Note sur les forces attractives et répulsives, et les actions de milieu

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Submitted on 1 Jan 1877

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Note sur les forces attractives et répulsives, et les actions de milieu

Paul Tannery

To cite this version:

Paul Tannery. Note sur les forces attractives et répulsives, et les actions de milieu. J. Phys. Theor.

Appl., 1877, 6 (1), pp.242-248. �10.1051/jphystap:018770060024201�. �jpa-00237294�

froides ; mais,

pour les vitesses extrêmes que

peut

atteindre la machine dans la

pratique,

^{on a} certainement N

R,

^et l’intensité du courant est

pratiquement

^limitée par ^une réduction modérée de 1

vers son minimum

qui

^est nul. La loi suivant

laquelle

l’intensité du courant augmente ^{avec la} vitesse de rotation de la machine est un

sujet important

pour des recherches

scientifiques.

En ^outre de ces relations

théoriques très-intéressantes,

^{les ma-}

chines Gramme

exposées

^{ont des}

applications pratiques

^{à l’électro-}

métallurgie,

^à

l’éclairage

^des

manufactures,

^des

phares

^et des navires

et serviront

peut-être aussi,

^dans

l’avenir,

^à

l’éclairage

^{des villes}

et des maisons d’habitation.

NOTE SUR LES FORCES ATTRACTIVES ET

RÉPULSIVES,

ET LES ACTIONS DE MILIEU (1) ;

PAR M. PAUL TANNERY.

I. Nous nous proposons d’examiner

quelques

^cas

particuliers très-simples

^du

problème général :

Determiner les

hypothèses

nécessaii-es pour sebstituer à des attractions et

repulsiol1s-,

^s’exer-

çant èc

^{distance entre des molécules}

matérielles,

l’action d’un milieu

s"exez-eant

par

pression

^{sur ces} molécules. Nous admet-

trons en

particulier,

^{dans ces}

recherches,

que les molécules ^maté- rielles peuvent ^être considérées comme des solides

invariables,

^{et le}

milieu comme un fluide

tel,

que ^la

pression

^{en un}

point

^donné y soit

indépendante

^de la direction et

qu’elle

^{soit la somme des}

termes

correspondant respectivement

^{à la}

présence

^{de chacun des}

solides invariables

qui

^sont

plongés

dans le milieu. Nous admet-

trons

également

que ^ce milieu fluide est

indéfini,

^{et nous}

n’y

^consi-

dérerons simultanément que ^deux solides

invariables ;

^{enfin nous}

1’ ) Yoir, pour ^les développements mathématiques qui n’ont pu ^trouver place ici,

ma Note Sur la genèse ^des forces attractives et répulsives, dans le volume en cours de publication ^des Mémoires de la Société des Sciences physiques ^et naturelles de Bor-

deaux, ^{t. Il} (2e série), ^{1er Cahier.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018770060024201

243 supposerons que l’action

réciproque

^{de ces deux}

solides,

^{à rem-}

placer

^sur chacun d’eux par l’action du

milieu,

est constamment

dirigée

suivant la droite

qui joint

^{les centres de}

gravité, indépen-

damment de toute condition touchant la

figure

^ou la situation des solides.

Examinons les

conséquences qui

résultent immédiatement de

ces

hypothèses.

Soient A et B les deux solides

invariables,

^{cz et b leurs centres}

de

gravité respectifs.

Nous avons admis

qu’en chaque point

^{du milieu la}

pression

était la somme de deux termes, l’un

correspondant

^au corps

A,

l’autre au corps

B,

^et _que ^les

pressions

^{sur la} surface du corps

A,

par

exemple,

^se

composaient

^{en une} résultante

unique dirigée

^sui-

vant ab.

Mais,

^{dans cette}

composition

^des

pressions

^sur la surface de

A,

nous pouvons faire abstraction ^{du terme}

correspondant

^{à ce} corps;

car la

résultante,

pour ^ce terme, ^sera constamment

nulle,

^{le milieu}

étant

imaginé uniquement

pour

remplacer

^{les actions}

extérieures,

et ne

devant,

par

suite, produire

^{aucun effet sur un} corps

supposé unique.

^{Ainsi nous n’avons à} considérer que ^{le terme}

dépendant

du corps ^B.

Mais,

comme nous n’avons d’ailleurs aucune condition de

figure,

nous pouvons supposer ^ce corps B

sphérique

^{autour de son centre}

de

gravité

^{b. Dès}

^lors,

par raison de

symétrie,

^{le terme}

exprimant

la

pression

^du

milieu, correspondant

^{à une} distance p ^{de ce} centre, ^sera

indépendant

^de la direction dans

l’espace,

^et

unique-

ment fonction de p, ^et du rayon de la

sphère ^B,

^{soit r. Nous} pou-

vons donc le

représenter

par

l’expression f(03C1, r).

Pour le corps

A, supposons-le

^de révolution autour de l’axe ab.

Il est clair que, dès

lors,

^la résultante des

pressions

^{sur A sera bien}

dirigée

^suivant

^czb,

conformément

à l’hypothèse. Mais,

^{si nous fai-}

sons une

supposition différente,

^{si nous admettons}

simplement,

par

exemple,

que le ^centre de

gravité

^{b ne soit}

plus

^{situé sur l’axe}

du corps

A,

nous serons conduits à une relation où la

longueur

^ab

entrera comme déterminée en fonction de _ry des

paramètres

^du

corps

A,

^{et de}

l’angle

que fera la droite ccb ^avec l’axe de révo- lution de A. Or ce résultat est contradictoire de la

généralité

^de

notre

hypothèse.

^Il

n’y

^a

point d’ailleurs,

^{comme dans le cas où}

l’on

appliquerait

^{le même} raisonnement aux actions à distance

(1), d’exception générale correspondant

^{à une forme}

particulière

^de

la fonction

f(p, r).

^{Nous sommes donc forcés} de considérer le corps ^{A comme étant} de révolution autour de tout axe passant par

son centre de

gravité a,

^{ou, en d’autres termes, notre}

hypothèse

n’est admissible que dans le ^{cas oû} les solides invariables dont il

s’ccyit

sont toits deux

sphériques,

^{et où leurs centres de}

gravité

coï7îcident avec les centres de

figure,

^{ce que nous admettrons}

désormais.

II. Soit donc R _{le rayon} de la

sphère ^A,

^{1 la} distance ab des centres, ^on calculera facilement la résultante des

pressions

^exer-

cées sur la surface de

A,

(sens positif ab),

et la résultante des

pressions

^{exercées sur la sur-}

face de B

(sens positif ba),

^F

( P, R), f P, r ) désignant respectivement

^les pres- sions du milieu à la distance _{p du} centre de

gravité ,

^suivant

qu’elles dépendent

^{de la}

sphère

^{A ou de la}

sphère

^B.

Nous allons maintenant introduire

l’hypothèse

que ^{ces résul-}

tantes 1 et

I’, comptées

^{en sens}

opposé

^{l’une de}

l’autre,

^sont

égales

en valeur absolue.

Si nous faisons abstraction de toute condition de

grandeur,

nous pouvons supposer que ^les

sphères A

^{et B sont}

égales,

^ou que

Dans cc cas, ^on conclura facilement,

(1) ^On sait que, si ^un point matériel b exerce sur les éléments d’un solide A une

action proportionnelle ^{à la masse et à la} distance, la résultante des actions de b sur

A sera constamment dirigée ^{suivant la droite} joignant b ^{au centre de} gravité ^{de A.}

245 pour ^{toutes les} valeurs de p ^et de _{1 ;} en d’autres termes, la

fonc-

tion

exprimant

^{la variation de}

pression

^du

^niilleu,

^à

partir

^{de la}

surface

^d’une

sphère

izzvaniable

isolée,

^ne

dépend

que du _rayon de cette

sphère,

^{et ne} peut

renferlner

^{aucun autre}

coefficient

par-

ticulien,

^{comme serait une dejtsité}

spéciale,

^etc.

Nous considérerons donc désormais comme

identiques

^{les fonc-}

tions

f’

^{et F.}

III. Si l’on

regarde l’égalité

des rayons ^comme existant néces-

sairement, quelles

que soient ^les

sphères considérées,

la condition que nous venons de trouver est suffisante pour satisfaire ^à

l’hypo-

thèse introduite en second lieu. Elle ne l’est

point,

^au

contraire,

si les rayons ^sont

supposés pouvoir

^différer.

La

supposition d’égalité

^{entre l’action et la} réaction donne alors la condition que

l’expression

^{1 ne}

change

pas de valeur

quand

^on

y permute ^{R en r et}

réciproquement.

Cette condition limite

singulièrement

les formes dont la fonc-

tionf

^est

susceptible,

^{surtout si l’on fait}

application

^du

principe d’homogénéité

dans les limites que ^nous

indiquerons

^{tout à}

l’heure.

Pour le montrer, ^{et sans} chercher à résoudre le

problème géné- ral,

^nous examinerons le cas où le

développement

^{de la fonction}

f (l ± R, r)

suivant les

puissances

^{entières et}

positives

^{de R est}

légitime.

Si,

pour

simplifier,

^on pose

la dérivation étant

supposée

faite par

rapport

^à p, ^{on trouvera} faci- lement le

développement

qui, d’après l’hypothèse,

^ne doit pas

changer

^{si l’on}

_permute

^{R en}

1’ et

réciproquement.

On en conclura _que les

fonctions ~(l, r)

^sont

développables

suivant les

puissances

^{entières et}

positives

^{de r, et} que, ^{dans ce}

développement,

^{il ne} peut d’ailleurs entrer que des

puissances impaires

^{de 7’y à}

partir

^{de r} 3 inclusivement.

En vertu du

principe d’homogénéité,

^{la valeur de 1 ne} doit pas

changer

^non

plus,

^{si l’on}

change

l’unité de

longueur

^sans

changer

l’unité de

force; par suite,

^{dans le}

développement

^de

~’’’ (l, r)

par

exemple,

^les coefficients des différentes

puissances

^{de r seront,}

d’une paru, ^des constantes

qu’on

peut supposer ^d’un

degré

^déter-

miné par

rapport

^à l’unité de

longueur

^{et de}

l’autre,

^des

puissances de l (1),

Il sera désormais facile de

calculer,

^{dans le}

développement

^de

I,

le terme

général

^{où 1 est affecté d’un}

exposant

déterminé. Le coef- ficient de ce terme sera un

polynôme homogène

^{en R et n,}

qui

devra rester

identique

^à lui-même si l’on

permute

^{R en r et réci-}

proquement ;

^{on trouvera} que ^cette condition déterminera tous les coefficients A comme

multiples

^{donnés de} l’un d’entre _eux, par

exemple :

Par

conséquent,

^{si l’on}

^{donne ni,}

c’est-à-dire

l’exposant

^{de la}

puis-

sance la

plus

^élevée de la distance 1 dans le

développement

^{soit de}

f(l, r),

^{soit de}

^l,

^ces deux fonctions

(qui représentent

^{l’une la}

variation de

pression

^{dans le milieu}

fluide, correspondant

^{à la}

présence

de l’une des

sphères ; ^l’autre,

^l’action totale du milieu sur cette

sphère

^{ou sur}

l’autre)

^seront entièrement

déterminées,

^{à un}

(t) ^Rien n’oblige, ^{il est} vrai, ^à admettre que ^le degré ^{de toutes les} constantes du

développement ^{soit le} même, ^et que par suite 1 soit homogène par rapport ^à R, ^{r et 1.}

Mais il est incontestable que si l’on était conduit expérimentalement ^à des fonctions

non homogènes, ^on les considérerait comme représentant ^des phénomènes ^d’ordre

différent qu’il serait essentiel de distinguer. ^{En d’autres} termes, ^nous pouvons ^{en tous}

cas regarder ^{1 comme une somme de fonctions} homogènes et, pour ^le but qui ^nous préoccupe, ^{nous borner à} considérer une seule de ces fonctions.

247 coefficient

général près.

^{Telle est} la limitation

singulière

que ^nous avions annoncée.

IV. Le calcul donnera les

développements

^suivants

qui, prati-

quement, ^seront

très-convergents :

On

s’arrêtera,

^{dans le}

développement

^du

polynôme, homogène

^en

R,

r, du

degré

^{2 n - 2, au terme} pour

lequel tx n - I 2,

^{9 si n est}

impair,

ou 03BC ⁼

n,

₂ si ^j2 est

pair ;

^{dans ce cas, il} faut observer que ^le

terme Rn-1 rn-1 est

unique.

L’examen de ces

développements

^{conduit aux} conclusions sui- vantes,

qu’on

^aurait d’ailleurs pu établir directement :

i° Si in est

positif,

^{les deux}

développements

^{ont un nombre de}

termes indéfini. Ils seraient au contraire limités si 77z était

négatif.

2° Si ^{m = 2013} ly 1 ^! _{o ;} si la

pression

^est constante, l’action ^est

nulle,

^ce

qu’on

^savait

priori.

30 La fonction 1 ne peut ^{se réduire à un seul terme} que dans deux _{cas, à} savoir pour ^{m = 2013 3 et} pour ^{m = o.} Ce sont

égale-

ment les seuls cas où l’on peut

supposer f( 1, J.)

réduit de même à

un seul terme.

Dans ce

premier

^cas

simple,

^en

^effet,

^{on a}

l’action 1 étant

proportionnelle

^à la distance

1;

^{le terme} variable de la

pression

^est

proportionnel

^{au carré de la distance. Ce cas ne}

paraît

pas

susceptible d’application physique.

Le

second,

^au

contraire, (in = 0), correspond

^{à la}

gravitation

universelle

Soient v le volume de la

sphère

de rayon ^r, a la

densité, qui

^est

la même pour les deux

sphères, k

l’attraction de l’unité de masse sur l’unité de masse à l’unité de

distance,

^{enfin P une constante,}

on aura

k

changerait

^de

signe

s’il y avait ^entre les deux

sphères répulsion

en raison inverse du carré de la distance.

Ainsi,

^{dans le cas de}

l’attraction,

^la

pression

^{du milieu} augmente à mesure que ^l’on

s’éloigne

^des

sphères;

^elle

diminue,

^au

contraire,

dans le cas de la

répulsion (1).

Ces

hypothèses

^sont évidemment

beaucoup

trop

simples

pour

s’appliquer

^{à des}

phénomènes

^aussi

complexes

que ^les actions

électriques

^ou

magnétiques.

^{Mais rien}

n’empêcherait,

^ce

semble, d’essayer

^{les formes de fonctions} que nous avons rencontrées pour

représenter

^la

répulsion

^entre molécules gazeuses ^{à une}

tempé-

rature déterminée.

Nous ferons remarquer ^{, en}

terminant,

que les relations mathé-

matiques

^{établies entre 1}

et f(l, r),

^sous les conditions d’homo-

généité

^et

d’égalité

^{d’action et de}

réaction,

subsistent dans le cas

oû l’on

supposerait égaux

les rayons ^{de toutes les}

sphères

^inva-

riables.

(1) ^{Il est à} peine ^{utile de faire} observer que ^cette conclusion dérive immédiatement de nos hypothèses primitives, puisqu’elles concordent, comne on a pu le remarquer,

avec celles qu’a développées ^{le P.} Secchi dans son volume de l’ Unité des forces phy- siques ^au sujet ^{de la} gravitation universelle.