Dans le cas d’une structure cristalline, les param`etres d’ordres sont d´efinis sur l’en-semble des vecteurs du r´eseau r´eciproque soit q∈ {G}. Pour effectuer les calculs, nous devons donc d´eterminer quels sont les vecteurs contribuant `a la solution.
Pour d´eterminer le nombre de points du r´eseau r´eciproque pris en consid´eration pour les calculs num´eriques, nous fixons un param`etre Gmax tel que |G| 6 Gmax. Comme les param`etres d’ordre hρ(G)i diminuent tr`es rapidement avec |G|, il est justifi´e de fixer aussi une valeur limite `a |G|. Nous devons ´evidemment v´erifier que notre solution ne d´epend pas de la valeur de cette limite. Tous les points du r´eseau r´eciproque satisfaisant au crit`ere |G| 6 Gmax sont retenus dans les calculs. Pour d´ecrire les particules, nous
prenons la transform´ee de Fourier d’une fonction qui est p´eriodique dans l’espace r´eel.
Une telle transform´ee est non nulle uniquement sur les points du r´eseau r´eciproque. C’est pourquoi seuls les vecteursGdu r´eseau r´eciproque sont retenus dans l’espace r´eciproque.
Dans nos simulations, nous fixons le param`etreGmax= 20 ce qui nous donne typiquement N ∼600, le nombre de vecteurs du r´eseau r´eciproque.
Plus le nombre de vecteurs est grand, plus la pr´ecision des calculs est grande. Par contre le temps de calcul augmente commeO(N3) pour inverser la matrice 2N×2N dans l’´equation du mouvement pourG(ωn) avec|G|6Gmax . Pour augmenter nos chances de converger rapidement vers des solutions stables, on initialise le programme avec un germe de d´epart (param`etres d’ordre) qui guide le syst`eme vers une solution pour une phase cristalline particuli`ere. `A chaque it´eration de calcul, un nouvel ensemble de param`etres d’ordre est calcul´e. Typiquement, 500 it´erations sont effectu´ees. Le syst`eme converge normalement vers une solution qui ne varie pratiquement plus d’une it´eration `a l’autre.
Pour avoir une indication sur la validit´e des r´esultats, nous utilisons deux crit`eres de convergence, l’un voulant que la variation relative en ´energie de deux it´erations successives soit inf´erieure `a 10−9 et l’autre que la variation relative des param`etres d’ordre soit inf´erieure `a 10−8. L’ensemble final des param`etres d’ordre obtenu est consid´er´e comme
´
etant la solution de l’´equation du mouvement des fonctions de Green `a une particule quoique il soit important de pr´eciser qu’il est toujours possible que le syst`eme ait converg´e vers un minimum local de l’´energie. La vraisemblance des solutions est appuy´ee par la comparaison en ´energie des diff´erentes phases.
Nous avons utilis´e un programme d´evelopp´e sous la direction de Ren´e Cˆot´e. Ce pro-gramme traite les gaz d’´electrons polaris´es en spin dans des structures `a deux dimensions dans les doubles puits quantiques. Le programme prend en consid´eration uniquement le pseudospin de puits (puits de gauche et de droite) des ´electrons. Comme nous traitons le cas d’une couche de graph`ene, nous avons impos´ed= 0 (la distance entre les deux puits) de sorte que les ´electrons sont restreints `a deux ´etats : gauche (G) et droit (D). Il n’y a aucun gap d’´energie entre ces deux ´etats ce qui fait que ce syst`eme est identique `a celui que nous retrouvons dans notre ´etude sur le graph`ene. Il suffit de faire la correspondance suivante :
|Di → |+i → |Ki,
|Gi → |−i → |K0i.
L’essentiel du travail de programmation a consist´e `a ´ecrire le nouveau code pour le facteur de forme calcul´e pour le graph`ene.
Chapitre 2
Skyrmions et mod` ele σ non-lin´ eaire
Avant de poursuivre dans le prochain chapitre avec les diagrammes de phases trouv´es dans le graph`ene, il nous paraˆıt important d’introduire les concepts de skyrmion et de soliton topologique qui reviendront tout au long de ce m´emoire.
2.1 Ondes solitaires
Certaines ´equations classiques non-lin´eaires poss`edent des solutions classiques d´ecrivant des objets stables se comportant comme des particules. Les solutions se propageant sans d´eformation avec une ´energie localis´ee et finie sont appel´ees des ondes solitaires.
Historiquement, la premi`ere observation d’un tel ph´enom`ene a ´et´e rapport´ee par Scott Russell en 1834. Russell a pu suivre `a cheval une vague form´ee dans un canal de navi-gation se propageant sans d´eformation sur plusieurs kilom`etres. L’´equation d´ecrivant ce ph´enom`ene est aujoud’hui connue sous le nom de KdV du nom de Korteweg et de Vries qui ont propos´e leur ´equation en 1895 :
∂u
∂t +αu∂u
∂x +β∂3u
∂x3 = 0, (2.1)
o`u α et β sont des constantes num´eriques et u(x, t) repr´esente la hauteur de l’onde au-dessus du niveau de l’eau. Cette ´equation contient un terme lin´eaire
∂u
∂t +β∂∂x3u3
ainsi qu’un terme non-lin´eaire αu∂u∂x
. Le terme lin´eaire est dispersif et tend `a ´etendre le paquet d’onde tandis que le terme non-lin´eaire tend `a localiser le paquet d’onde donc `a former des ondes de chocs. Lorsque les conditions sont favorables, les deux termes sont exactement compens´es et la solution est stable. Ces conditions se retrouvent dans un
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milieu faiblement non-lin´eaire et faiblement dispersif ayant une faible profondeur. Les solutions de cette ´equation ont la forme [30] :
u(t, x) = 3v
o`u v est une constante repr´esentant la vitesse de l’onde. Ces solutions poss`edent une caract´eristique essentielle des ondes solitaires : l’onde se propage sans d´eformation et son
´
energie est localis´ee dans l’espace. Par exemple les tsunamis ob´eissent `a cette ´equation.
L’approximation de faible profondeur est valide puisque la profondeur moyenne de l’oc´ean est d’environ 4 km alors que la longueur de l’onde est d’environ 100 km. La vitesse de propagation se calcule facilement1 et est environ de 700 km/h. Lorsque l’onde s’approche de la cˆote, la profondeur oc´eanique diminue et le terme non-lin´eaire devient plus impor-tant de sorte que l’onde se regroupe, sa hauteur augmente et sa vitesse diminue. C’est le raz-de-marr´ee.