bi ,

= 1

√ 2 e

|Ai + σe

|B i ,

= 1

√ 2 1 σe

!

, (1.44)

o` u σ = +1 pour la bande de conduction et −1 pour la bande de valence. Puisque θ(p), fixer une valeur de p implique de fixer ´ egalement la valeur de θ laquelle impose une orientation pr´ ecise du pseudospin. Alors que d’habitude l’orientation du spin est ind´ ependante du mouvement en m´ ecanique quantique non relativiste, dans le graph` ene le pseudospin s’aligne dans la direction de p. Ce ph´ enom` ene appel´ e chiralit´ e est d´ ecrit de fa¸con g´ en´ erale par :

h = 1 2 σ · p

|p| . (1.45)

Dans la cas du graph` ene, cette expression donne : h = − 1

2 ~ v

p H

= ± 1

2 . (1.46)

Pour la vall´ ee K

, les ´ electrons dans la bande de conduction ont une chiralit´ e de −1/2,

le pseudospin associ´ e aux sites A et B pointe dans la direction inverse de p tandis que

ceux dans la bande de valence ont une chiralit´ e de +1/2 et leur pseudospin pointe dans

la direction de p. L’inverse est vrai pour la vall´ ee K .

1.7 Hamiltonien dans un champ magn´ etique perpen- diculaire

Consid´ erons maintenant le graph` ene dans un champ magn´ etique perpendiculaire.

Dans ces conditions, on utilise la substitution de Peierls :

p → p + eA/ ~ c, (1.47)

avec ∇ × A = B = B

ˆ z et p = −i∇.

Effectuons cette substitution dans l’´ e. (1.43), il vient simplement :

H = v













0 −P

+ iP

0 0

−P

− iP

0 0 0

0 0 0 P

+ iP

0 0 P

− iP

0













. (1.48)

Les op´ erateurs P

et P

ob´ eissent ` a la relation de commutation : [P

, P

] = −i ~

l

. (1.49)

Dans un champ magn´ etique les ´ electrons effectuent un mouvement cyclotron avec un rayon l = p

~ /eB

. Chaque ´ electron occupe alors une surface ∆S = 2πl

et ´ evite ses voisins. Chaque ´ electron effectue alors un mouvement circulaire autour d’un centre dont les op´ erateurs X

et Y

sont appel´ ees les op´ erateurs centre d’orbite. Puisque ces op´ erateurs centre d’orbite X

et Y

ne commutent pas

[X

, Y

] = −il

, la position du centre des orbites ´ electroniques ne peut ˆ etre connue avec une pr´ ecision plus grande que 2πl

. Chaque centre d’orbite constitue un site de Landau. Dans une th´ eorie avec spin, chaque site peut accueillir deux ´ electrons et si on ajoute un pseudospin de vall´ ee alors quatre ´ electrons peuvent occuper un site.

Lorsqu’un champ magn´ etique est appliqu´ e, des niveaux d’´ energie appel´ es niveaux de Landau apparaissent. Chaque niveau est d´ eg´ en´ er´ e quatre fois : deux fois pour le spin

´

electronique et deux fois pour le pseudospin de vall´ ee. Le taux de remplissage pour chaque niveau de Landau varie comme ν

∈ [0, 4]. La pr´ esence d’un champ magn´ etique introduit

1

Il est important de souligner la diff´erence avec les op´erateurs de position instantan´ees classiques X

et Y qui eux commutent : [X, Y ] = 0

un gap d’´ energie Zeeman donn´ e par ∆

= |g

µ

B| o` u g

= 2 le facteur gyromagn´ etique du graph` ene et µ

= e ~ /2m

le magn´ eton de Bohr. L’´ energie Zeeman du graph` ene est de l’ordre de 13 K pour B = 10 T. Chaque niveau de Landau se s´ epare en deux sous- niveaux selon le spin des ´ electrons. Dans notre ´ etude, nous allons supposer qu’il n’y a aucune corr´ elation entre les sous-niveaux de Zeeman. Plus de d´ etails sur cette supposition sont donn´ es dans la sec. 3.4. Nous pouvons alors consid´ erer que tous les spins du syst` eme sont align´ es dans la mˆ eme direction et nous allons donc simplement ignorer l’indice de spin. Puisque g

est positif, les spins dans l’´ etat fondamental sont align´ es suivant la direction inverse de B pour minimiser leur ´ energie. Seuls les pseudospins de vall´ ee seront consid´ er´ es (σ = +1 pour K et σ = −1 pour K

).

Nous voulons maintenant exprimer l’hamiltonien en fonction des op´ erateurs d’´ echelle d´ efinis de fa¸con usuelle [27] de la mani` ere suivante :

a = l

√ 2 (P

+ i P

), (1.50)

a

= l

√ 2 (P

− i P

), (1.51)

ainsi que des op´ erateurs de centres de rotation :

b = 1

√ 2 l (X

− i Y

), (1.52)

b

= 1

√ 2 l (X

+ i Y

). (1.53)

Ces op´ erateurs ob´ eissent aux relations de commutations suivantes : a, a

=

b, b

= 1, (1.54)

[a, b] = a

, b

= 0. (1.55)

L’hamiltonien s’exprime comme :

H =

√ 2 ~ v

l













0 −a 0 0

−a

0 0 0

0 0 0 a

0 0 a 0













. (1.56)

1.7.1 Solution pour les points K ⁰ et K

L’´ equation de Schr¨ odinger pour un spineur s’´ ecrit :

H

S

(r) = E

S

(r), (1.57) ou σ = K, K

et n ∈ Z . Le spineur en repr´ esentation r repr´ esente la fonction d’onde d´ ecrivant l’´ etat de la particule. Il comporte deux composantes, une localis´ ee sur un site A et l’autre sur un site B. Utilisons la jauge de Landau dans laquelle A = Bxˆ y. Le spineur S

(r) s’´ ecrit alors :

S

(r) = 0 h

(r)

!

(n = 0), (1.58)

S

(r) = 1

√ 2

− sgn(n)h

(r) h

(r)

!

(n > 1). (1.59) Nous constatons que pour la vall´ ee K, si n = 0 alors le spineur est enti` erement localis´ e sur le sous-r´ eseau B. D’autre part, le spineur S

(r) est donn´ e par :

S

(r) = h

(r) 0

!

(n = 0), (1.60)

S

(r) = 1

√ 2

h

(r) sgn(n)h

(r)

!

(n > 1). (1.61)

Mˆ eme remarque, pour la vall´ ee K

, si n = 0 alors le spineur est enti` erement localis´ e sur le sous-r´ eseau A. Il est essentiel de r´ ealiser l’importance qu’implique la forme des spineurs dans le niveau de Landau n = 0. Une oscillation du pseudospin entre les vall´ ees K et K

repr´ esente une oscillation des charges ´ electriques entre les sites A et B. Ceci implique qu’il serait envisageable de se coupler facilement au pseudospin ` a l’aide d’un potentiel externe. Le raisonnement est similaire pour les niveaux de Landau sup´ erieurs mˆ eme si la forme des spineurs est un peu plus complexe. L’´ energie des niveaux de Landau autour des points K et K

est donn´ ee par :

E

= sgn(n)

√ 2 ~ v

l

p |n|, (1.62)

F igure 1.4 – Comparaison entre les niveaux de Landau dans les 2DEG conventionnels et le graph` ene.

et

E

= − sgn(n)

√ 2 ~ v

l

p |n|. (1.63)

Les niveaux de Landau sont caract´ eris´ es par un indice n discret qui peut prendre les valeurs n ∈ [−∞, ∞]. Il est int´ eressant de remarquer que, contrairement au gaz d’´ electrons ` a 2 dimensions conventionnels (2DEG) o` u l’´ energie des niveaux de Landau est donn´ ee par E

= (n + 1/2) ~ ω

et par cons´ equent r´ eguli` erement espac´ ee de ∆E = ~ ω

, dans le graph` ene les niveaux d´ ependent de p

|n| ce qui entraˆıne une s´ eparation de plus en plus faible ` a mesure que |n| augmente.

Le premier gap entre n = 0 et n = 1 est √

2 ~ v

/l ∼ √

B contrairement au cas non- relativiste o` u le gap est proportionnel ` a B. Avec l = p

~ c/e B = 256/ √

B ˚ A et v

' 10

m/s on trouve (B en tesla) :

E

= 5.826 × 10

√

B J = 422 √

B K . (1.64)

Si on prend B = 10 T, on trouve que E

≈ 1340 K alors que dans le cas non-relativiste

(GaAs) nous trouvons plutˆ ot des valeurs typiques de l’ordre de 200 K. Dans l’exp´ erience

de Novoselov (2007) [6] avec B = 45 T, le gap obtenu est 2844 K soit beaucoup plus grand

que la temp´ erature ambiante de sorte que l’on devrait observer l’effet Hall quantique ` a

temp´ erature ambiante, ce qui a ´ et´ e confirm´ e r´ ecemment [28]. Remarquons au passage

que pour n = 0 l’´ energie de Landau E

= 0 est ind´ ependante de la valeur du champ

magn´ etique B.

Pour le niveau n = 0 sous champ magn´ etique, les sous-niveaux d´ efinis par le taux de remplissage du niveau n : ν

∈ [0, 2] se situent sous le niveau de Fermi et appartiennent

`

a une bande de valence tandis que les sous-niveaux d´ efinis par ν

∈ [2, 4] appartiennent ` a une bande de conduction. Le facteur de remplissage total peut ˆ etre ´ ecrit de fa¸con g´ en´ erale par ν = 4n − 2 + ν

. Pour le graph` ene non dop´ e, lorsque le niveau de Landau n = 0 est

`

a moiti´ e rempli, nous avons ν

= 2 et ν = 0.

Dans la jauge de Landau, l’´ eq. (1.57) admet une solution de la forme : h

(r) = 1

p L

e

ϕ

(x), (1.65)

avec ϕ

(x) la fonction d’onde du niveau fondamental d’un oscillateur harmonique centr´ e en x

= kl

:

ϕ

(x) = 1

√

π

l e

. (1.66)

Dans le cas g´ en´ eral o` u n 6= 0 :

h

(r) = 1

p |n|! (a

)

h

(r). (1.67)

1.7.2 Masse et fr´ equence cyclotron

L’expression de la masse cyclotron est donn´ ee par : m

= 1

2π

∂A

∂E , (1.68)

o` u A est l’aire dans l’espace des vecteurs d’onde encerclant l’orbite d’´ energie E

des

´

electrons dans le champ magn´ etique. On trouve que la masse cyclotron est donn´ ee par m

=

√ πn

~ v

. (1.69)

La fr´ equence cyclotron repr´ esente la diff´ erence d’´ energie entre deux niveaux de Lan-

dau. Dans le cas particulier du graph` ene, la diff´ erence entre deux niveaux de Landau

successifs est une fonction de n (´ eq. 1.62 et 1.63). Plus n augmente, plus l’´ energie entre

deux niveaux de Landau diminue. La fr´ equence cyclotron ω

est donc d´ efinie comme

la fr´ equence correspondant ` a la diff´ erence d’´ energie entre les deux premiers niveaux de

Landau :

~ ω

= E

− E

= E

− 0 = √

2 ~ v

/l ⇒ ω

= √

2v

/l. (1.70)

1.8 Hamiltonien en seconde quantification

Pour obtenir l’hamiltonien en seconde quantification, on doit calculer l’expression suivante :

H ˆ

= Z

Ψ

(r)H

Ψ

(r), (1.71)

o` u σ = K, K

. L’hamiltonien en premi` ere quantification est donn´ e par (1.56). Nous avons pour le point K :

Ψ

(r) = Ψ

(r) Ψ

(r)

!

= X

n,k

e

hr|K; n, ki c

= X

n=0,k

1

p L

e

e

0 ϕ

(x − kl

)

! c

+ X

n6=0,k

1

p 2L

e

e

− sgn(n)ϕ

(x − kl

) ϕ

(x − kl

)

!

c

, (1.72)

ce qui donne :

Ψ

(r) = X

n6=0,k

1

p 2L

e

sgn(n)ϕ

(x − kl

)c

, (1.73) Ψ

(r) = X

k

1

p L

e

ϕ

(x − kl

)c

+ X

n6=0,k

1

p 2L

e

ϕ

(x − kl

)c

. (1.74) En utilisant les relations de commutation (s, s

= A, B ) :

n

Ψ

(r), Ψ

(r) o

= δ(r − r

)δ

, (1.75) nous pouvons calculer l’hamiltonien en seconde quantification :

H ˆ

= X

n,k

E

c

c

, (1.76)

avec E

donn´ e par (1.62). Avec le mˆ eme raisonnement, on trouve pour le point K

: H ˆ

= X

n,k

E

c

c

, (1.77)

avec E

donn´ e par (1.63).

1.9 Approximation de Hartree-Fock pour le graph` ene

Ecrivons le terme de l’interaction de Coulomb en seconde quantification : ´ U = 1

2 X

σ1,σ2,σ3,σ4

Z dr

Z

dr

Ψ

1

(r)Ψ

2

(r

)V (r − r

)Ψ

(r

)Ψ

(r), (1.78) o` u σ = K, K

. L’op´ erateur champ est donn´ e par :

Ψ

(r) = X

n,k

hr|σ; n, ki c

. (1.79)

Pour s´ eparer les d´ ependances en r et r

dans le potentiel vecteur, on prend la transform´ ee de Fourier :

V (r − r

) = 1 S

X

q

V (q)e

e

, (1.80)

o` u V (q) =

et q = |q|.

L’approximation du champ moyen de Hartree-Fock, en consid´ erant que le potentiel V (r) est ind´ ependant des indices σ et que V (r) = V (−r), s’obtient en approximant le terme ` a deux corps par le terme ` a un corps :

Ψ

1

(r)Ψ

2

(r

)Ψ

(r

)Ψ

(r) → +2 Ψ

1

(r)Ψ

(r) Ψ

2

(r

)Ψ

(r

)

−2

Ψ

(r)Ψ

(r

)

Ψ

(r

)Ψ

(r). (1.81) Le premier de ces deux termes nous donne le terme de Hartree tandis que le second nous donne le terme de Fock. Le terme de Hartree

Ψ

(r)Ψ

(r)

prend en consid´ eration les interactions de Coulomb entre les densit´ es de charge tandis que le terme de Fock Ψ

(r)Ψ

(r

)

prend en compte les interactions d’´ echange dues ` a l’antisym´ etrisation de

la fonction d’onde ` a N particules. Si on effectue les calculs en d´ etails [29], on trouve

un facteur de forme du graph` ene Ξ(q) (´ eq. 1.83) qui d´ epend du facteur de forme des 2DEG conventionnels lequel contient un facteur de forme F (q) = e

. Dans le terme de Hartree nous retrouverons des termes de la forme F (q+(σ

−σ

)K)×F (q+(σ

−σ

)K).

Puisque σ = ±1 nous aurons les trois cas F (q) et F (q ± 2K). Or nous avons |q| |K|

donc F (q) F (q ± 2K). Nous pouvons n´ egliger tous les cas F (q ± 2K) c’est-` a-dire les cas o` u σ

6= σ

et σ

6= σ

. Ceci revient ` a faire σ

= σ

= σ et σ

= σ

= σ

. Dans le terme de Fock ce sont plutˆ ot les termes F (q + (σ

− σ

)K) × F (q + (σ

− σ

)K) qui apparaissent. On fait la mˆ eme chose et on pose σ

= σ

= σ et σ

= σ

= σ

. Rempla¸cons ces r´ esultats dans notre ´ equation pour U :

U = 1 S

X

q

V (q) X

σ,σ⁰

Z dr

Ψ

(r)e

Ψ

(r) Z

dr

Ψ

(r

)e

Ψ

(r

)

− 1 S

X

q

V (q) X

σ,σ⁰

Z dr

Z dr

Ψ

(r)Ψ

(r

)

Ψ

(r

)Ψ

(r)e

. (1.82)

Le premier terme est le terme de Hartree (U

) et le second celui de Fock (U

).

1.9.1 Evaluation du terme de Hartree ´

Introduisons l’op´ erateur champ (1.79) dans le premier terme de U (U

) et d´ efinissons par analogie avec les 2DEG conventionnels :

Z

dr hr|σ; n, ki

e

hr|σ

; n

, k

i ≡ e

Ξ

(q)δ

, (1.83) o` u les Ξ

(q) seront ` a d´ eterminer. On a donc la nouvelle forme de U

:

U

= N

S

X

q

V (q) X

σ,σ⁰

X

n1,n2,n3,n4

Ξ

1,n2

(q) ρ

1,n2

(−q) Ξ

3,n4

(−q)ρ

3,n4

(q), (1.84) o` u l’on a d´ efini l’op´ erateur densit´ e :

ρ

(q) ≡ 1 N

X

k,k⁰

e

δ

c

c

, (1.85)

et N

=

est la d´ eg´ en´ erescence des niveaux de Landau. La valeur moyenne des op´ erateurs densit´ e repr´ esente les param` etres d’ordre du syst` eme. Ainsi, dans un liquide, hρ

(q = 0)i 6= 0 seulement alors que dans le cas d’un cristal hρ

(q = G)i 6= 0 o` u G est un vecteur du r´ eseau r´ eciproque.

1.9.2 Evaluation du terme de Fock ´

En utilisant le mˆ eme raisonnement, le terme de Fock est donn´ e par : U

= − N

S X

q

V (q) X

p

X

σ,σ⁰

X

n1,n2,n3,n4

Ξ

(q)Ξ

(−q)e

D

ρ

(p) E

ρ

(−p), (1.86) o` u p × q = p

q

− p

q

. Nous allons encore simplifier nos calculs en excluant les couplages entre les niveaux de Landau (n

= n) sinon les ´ equations deviendraient trop lourdes ` a r´ esoudre. On peut faire cette approximation en se pla¸cant ` a temp´ erature nulle : T = 0 K et en consid´ erant que l’interaction coulombienne est beaucoup plus faible que l’´ energie cin´ etique : e

/κl ~ ω

. Mais cette approximation est valide mˆ eme pour des temp´ eratures non nulles. En effet, si on consid´ ererait ce couplage, la diff´ erence serait essentiellement qualitative. Voir les explications ` a la sec. 3.3.

1.10 Calcul des facteurs de forme Ξ ^σ,σ _n ⁰ (q)

Pour calculer la valeur des Ξ

(q) on doit ´ evaluer le terme de gauche de l’´ e. (1.83).

En utilisant l’´ eq. (1.72) et en remarquant que :

Ξ

(q) = Ξ

(q) = Ξ

(q) = Ξ

(q), (1.87) on trouve :

Ξ

(q) = 1

2 Θ(|n|)

F

(q) + F

(q)

+ δ

F

(q), (1.88) avec

Ξ

(q) = 1

2 Θ(|n|) sgn(n)

−F

(q) + F

(q)

, (1.89)