REPERAGES : DISTANCE ET MILIEU 1
Milieu d’un segment
I est le milieu du segment [AB]
Pour déterminer les coordonnées de I dans un repère, on applique la formule suivante : +
; + Application
Dans un repère du plan, on donne les points 2; −5 et 4; 1.
Soit I le milieu du segment (AB]. Déterminer les coordonnées du point I.
=+
2 = 2 + 4 2 = 6
2 = 3
= +
2 = −5 + 1 2 =−4
2 = −2 Donc ! 3; −2
Vérification graphique
Distance / Longueur
La longueur du segment [AB] se note AB.
Pour déterminer AB, on applique la formule suivante : = "− + − ²
Application
Dans un repère du plan, on donne les points 2; −5 et 4; 1. Déterminer la longueur AB.
= "4 − 2$+ %1 − −5&$ = '2$+ 6$ = √4 + 36 = √40 = 2√10
2 Alignement de 3 points
Soit 3 points , +, -. Ces 3 points sont alignés si : −
− = .− .− Application
Dans un repère du plan, soit trois points 1; 5 ; −1; 1 +, - 4; −1. Les points , et - sont-ils alignés ?
−
− = 1 − 5
−1 − 1 =−4
−2 = 2
/−
/− = 11 − 1 4 + 1 =10
5 = 2
3 EXERCICES D’APLLICATION
Exercice 1
Soit 2; 2 ; −1; −1 +, - 4; −1
Placer les points A, B et C dans un repère orthonormé (O ; I ; J) et calculer les coordonnées des milieux de chacun des segments [AB], [AC] et [BC].
Exercice 2
Soit 3; 1 ; −1; 5 +, - 0; −3
Placer les points A, B et C dans un repère orthonormé (O ; I ; J) et calculer les coordonnées des milieux de chacun des segments [AB], [AC] et [BC].
Exercice 3
Soit −1; 2 +, 0; 1
Placer les points A et B dans un repère orthonormé (O ; I ; J) puis déterminer les coordonnées du point A’ symétrique de A par rapport à B.
Exercice 4 Soit 3
2 ; 3 +, −1; −1
Placer les points A et B dans un repère orthonormé (O ; I ; J) puis déterminer les coordonnées du point A’ symétrique de A par rapport à B.
Exercice 5
Indiquez si les points A, B et C sont alignés ou non.
3 1; 1 ; 3; −8 ; - −2; 10 5 2; −2 ; −3; 13 ; - 5; −11 6 1
2 ;21
4 ; −1 3 ; −29
6 ; - 10; 10
CORRECTION 4
Exercice 1 Pour [AB]
=+
2 = 2 − 1 2 =1
2 = +
2 = 2 − 1 2 =1
2 Donc le milieu du segment [AB] a pour coordonnée 1
2 ;1 2.
Pour [AC]
=+ /
2 = 4 + 2 2 = 6
2 = 3 = + /
2 = 2 − 1 2 =1
2 Donc le milieu du segment [AC] a pour coordonnée 3;1
2.
Exercice 2 Pour [AB]
=+
2 = 3 − 1 2 =2
2 = 1 = +
2 = 1 + 5 2 =6
2 = 3 Donc le milieu du segment [AB] a pour coordonnée 1; 3.
=+ /
2 = −1 + 4 2 = 3
2 = + /
2 = −1 − 1 2 = −1
Donc le milieu du segment [AC] a pour coordonnée 3 2 ; −1.
Pour [BC]
5
Exercice 3
Si A’ est le symétrique de A par rapport à B alors B est le milieu de [AA’].
= + J
2 ⇔ 0 = −1 + J
2 ⇔ 0 = −1 + J ⇔ J = 1
= + L
2 ⇔ 1 = 2 + J
2 ⇔ 2 = 2 + J ⇔ J = 0 L1; 0
Exercice 4
Si A’ est le symétrique de A par rapport à B alors B est le milieu de [AA’].
= + J
2 ⇔ −1 =
32 + J
2 ⇔ −2 = 3
2 + J ⇔ J = −7 2
= + L
2 ⇔ −1 = 3 + J
2 ⇔ −2 = 3 + J ⇔ J = −5 L−7
2 ; −5
=+ /
2 = 3 + 0 2 = 3
2 = + /
2 = 1 − 3 2 =−2
2 = −1
Donc le milieu du segment [AC] a pour coordonnée 3 2 ; −1.
=+ /
2 = −1 + 0 2 =−1
2 = + /
2 = 5 − 3 2 = 1
Donc le milieu du segment [AC] a pour coordonnée −1 2 ; 1.
Pour [AC]
Pour [BC]
N O; O ; P; −Q ; . −; OR
6
−
− =−8 − 1 3 − 1 =−9
2 /−
/− = 10 + 8
−2 − 3 = 18
−5
−9 2 ≠ 18
−5 donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
T ; − ; −P; OP ; . U; −OO
−
− = 13 + 2
−3 − 2 = 15
−5 = −3 /−
/− = −11 − 13
5 + 3 =−24 8 = −3
−3 = −3 donc les points A, B et C sont alignés.
V O ;O
W ; −O P ; −X
Y ; . OR; OR
− − =
−296 −21
−1 4 3 −1
2
=− 5812 −63 12
− 26 −3 6
=− 12112
− 56 = −121 12 ×−6
5 =121 10
/−
/− = 10 + 296 10 + 13 =
896 313
=89 6 × 3
31 = 89 62
121 10 ≠89
62 donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
