T D 6 CI-4 - C ORRECTION : M ODÉLISER LES SYSTÈMES DE SOLIDES PRÉVOIR ET VÉRIFIER LEURS PERFORMANCES Exercice 1 : Variateur à bille
Description du mécanisme
Modélisation
0
0 1
2 4
C
#»z
#»x O1
O2
O I2 I1
C
#»z
#»y O2
O1
#»y3
#»z3
3 # »
O1O2 = h.#»z = # »
# » Cte
O1O = λ.#»z
# »
OC = R.#»y3 Ω#»(1/0) = ω10.#»x Ω#»(2/0) = ω20.#»x Ω#»(3/0) = ω30.#»x
Rayon de la bille4=r On note # »
O1O=λ.#»z.
Le mécanisme a pour entrée un arbre1en liaison pivot (O1,#»x) avec un bâti0. Cet arbre est muni d’un plateau en contact avec les billes d’une butée à billes centrée enO. L’arbre de sortie2, lui-même muni d’un plateau, en liaison pivot (O2,#»x) par rapport à0, est aussi en contact avec les billes de la butée3.
Lors du mouvement des arbres, les billes ont un mouvement satellitaire par rapport à l’axe (O,#»x). Ce mouvement est imposé par la cage3qui contraint le centreCde chaque bille à une trajectoire circulaire de centreOdans le plan (O,#»y,#»z). Cette cage3peut être déplacée suivant l’axe (O,#»z) et permet de ce fait le réglage du rapport de vitesse entrée/sortie.
0
1 3 2
4
Pivot (O1,#»x) Pivot (O2,#»x) Pivot (O,#» x)
RSG(
I1) RSG(
I2 )
Rotule(C)
LYCÉECARNOT(DIJON) 1/3 MPSI - PCSI - TD6 CI-4 - CORRECTION
Q - 1 :Traduire le non-glissement aux points de contact I1et I2.
#»0 = #»
V(I1,4/1) et #»
0 = #»
V(I2,4/2)
#»0 = #»
V(I1,4/1)= #»
V(I1,4/3)+ #»
V(I1,3/0)+#»
V(I1,0/1)
=
#»
V(C,4/3)+ # »
I1C∧Ω#»(4/3)+
#»
V(O,4/3)+ # »
I1O∧Ω#»(3/0)+#»
V(O1,0/1)+ # »
I1O1∧Ω#»(0/1)
= # »
I1C∧Ω#»(4/3)+ # »
I1O∧Ω#»(3/0)+ # »
I1O1∧Ω#»(0/1) (1)
#»0 = #»
V(I2,4/2)= #»
V(I2,4/3)+ #»
V(I2,3/0)+#»
V(I2,0/2)
= #»
V(C,4/3)+ # »
I2C∧Ω#»(4/3)+
#»
V(O,4/3)+ # »
I2O∧Ω#»(3/0)+#»
V(O2,0/2)+ # »
I2O2∧Ω#»(0/2)
= # »
I2C∧Ω#»(4/3)+ # »
I2O∧Ω#»(3/0)+ # »
I2O2∧Ω#»(0/2) (2)
Q - 2 :Déterminer le rapport de vitesse k= ω2/0
ω1/0 en fonction du paramètre de réglage k.
La rotation de 4 par rapport à 3 comprend 3 composantes. ÉliminonsΩ#»(4/3)en additionnant (1) et (2), puisque # » I1C+ # »
I2C = r.#»x −r.#»x = #»
0 :
#»0 = I# »1O+I# »2O
∧Ω#»(3/0)+I# »1O1∧Ω#»(0/1)+I# »2O2∧Ω#»(0/2)
= 2.# »
CO∧ω30.#»x +# » I1C+# »
CO+ # » OO1
∧ω01.#»x +# » I2C+ # »
CO+ # »
OO1+ # » O1O2
∧ω02.#»x Projeter sur#»y3(CO) permet d’éliminerω30:
#»0.#»y3 = ((r.#»x −λ.#»z)∧ω01.#»x +(−r.#»x −λ.#»z +h.#»z)∧ω02.#»x).#»y3
0 = (λ.ω10.#»y +λ.ω20.#»y −h.ω20.#»y).#»y3=(λ.ω10+(λ−h).ω20).#»y.#»y3
⇒ ω20 ω10 = λ
h−λ = 1 h λ−1
APPLICATIONNUMÉRIQUE:h= 25 mm ;r= 6 mm ;R= 27 mm et 0≤λ≤13,6 mm . Q - 3:Déterminer kminet kmax. En déduire l’utilité d’un tel variateur.
kmin= 0
25−0 =0 et kmax= 1 25 13,6 −1
≈1,2
A partir d’une arbre d’entrée tournant à vitesse constante (moteur thermique lancé sur son régime nominal), il est possible de faire varier de façon continue la vitesse de sortie.
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2 Réducteur à bille
On pose :Ω#»(1/0)=ω10.#»z0etΩ#»(2/0)=ω20.#»z0
Q - 4:Déterminer le rapport de réduction ω20 ω10 méca- nisme. Que constate-t-on ?
Q - 5:Exprimer en fonction deω10, R et r le taux de pivotement du mouvement de 3/0.
0 1
2 3
Pivot (O,#»z0)
Pivot (O,#»z0) RSG(A) RSG(B) Pivot (O,#»y2)
V#»(A,3/0) = #»
0 et V#»(B,3/1) = #»
0
#»0 = #»
V(A,3/0)= #»
V(A,3/2)+ #»
V(A,2/0)
=
#»
V(O,3/2)+ # »
AO∧Ω#»(3/2)+
#»
V(O,2/0)+# »
AO∧Ω#»(2/0)
= # »
AO∧Ω#»(3/2)+ # »
AO∧Ω#»(2/0)
#»0 = #»
V(B,3/1)= #»
V(B,3/2)+ #»
V(B,2/0)+ #»
V(B,0/1)
=
#»
V(O,3/2)+ # »
BO∧Ω#»(3/2)+
#»
V(O,2/0)+# »
BO∧Ω#»(2/0)+
#»
V(O,0/1)+ # »
BO∧Ω#»(0/1)
= BO# »∧Ω#»(3/2)+BO# »∧Ω#»(2/0)+BO# »∧Ω#»(0/1)
En sommant les dernières relations issues de la traduction de chacun des roulements sans glissement :
#»0 = # » AO+ # »
BO
∧Ω#»(3/2)+# » AO+ # »
BO
∧Ω#»(2/0)+ # »
BO∧Ω#»(0/1)
= −
((2.R.((#»y2∧((ω32.(#»y(2−2.R.#»y2∧ω20.#»z0−(r.#»z0−R.#»y2)∧ω10.#»z0
= −R.(2.ω20−ω10).(#»y2∧#»z0) ⇒ ω10=2.ω20 Le rapport de vitesseω20
ω10 = 1
2 est constant.
Ω#»(3/0) =Ω#»(3/2)+Ω#»(2/0)=ω32.#»y2+ω20.#»z0 et#»
0 = # »
AO∧Ω#»(3/2)+ # »
AO∧Ω#»(2/0)
= (−r.#»z0−R.#»y2)∧(ω32.#»y2+ω20.#»z0)=−(r.ω32+R.ω20).(#»z0∧#»y2) ⇒ ω32=−R r.ω20 Ω#»(3/0) =ω20.
−R r
#»y2+ #»z0
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