T D 6 CI-4 : M ODÉLISER LES SYSTÈMES DE SO -
LIDES PRÉVOIR ET VÉRIFIER LEURS PERFORMANCES Exercice 1 : Mécanisme à mouvement alternatif
O A B
C
D
#»y0
#»x0
#»y1
#»x1
#»x2 β
α
Au bâti0est associé le repèreR0(O, ~x0, ~y0, ~z0). on pose:
−−→ OA=a.→−
y0 −−→ OB=b.→−
y0
La pièce 1est liée au bâti0par une liaison pivot d’axeO,→− z0. On lui attache le repèreR1(O, ~x1, ~y1, ~z0) et on pose:
α=(→− x0,→−
x1)
La biellette 2 est liée au bâti 0 par une liaison pivot d’axe (A,→−
z0). On lui attache le repèreR2(O, ~x2, ~y2, ~z2) et on pose:
−−→ AC=c.→−
x2 β=(→− x0,→−
x2)
Elle est également liée à la pièce 1 en C, par une liaison linéaire annulaire d’axe (O,→−
x1).
Le coulisseau3 est lié au bâti par une liaison glissière d’axe (B,→−
x0). On pose:
−−→ BD=λ.→−
x0 −−→
OC=µ.#»x1
Il est également liée à la pièce1en D par une liaison linéaire annulaire d’axe (O,→−
x1).
Le problème est supposé plan. L’objectif est de déterminer les relations entre les différents paramètres dans un système en chaîne fermée. Le système considéré est un mécanisme à mouvement alternatif.
Q - 1 :Tracer le graphe de structure (ou graphe des liaisons) ;
Q - 2 :Déterminer une relation entreαetβà l’aide d’une fermeture géométrique.
Q - 3 :Caractériser les torseurs cinématiques associés à chaque liaison.
Q - 4 :Déterminer la relation entreβ˙ etα. en fonction de la géométrie et des différents angles.˙ Q - 5 :Déterminer la relation entreβ˙ etλ˙ en fonction de la géométrie et des différents angles.
Exercice 2 : Micro Moteur à vapeur
Le système représenté ci-dessous est un micro moteur à vapeur utilisé dans les modèles réduits. De la vapeur d’eau est injec- tée dans le cylindre2et agit sur le piston11. Celui-ci se translate alors dans le cylindre2, ce qui permet, par l’intermédiaire du système bielle (piston11) - manivelle (pièce8), d’entraîner la rotation de l’arbre8par rapport au bâti1.
Q - 1 :Préciser en le justifiant le nom de la liaison entre11et2.
Le modèle cinématique de ce micro moteur est représenté sur la figure ci-dessus. Il s’agit d’un modélisation plane. Les vecteurs #»yi, non représentés sur le schéma ci-contre, sont évidemment tels que les basesB(#»xi,#»yi,#»z) soient orthonormées directes.
Le système évolue dans le plan de normale#»z.
On associe au bâti1, supposé fixe, le repèreR1(A,#»x1,#»y1,#»z) tel que# »
AC=L.#»x1 On associe à la manivelle8le repèreR8(A,#»x8,#»y8,#»z) tel que# »
AB=e.#»x8
On associe au piston11le repèreR11(A,#»x11,#»y11,#»z) tel que #»x11soit dans la direction principale de la pièce.
On associe au cylindre2le repèreR2(A,#»x2,#»y2,#»z) tel que #»x2soit dans la direction principale de la pièce.
L8/1: pivot d’axe (A,#»z) : on lui associe le paramètreθtel queθ=(#»x1,#»x8)=(#»y1,#»y8) L11/8: pivot d’axe (B,#»z) : on lui associe le paramètreβtel queθ=(#»x8,#»x11)=(#»y8,#»y11) L2/11: glissière de direction (BC) : on lui associe le paramètrextel que # »
BC =(L+x).#»x2 L2/1: pivot d’axe (C,#»z) : on lui associe le paramètreαtel queα=(#»x1,#»x2)=(#»y1,#»y2)
Q - 2 :Faire le graphe des liaisons de ce système.
Q - 3 :Tracer les trois figures géométrales de passage des basesB1àB8,B8àB11etB1àB2.
Q - 4 :Écrire l’équation vectorielle de fermeture linéaire provenant de la fermeture géométrique et en déduire les deux équations scalaires obtenues en projetant sur les directions #»x1et #»y1.
Q - 5 :Écrire l’équation scalaire de fermeture angulaire.
Q - 6 :Déterminer la relation x(θ)entre le déplacement x du piston11dans le cylindre2et l’angle de rotationθ de la manivelle8par rapport au bâti1.
Q - 7 :Déterminer la relationα(θ)entre la rotationαdu cylindre2et l’angle de rotationθde la manivelle8par rapport au bâti1.
Q - 8 :Déterminer la course c du piston11dans le cylindre2(c= ∆x= xmaxi−xmini).
Q - 9 :Déterminer le débattement angulaireδdu cylindre2(δ= ∆α=αmaxi−αmini).
Q - 10 :Retrouver ces deux derniers résultats graphiquement.
Exercice 3 : Transformation de mouvement
OA = L1 AB = L2 BC = L3
# »
OC = λ.#»x +H.#»y
Q - 1 :Proposer un paramétrage du mécanisme.
Q - 2 :Tracer le graphe des liaisons de ce mécanisme.
Q - 3 :Déterminer une relation entreλetθ.
Exercice 4 : Malaxeur
La figure représente de façon schématique un malaxeur. Un moteur électrique entraîne la vis sans fin (S1) qui engrène avec la roue (S2). Cette roue est en liaison pivot d’axe (O,#»y0) avec le bâti (S0). La rotation de cette roue (S2) va provoquer le mouvement du bras mélangeur (S4) par l’intermédiaire des pièces (S3) et (S5). (S3) est en contact avec (S2) sur une surface
sphérique de centreCet avec (S4) sur une surface cylindrique de révolution d’axe (C,#»z4). (S5) est liée au bras (S4) par une liaison pivot d’axe (D,#»x5) et au bâti (S0) par une liaison pivot d’axe (D,#»z0).
REMARQUE:On ne tient pas compte dans l’exercice de la vis sans fin (S1).
Le repèreR (O,#»x0,#»y0,#»z0) est lié à (S0), le repèreR (O,#»x2,#»y2,#»z2) à (S2), le repèreR (D,#»x4,#»y4,#»z4) à (S4), et le re- pèreR (D,#»x5,#»y5,#»z5) à (S5). On noteOC# » = r.#»z2, CD# » = −λ.#»z4 ( λvariable),OD# » = L.#»y0, α = (#»z0,#»z2) = (#»x0,#»x2), β=(#»x0,#»x5)=(#»y0,#»y5) etγ=(#»y5,#»y4)=(#»z5,#»z4).
Q - 1 :Préciser les liaisons (nom, caractéristiques et tor- seur cinématique) entre les pièces (S2)/(S3) et (S3/S4). Déterminer la liaison cinématique L2/4
équivalente aux liaisonsL2/3etL3/4.
On considère pour la suite de l’exercice la liaison équivalente L2/4.
Q - 2 :Compléter le schéma cinématique minimal en pers- pective du mécanisme, et indiquer sur ce schéma les points C, D, les anglesα,βet les vecteurs #»z2et #»x5. Q - 3 :Récapituler les étapes à effectuer pour faire une étude géométrique et cinématique d’un mécanisme.
Q - 4 :Effectuer un paramétrage de la position relative des solides les uns par rapport aux autres.
Q - 5 :Représenter le graphe des liaisons du mécanisme.
Q - 6 :Par une projection judicieuse de la fermeture géo- métrique du système, trouver la relation entrée (angleα) sortie (angleβ) du mécanisme.
Q - 7 :Par projection de la fermeture géométrique du mé- canisme sur deux autres vecteurs, montrer que λ est constant.
Q - 8 :Ecrire la forme des torseurs cinématiques des liai- sons(S5/S4),(S4/S2),(S2/S0), et(S5/S0).
Q - 9 :Ecrire en un point judicieusement choisi l’équa- tion vectorielle des vitesses issue de la fermeture cinématique de la boucle du graphe des liaisons.
Q - 10 :Projeter cette équation sur #»x5 et déterminer de nouveau la loi entrée sortie du mécanisme. Vérifier que la loi obtenue est la même que la précédente.
Exercice 5 : Roues de friction
#»y0
#»x0
θ10
#»y0
#»x0
θ20
R1
R2
0
1 2
A B I x
On appelle transmission par roues de friction un mécanisme constitué de deux roues roulant sans glisser l’une sur l’autre.
La condition de non glissement (d’adhérence) enIentre les solides1et2, se traduit parV#»(I,2/1)= #»
0 .
Q - 1:Déterminer le rapport de réductionω20
ω10
Pour réaliser, la condition de roulement sans glissement, il faut appliquer une importante force de contact entre les deux pièces. Pour palier ce pro- blème, on utilise un entraînement par obstacle.
6 Les trains simples
2 3
1 2a 4
2b
0
0
EXEMPLE:Dans le cas du schéma cinématique précédent:
D’après l’étude cinématique des roues de frictions, on remarquera qu’un contact extérieur inverse le sens de ro- tation, alors qu’avec un contact intérieur, le sens est conservé.
Par conséquent, la raison d’un train d’engrenage sera donnée par la formule :
ωsortie
ωentrée =(−1)n.
YDmenantes Y
Dmenées
=(−1)n.
YRmenantes Y
Rmenées avecnnombre de contacts extérieurs
ω40
ω10 =(−1)2.Z1 Z2b.Z2a
Z3 .Z3
Z4 = Z1.Z2a Z2b.Z4
Exercice 7 : Les trains épicycloïdaux
Unpignonqui tourneautour d’un axe en mouvementdans le repère lié au bâti est appelésatellite. Le satellite est le premier élément qu’il faut repérer quand on étudie un train épicycloïdal. Lorsqu’on a déterminé le satellite, on peut rechercher les trois "entrées" du train :
• leporte satelliteest en liaison pivot avec le(s) satellite(s). Il porte le(s) satellite(s).
• lesdeux planétaires sont encontact avec les dentures du satellite. Les planétaires tournent autour d’axes fixes dans le repère de l’observateur et engrènent avec le satellite. Les planétaires peuvent être des pignons ou des couronnes dentées intérieures.
O1 O3
A B
I
J
1
0 0
3 4
2 Pour ce train épicyloïdal:
• satellite: pièce2
• porte satellite: pièce4
• planétaires: pièces1et3. Il s’agit ici de deux pignons.
Les roulements sans glissement de ce trains épicycloïdal se traduisent par:
#»V(I,2/1) = #»
0 et #»
V(J,2/3) = #»
0
−
→x0
−
→y0
−
→z1 →−z0
−
→x1
−
→y1
θ10 θ10
−
→x0
−
→y0
−
→z3 →−z0
−
→x3
−
→y3
θ30 θ30
−
→x0
−
→y0
−
→z4 →−z0
−
→x4
−
→y4
θ40 θ40
et
ω10 = dθ10 dt ω30 = dθ30
dt ω40 = dθ40
dt
Un train épicycloïdal est un système à deux degrés de mobilités. Il convient de fixer deux paramètres pour déterminer toutes les inconnues cinématiques du problème. La formule de Willis permet de relier les vitesses de rotation du porte satellite et des deux planétaires.
La technique la plus simple consiste à se ramener à l’étude d’un train à axes de position relative invariable dans le même repère (trains simples).
O1x xA
Ix Jx #»y0
#»x0
#»y4
R1 R3 R2a
R2b
On se place sur le porte satellite
⇒
O1x xA
Ix x J #»y0
#»x0
#»y4
#»x4
#»y2
#»y1
#»y3 θ24
θ14 θ34
Q - 1:En se ramenant à un train simple dans le repère lié au porte-satellite, déterminer ω34 ω14. Q - 2:Traduire les deux roulements sans glissement pour retrouver la relation précédente.
Q - 3:En introduisant le bâti (0), déterminer la relation entreω10,ω30etω40.
Exercice 8 : Réducteur à bille
Le schéma ci-dessous est le modèle cinéma- tique d’un élément d’une chaîne d’énergie assurant la fonction transformer. Il s’agit, dans ce cas, de transformer le mouvement du flux de puissance. Ce composant est appelé un réducteur à billes.
La transmission de puissance étant assurée par le frottement aux contacts des billes, il peut, de manière exceptionnelle, réaliser une fonction de limiteur de couple.
Le mouvement d’entrée est communique au plateau circulaire 1 en liaison pivot d’axe (O,#»z0) avec le bâti0. Le mouvement de sortie est récupéré sur l’axe2 en liaison pivot d’axe (O,#»z0) avec le bâti0.
Le réducteur comporte 3 billes de rayonr, de centre C, en liaison pivot d’axe (O,#»y2) avec l’axe 2, et qui roulent sans glisser au point A sur le bâti0et au pointBsur le plateau1.
On pose :Ω#»(1/0)=ω10.#»z0etΩ#»(2/0)=ω20.#»z0 Q - 1:Déterminer le rapport de réductionω20
ω10 mécanisme. Que constate-t-on ?
Q - 2:Exprimer en fonction deω10etαle taux de pivotement du mouvement de 3/0.
Exercice 9 : Variateur à bille
Description du mécanisme
Le dessin technique ci-dessous représente un élément d’une chaîne d’énergie assurant la fonctiontransformer. Il s’agit, dans ce cas, de transformer le mouvement du flux de puissance. Ce composant est appelé un variateur à billes car la trans- formation du mouvement est réglable (réglage manuel).
La transmission de puissance étant assurée par le frottement aux contacts des billes, il peut, de manière exceptionnelle, réa- liser une fonction de limiteur de couple.
Sa structure est constituée par :
• un bâti (ou carter) (1)
• un arbre moteur muni d’un plateau (2)
• un arbre récepteur muni d’un plateau (3)
• un support réglable (6)
• une cage a billes (4) guidée en rotation par rapport au sup- port par le roulement (7)
• une série de 12 billes (5) en liaison rotule avec la cage.
La transmission du mouvement de l’arbre moteur à l’arbre récepteur est assurée par les billes (5) qui roulent sans glisser sur les plateaux lies aux arbres. Les billes sont guidées dans leur mouvement par une cage, elle-même guidée dans le support (6). Ce support est réglable en hauteur. Ce qui permet de modifier la vitesse de rotation de l’arbre récepteur.
Modélisation
0
0 1
2 4
C
#»z
#»x O1
O2
O I2
I1
C
#»z
#»y O2
O1
#»y3
#»z3
3 # »
O1O2 = h.#»z = # »
# » Cte
O1O = λ.#»z
# »
OC = R.#»y3 Ω#»(1/0) = ω10.#»x Ω#»(2/0) = ω20.#»x Ω#»(3/0) = ω30.#»x
Rayon de la bille4=r On note # »
O1O=λ.#»z.
Le mécanisme a pour entrée un arbre1en liaison pivot (O1,#»x) avec un bâti0. Cet arbre est muni d’un plateau en contact avec les billes d’une butée à billes centrée enO. L’arbre de sortie2, lui-même muni d’un plateau, en liaison pivot (O2,#»x) par rapport à0, est aussi en contact avec les billes de la butée3.
Lors du mouvement des arbres, les billes ont un mouvement satellitaire par rapport à l’axe (O,#»x). Ce mouvement est imposé par la cage3qui contraint le centreCde chaque bille à une trajectoire circulaire de centreOdans le plan (O,#»y,#»z). Cette cage3peut être déplacée suivant l’axe (O,#»z) et permet de ce fait le réglage du rapport de vitesse entrée/sortie.
Q - 1 :Traduire le non-glissement aux points de contact I1et I2. Q - 2 :Déterminer le rapport de vitesse k= ω2/0
ω1/0 en fonction du paramètre de réglage k.
APPLICATIONNUMÉRIQUE:h= 25 mm ;r= 6 mm ;R= 27 mm et 0≤λ≤13,6 mm . Q - 3:Déterminer kminet kmax. En déduire l’utilité d’un tel variateur.
