Essai sur les lois d'élasticité d'un milieu capable de transmettre des actions en raison inverse du carré de la distance

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

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B

Essai sur les lois d’élasticité d’un milieu capable de transmettre des actions en raison inverse du carré de la distance

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 4 (1887), p. 201-240

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ESSAI

srn

LES LOIS D ' É L A S T I C I T É

D'UN MILIEU CAPABLE DE TRANSMETTRE DES ACTIONS EN RAISON INVERSE DU CARRÉ DE LA DISTANCE,

PAR M. M. BRILLOUIN,

M A I T R E DE C 0 N F É U E N C K S A L' E C: 0 L R N0 R M .V LE Si P K R l E V H E.

INTRODUCTION.

1. Le point de départ de ce travail se trouve dans les Chapitres V (T6 Partie) et XI (IVe Partie) du Traité (F Électricité et de Magnétisme de Maxwell, dont la première édition a paru en 1873. Ces Chapitres ont pour titres ; Mechanical action bet^een electriçal bodies. — Energy and stress. Les propositions les plus i m p o r t a n t e s avaient été déjà publiées par Maxwell en 1861-62 dans le Philosophical Magazine, el en i865 dans les Transactions philosophiques,

Précisant, pour la première fois je crois, la nature des actions élas- tiques d'un milieu capable de transmettre les actions électrostatiques, magnétiques et électromagnétiques, il donne l'expression des six com- posantes des actions élastiques (*), N, T, de Lamé, en fonciion des forces électrostatique et électromagnétique ou, plus exactement, en fonction de ces forces et de Yindaction électrostatique ou électroma- gnétique, pour les corps d o n t le pouvoir i n d u c t e u r spécifique et la

(¹) Dans le cas d'un milieu ma^nctiqucy les six composantes tangentîelles ne se réduisent pas aux trois T, car le couple n'est pas nul. Dans ce cas, Maxwell a donné l'expression complète deâ neuf forces élastiques.

Ann. de l ' É c . Normale. 3<! Série. Tome IV. — Jui^-ET 1887. 20

302 M. BIULLOUIN.

perméabilité magnétique ne sont pas des constantes. Arrivé là, il sait (îu'il reste un second pas à faire, et il déclare n'y avoir pas réussi à son

^ré. Je cite textuellement ses paroles :

« II m u s t be carefully borne in mind that we hâve made oniy one step in thé theory o f t h e action o f t h e m é d i u m . Weliave supposed i t t o be in a state of stress, b u t w e hâve not in any way accounted for this stress, or explained lio\v it is m a i n t a i n e d . This step, however, seems to m e t o be an i m p o r t a n t one, a s i t e x p l a i n s , b y thé action o f t h e c o n s e c n t i v e parts o f t h e m é d i u m , phenomena wich were formerly supposed to be explicable oniy by direct action afc a d i s t a n c e .

» 111.. / hâve not been able la make thé next step, n a m e l y to a c c o u n t , by mechanical considérations for this stress in t h é dielectric. 1 there- fore lea^e thé theory at this point, merely stating what are thé other parts of thé phenomenon of i n d u c t i o n in d i c l e c t r i c s . . . » (Vol. I, -Part. I , C h a p . V, p* ï32, 1873, i^ éd.)

Et plus loin (Vol. II, i1 6 éd., Part IV, Chap. XI, p. ^ 5 7 ) :

» 645. In eiplaining thé e l e c t r o m a g n e t i c force by m e a n s of a stalc of stress i n a m é d i u m , we are oniy f o l l o w i n g out. thé conception of Faraday (^f) , t h a ï thé lines o f m a g n e t i c force tend to shorten themselves a n d that they repel each other w h c n placed side by side. AH that we hâve done is to express thé v a l u e of thé tension along llie lincs, a n d tlie pressure a t r i g h t angles to t h e m , in m a l h e m a t i c a l language, and (o prove t l i a t thé state of stress t h u s assumed to exist in thé m é d i u m w i l l actually produce thé observed forces on thé c o n d u c t o r s wich carrv electric c u r r e n t s .

» We haçe asserted noihing as y et wùh respect to thé mode in which this state of stress ù originated and maintained in thé médium. We hâve merely shewa that it is possible to conceive thé m u t u a l action o(

electric c u r r e n t s fco d é p e n d on a p a r t i c u l a r k i n d of strass in thé s u r - r o u n d i n g mediulB, instead of being a direct and i m m é d i a t e action at a distance.

)) Any further explanation of thé state of stressa by means ofthemo- (1) E^p^Rcs., 3266, 3267, 3268.

ESSA.I SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D ' U N MILIEU» ETC. Ùô3

/zw< ofthé médium or otherwise must be regarded as a separate and inde»

pendent part of thé theory, mch mav stand or f ail withoul affecting our présent position. (See art. 822. )

» In thé ûrst Part of lllis ïreatise ( arL 108) we shewed t h a ï t h é observed electrostatic forces m a v be coneeived as o p e r a t i n ^ through thé i n t e r v e n t i o n o f a stnte of stress in ihe s u r r o u n d i n g m é d i u m . We h â v e now donc thé same for thé e l e c t r o m a g n e t i c forces, a n d it remains le l)e seen whether t h é conception of a m é d i u m capable of s u p p o r t i n g thèse states of stress is consistent with o l h e r known p h e n o i n e n a , or whelher we shall hâve to p u t it aside as u n f r u i t f u l .

» In a field in which electrostatic as well as eleciromagnetic action is Iakinûi- place, \ve m u s t suppose thé electrostalic stress described in Part l t o ' b e s u p e r p o s e d on ihe e l e c t r o m a g n e l i c stress wich we hâve heen considering. ))

2. Le renvoi de l ' a r t . 822 est r e l a t i f aux. q u e l q u e s pages (408-417, On ihe hypothesis o f m o l e c u l a r vortices) ou Maxwell rappelle, en trop peu de mots, l'hypothèse p a r t i c u l i è r e , sur la n a t u r e du m i l i e u capable de transmeltre les actions é l e c t r i q u e s , qu'il a développée en 1861 et 1862 dans cinq articles d u Philosophical Magazine, articles 1res in- siruclifs pour q u i les é t u d i e , malgré la c o m p l i c a t i o n de l'hypothèse.

La c i t a t i o n , lue entre les lignes, c o n t i e n t une r e m a r q u e fondamen- tale, qui n'y est pas t e x t u e l l e m e n t e x p r i m é e :

Le milieu capable de transmeltre les actions électrujues nest pas un de ces milieux élastiques que Von étudie dans la théorie ordinaire de r élas- ticité, et dont les réactions élastiques sont proportionnelles aux déforma- /ions.

Il est impossible d ' a t t r i b u e r u n a u t r e sens a u x phrases soulignées et d ' a d m e t t r e que Maxwell se soit i n g é n i é à créer de toutes pièces u n milieu convenable, alors qu'il a u r a i t suffi d ' a p p l i q u e r une théorie ba- nale. Il est en effet très facile de démontrer cette proposition.

Il reste donc à d é c o u v r i r les lois d'élasticité d ' u n milieu, simple ou composé, tel q u e les actions élastiques puissent s'exprimer en fonc- tion de la force électrique ou magnétique au moyen des formules de Maxwell.

C'est ce p r o b l è m e q u e je me suis proposé de traiter. Le Mémoire

2C)4 a î* BTÎILLOUIN.

actuel ne contient guère que des préliminaires, et le r é s u l t a t n'est pas très encourageant; mais je crois qu'il définit complètement la nature du problème et i n d i q u e exactement la méthode q u ' i l convient de suivre p o u r le traiter. Je suis d'ailleurs c o n v a i n c u que Maxwell d e v a i t être en possession, il y a plus de vingt-cinq ans, de tout ce q u ' i l y a d'exact dans les pages qui vont suivre, et que les éditeurs de ses œuvres de- vront en retrouver la trace dans ses papiers.

Programme.

3. L'importance de la question n'est pas philosophique. 11 ne s'agit n u l l e m e n t de savoir si l'on peut faire disparaître de la Science t o u t e notion de force agissant à distance, mais seulement de savoir si les forces agissant à ces distances, que le physicien n o m m e grandes ou finies, peuvent être remplacées par les actions élastiques d ' u n milieu que le physicien peut considérer comme c o n t i n u , parce qu'un v o l u m e de ce milieu inférieur à t o u t ce qu'on peut mesurer (<^ io~'21 millimétré cube, par exemple) j o u i t encore de toutes les propriétés d'un volume appréciable.

Ce milieu sera-t-il continu, au sens m a t h é m a t i q u e , ou formé de par- ticules séparées? Les actions élastiques s'exerceront-ellcs à distance entre les particules séparées ou seulement au contact et par choc? Peu imporie. La question n'en a pas moins une importance physique capi- tale, c^ir il est difficile d'échapper à la conviction de l'existence d'un ou de plusieurs de ces milieux, au moins pour les phénomènes l u m i n e u x et électriques.

D'autre part, dans ses Leçons autographiées Orztke molecidar motions, sirW.Thomson s'élève fortement, à plusieurs reprises, contre la théorie électromagnétique de la lumière, q u ' i l regarde comme u n retour en arrière, parce qu'elle n'est pas u n e théorie p u r e m e n t mécanique.

Qu'une hypothèse mécanique rende compte de tous les phénomènes électriques, et les ol)jections de sir W. Thomson auront perdu toute raison d'être. Or nous n'avons aucune raison expérimentale de regarder -b lumière comme.liéc directement aux déplacements de chaque point du milieu qui la transmet, plutôt qu'aux déformations locales de chaque élément de voLurne: ou à.toute a u t r e quantité périodiquement variable

ESSAI SUR LES LOIS D ELASTICITE D U-N MILIEC, ETC. 203

avec les déplacements. De même, il n'existe a u c u n e preuve expérimen- tale q u e le milieu éther doive suivre les lois d'élasticité des solides.

.L'étude de l'Optique ne nous fournit donc a u c u n renseignement, précis sur les actions élastiques mises e n j e u ; l'élude de l'Électricité nous en fournit : c'est de celle-ci q u ' i l faut p a r t i r pour remonter de proche en proche a la d é f i n i t i o n d u milieu i n c o n n u avec le m i n i m u m d'hypothèses.

4. Quelques-unes, c e p e n d a n t , ne semblent pas pouvoir être évi- tées ï

i° Le m i l i e u i n c o n n u est un milieu mécanique. Les c o n d i t i o n s d'équi- libre sont celles q u e f o u r n i t la Statique. Les é q u a t i o n s du mouvement i?ont celles que f o u r n i t la Dynamique.

R i e n ne nous autorise à croire q u ' i l en soit ainsi; les principes de la S t a t i q u e et d e l à D y n a m i q u e sont des principes e x p é r i m e n t a u x , éta- blis p o u r ces corps saisissables qui sont plongés dans le m i l i e u universel et en sont peut-être formés, suivant l'bypotbèse des atomes t o u r b i l - lons; il n'est p o i n t certain q u e ce soient des principes élémentaires, applicables à ce milieu lui-même. Si nous faisons cette hypothèse, ce n'est point pour sa vraisemblance, c'est par impuissance d'en faire u n e a u t r e sans entrer dans le d o m a i n e de la fantaisie : c'est la seule hypo- thèse q u i soit d é t e r m i n é e .

Si, cependant, les propriétés qu'elle impose au milieu universel ren- d a i e n t l'existence de celui-ci impossible, a p r è ô e x a m e n a p p r o f o n d i , i l n'est pas certain q u ' o n ' n e puisse découvrir les lois de la Dynamique spéciale de ce milieu, nécessaires pour que son existence rende c o m p t e à la fois des phénomènes physiques et de la D y n a m i q u e particulière de la matière ordinaire.

2° Les états d ' é q u i l i b r e électrique ou m a g n é t i q u e observés sont des états d'équilibre instantané ou moyen du m i l i e u . Ils p e u v e n t provenir, soit de l'équilibre du m i l i e u à chaque instant en tout point, soit de la compensation entre clés actions périodiques se succédant à court i n t e r - valle. M. Bjerkness a donné des exemples nombreux de ce dernier genre d'équilibre d'un liquide, lorsqu'il y a un potentiel des'vitesscs;

,on sait alors que les actions sont analogues à celles qu'il s'agit d'ex- p l i q u e r , mais non identiques. On p e u t se d e m a n d e r yi, dans un milieu où les actions tangcnlielles peuvent p r o d u i r e des m o u v e m e n t s qui

2(>6 M. MÏLLOUIN.

n'ont pas de p o t e n t i e l des vitesses, on n ' o b t i e n d r a i t pas l'analogie di- recte.

3° Le milieu, s'il est unique, ne subit que des déplacements continus. C'est celte c o n d i t i o n q u i exclut les m i l i e u x à réactions élastiques propor- t i o n n e l l e s a u x d é f o r m a t i o n s . C'est aussi p o u r éviter cette c o n d i t i o n que Maxwell, dans son hypothèse p a r t i c u l i è r e ÇPhil. Mag., i86r-i86^), a i m a g i n é un milieu complexe, formé d ' u n e i n f i n i t é de petites c e l l u l e s c o n t c n a n t P u n des m i l i e u x , et d o n t les parois minces, c o n s t i t u é e s par le second milieu, sont des surfaces de d i s c o n t i n u i t é p o u r les vitesses du premier m i l i e u ; dans chaqui* c e l l u l e , le p r e m i e r m i l i e u l i q u i d e t o u r n e n u t o u r d ' u n axe parallèle a u x lignes de force m a g n é t i q u e avec u n e vi- tesse a n g u l a i r e p r o p o r t i o n n e l l e à la force magnétique. Les cellules s'QritîïKent alors s u i v a n t les tubes de force, cl: la pression exercée par le l i q u i d e tournai:»! sur les parois latérales de la c e l l u l e est i n f é r i e u r e à celle exercée sur les bases d ' u n e q u a n t i t é p r o p o r t i o n n e l l e à la force ('enirifiige, c'est-à-dire au carré de la vitesse de r o t a t i o n . Les mouve- ments que In matière des parois prend sous l ' i n f l u e n c e de la différence des vitesses d u l i q u i d e de part et d ' a u t r e d o n n e n t l i e u a u n transport q u i correspond a u x courants électriques. Ou voit q u ' i c i la d i s t r i b u t i o n des forces é l a s t i q u e s nécessaire n'est q u ' u n e d i s t r i b u t i o n moyenne dans l'espace,

/s0 11 s e m b l e bien difficile, au moins au début, de tenir c o m p t e de la présence d u corps matériel dans lequel se p r o d u i t le p h é n o m è n e é l e c t r i q u e , a u t r e m e n t que par la v a r i a t i o n de certains coefficients ca- ractéristiques de l'état du m i l i e u universel d a n s les divers corps. On c o n t i n u e r a à a t t r i b u e r entièrement au milieu la charge électrique, l ' a i m a n t a t i o n , le c o u r a n t , en r e s t r e i g n a n t le rôle d u corps m a t é r i e l a l;i p r o d u c t i o n de d i s c o n t i n u i t é s locales d a n s le m i l i e u u n i v e r s e l . C'est une hypothèse q u i , c o m m e la première, n'a p o u r elle que l'impossibi- l i t é d'en choisir u n e aulre qui ne soit pas encore p l u s a r b i t r a i r e .

'5. PLAN D'UNE ÉTUDE COMPLÈTE : A. Lois de Coulomb et (F Ampère. "- Kecherche des expressions les plus générales -des forces élastiques, en fonc- tion des quantités qui définissent l'état da champ au même point. •— Toute celte partie du problème a été traitée par Maxwell.

lî. Examen de chacun des trois modes d'explication distincts : 1° mi-

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UlS MILIEU, ETC. 207

lieu unique ou double en étal d¹ équilibre; 2° milieu unique ou double en état vibratoire permanent; 3" milieu unique ou double en état de rotation élémentaire. —- Lorsque deux milieux se pénètrent, on doit distinguer deux cas p r i n c i p a u x : i° m i l i e u x i n t i m e m e n t mélangés et séparément c o n t i n u s en tous sen;?; 2° milieux o c c u p a n t des portions distinctes de l'espace, et tels que la présence de l'un crée des surfaces de discon- t i n u i t é nombreuses au milieu de l'autre. Je puis dire, dès à présent, que c'est cette dernière s t r u c t u r e qui permet d'établir les relations les p l u s directes et les p l u s simples e n t r e les q u a n t i t é s électriques et les défor-

m a t i o n s .

Dans cliîicun de ces trois cas p r i n c i p a u x , on cherchera comment il f a u t p a r t i c u l a r i s e r les i n d é t e r m i n é e s pour que les forces élastiques, constantes ou moyennes a i e n t les expressions données par Maxwell.

On a u r a ainsi des r e l a t i o n s entre les q u a n t i t é s électriques et les q u a n - tités géométriques ou c i n é m a t i q u e s q u i définissent la déformation ou le m o u v e m e n t p e r m a n e n t du milieu; ces relations définiront, dans cha- c u n e des trois hypothèses p r i n c i p a l e s , la nature g é o m é t r i q u e ou méca- n i q u e de la masse électrique, de la force électromotrice, de l'intensité de c o u r a n t , etc.

Enfin, des considérations géométriques ou c i n é m a t i q u e s p e r m e t t r o n t d'écrire les équations à intégrer p o u r tirer l'état de déformation d u milieu de la connaissance du c h a m p électrique.

G. Lorsqu'on aura dressé la liste complète des hypothèses compa- tibles avec l'état d'équilibre électrique (et le nombre en sera très restreint), on e x a m i n e r a quelles conséquences elles fournissent p o u r le m i l i e u en m o u v e m e n t . L'emploi m é t h o d i q u e des lois de l'induction é l e c t r o d y n a m i q u e , de la loi de Joule et du principe de l'équivalence, c o n d u i r a soit au rejet de l'hypothèse examinée, soit à la définition de la n a t u r e de la chaleur dans cette hypothèse. Loin de tout corps maté- riel o r d i n a i r e , il f a u d r a q u e les équations du m o u v e m e n t d o n n e n t pour lois de p r o p a g a t i o n de celte c h a l e u r celles de la c h a l e u r r a y o n n a n t e , c'est-à-dire celles de l ' o p t i q u e géométrique et physique. La loi de Joule, d ' u n e p a r t , et les lois de la conductibilité de Fourier, de l'autre, l i m i t e r o n t les hypothèses possibles sur la n a t u r e des corps matériels ordinaires, en même temps qu'elles renseigneront s u r ce qu'on doit e n t e n d r e par température. On voit facilement comment devront être

2()8 M . BRILLOtIN.

employées ensuite les conditions fournies par la Mécanique et la T h e r m o d y n a m i q u e .

6. En procédant de proche en proche, il semble donc que Télat actuel de la science expérimentale permette de déterminer rigoureu- sement et de réduire à un très petit nombre les hypothèses cosmogo- n i q u e s compatibles avec nos connaissances. Si l'on pouvait être assuré d'avoir toujours fait des é n u m é r a t i o n s complètes la où le r a i s o n n e m e n t mathématique ne pourra pas être employé, c'est-à-dire pour l'hypo- thèse i n i t i a l e sur le milieu universel et p o u r l'hypothèse correspon- d a n t e s u r la matière o r d i n a i r e , on aurait formé toutes les hypothèses mécaniques possibles. Peut-être même les lois actuelles d e l à Physique comprennent-elles plus de conditions qu'il n'en f a u t pour que la déter- m i n a t i o n de l'hypothèse mécanique soit complète et unique. A v a n t d'arriver à la tin du p r o g r a m m e de ces recherches, on resterait en pré- sence d'une seule hypothèse; si, confrontée avec les phénomènes non utilisés p o u r l'établir, elle en rendait compte exactement, elle acquer- rait ainsi u n e grande probabilité.

Q u e l q u e difficulté que doivent présenter de pareilles recherches, il m'a paru p o u r t a n t intéressant de noter l'ordre dans lequel on peut employer les lois expérimentales p o u r d é t e r m i n e r de proche en proche, avec le m i n i m u m d'arbitraire, une ou plusieurs images mécaniques du m o n d e p h y s i q u e , si toutefois il en existe (n° 4).

CHAPITRE L

LOÎS DES FORCES ÉLASTIQUES EN FONCTION DE LA FORCE ÉLECTRIQUE.

MAXWELL.

7. Commençons par classer les lois physiques dont il s^agit de rendre compte, d'après leur degré de certitude expérimentale.

Les phénomènes électrosta'tiques se déduisent rigoureusement de la

ESSAI SUR LES LOIS ^ÉLASTICITÉ D ^ U N MILIEU, ETC. .200)

loi de Coulomb et de la propriété caractéristique des corps conducteurs quand les seuls isolants qui aient un rôle appréciable sont l'air ou les gaz permanents; il en est de mên'ie s'il y a des isolants de très petites dimensions chargés d'une manière permanente, par frottement ou par contact avec un corps électrisé.

Les lois de F électrodynamique, telles que les a formulées Ampère»

s'appliquent exactement aux courants constants, lorsqu'il n'y a pas d'autre milieu magnétique q u e l'air, les gaz permanents, et les mé- taux bons conducteurs (fer, nickel, cobalt exceptés). Les lois de Cou- lomb et de Laplace les complètent lorsqu'il y a des aimants permanents saturés, d o n t l'aimantation est invariable.

Telles sont les lois dont il faut rendre compte en toute rigueur quand la transmission se fait à travers l'air, parce qu'elles sont bien établies par l'expérience. Toutefois elles n'ont été établies que p o u r des dis- tances moyennes, ni très grandes, ni très petites, et rien ne nous auto- rise à penser qu'elles restent aussi simples a u x très petites distances.

Le précieux contrôle de Maxwell (Cavendish, note 19, p. 41?) n î a ^e

valeur q u e j u s q u ' à l a distance m i n i m u m des surfaces voisines des d e u x sphères concentriques, soit o^os environ; bien au contraire, l'exis- tence des différences de potentiel au contact de deux corps, les phéno- mènes de polarisation des électrodes, doivent mettre en garde contre une application stricte de la loi de C o u l o m b jusqu'aux plus petites distances. Enfin, toutes les expériences ont été faites ii la surface de la Terre, et aucune observation astronomique n'a fourni jusqu'ici la m o i n d r e occasion de contrôle extra-terrestre; c'est donc par une géné- ralisation sans fondement expérimental qu'on a l'habitude de consi- dérer ces lois comme indépendantes du voisinage de la Terre, et les constantes numériques qu'elles contiennent comme des constantes ab- solues. On a toujours supposé que la pesanteur et les forces électriques sont des forces indépendantes, sans qu'on l'ait j a m a i s démontré; il n'est nullement évident que la composante, suivant une direction, de la force totale qui agit sur un corps soit la somme de la composante de son poids, et de la composante des attractions électriques qu'il subit d'après la loi de Coulomb, sans aucun terme qui dépende à la fois des attractions électriques et newtoniennes.

Ânn. de l'Èc, Normale. 3e Série. Tome ÏV. — JUILLET 1887. „ 27

^[0 ' M . BRILLOUIN.

8. Traiter cette composante, fonction des atlractions électriques et newtoniennes, comme la somme de deux f o n c t i o n s , l ' u n e u n i q u e m e n t électrique, l'autre u n i q u e m e n t newtonienne, c'est faire u n e hypothèse gratuite. Pour trancher cette question, il f a u d r a i t comparer les ac- tions internes de deux systèmes électrisés rigoureusement i d e n t i q u e s à tous égards, sauf l'orientation p a r rapport à la Terre; l'un des systèmes ayant son plan de référence horizontal, l'autre vertical et la d i r e c t i o n du m o u v e m e n t possible étant horizontale dans le premier, verticale dans le deuxième. Ai-je besoin d ' a j o u t e r q u e j a m a i s une e x p é r i e n c e de ce genre n'a été f a i t e ? fût-elle négative, elle laisserait encore en

Fiç. i. Fi^. 2.

,/T\

suspens une a u t r e question : la constante de la loi de C o u l o m b ( o u , si l'on veut, l ' u n i t é de masse é l e c t r i q u e ) est-elle i n d é p e n d a n t e de l'inten- sité de la pesanteur ? Des mesures absolues faites en différents lieux de la Terre p o u r r a i e n t seules fournir u n e réponse é t o i l e s ne s e m b l e n t pas réalisables avec la précision nécessaire : je me c o n t e n t e r a i d ' e n énoncer le principe, m a t é r i e l l e m e n t impraticable. Deux électromètres absolus i d e n t i q u e s seraient installés l ' u n dans la p l a i n e ^ l'autre au sommet d'une haute montagne; d e u x conducteurs de même métal que les élec- tromètres relieraient d ' u n e p a r t leurs cages, d'autre part leurs conduc- teurs mobiles, et se raient parfaitement isolés. M e s u r a n t la m ê m e diffé- rence de potentiel a u moyen des d e u x appareils, on e x a m i n e r a i t si les forces exercées à la m ê m e distance dans les d e u x a p p a r e i l s sont égales ou inégales. On simplifierait les mesures si l'on avait u n moyen de transporter un étalon do force électromotrice ou de capacité du h a u t en bas de la m o n t a g n e ; m a l h e u r e u s e m e n t ces étalons sont les m o i n s bien réalisés j u s q u ' à ce j o u r .

Les mêmes remarques s ' a p p l i q u e n t a u x lois de l'électromagnétisme, Aucune expérience faite jusqu'à ce j o u r ne permet d'affirmer qu'elles

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 2 1 1

soient indépendantes de l'orientation du système mobile par rapport à a verticale, et de l'intensité de la pesanteur-

Pourtant la relation que Weber, Thomson, Maxwell ont mise en évidence entre la constante de la loi de Coulomb, celle de la loi d'Am- père (reliées par la loi d'Ohm) et u n e vitesse, qui est numériquement identique à la vitesse de la lumière, semble indiquer que les phéno- mènes électriques sont indépendants de la présence de la Terre ou bien que la dépendance est la même pour les phénomènes électrostatiques et

Fig. 3.

électrodynamiques. Cette remarque conduit a rejeter la méthode qui au- rait pu paraître la plus sensible à employer pour la recherche de l'in- fluence de l'intensité delà pesanteur : la comparaison du coefficient d'in- duction d'une bobine sur elle-même, d'une capacité géométrique et d'une résistance. On n'en tirerait vraisemblablement, en haut comme en bas, que la vitesse de la lumière.

Si l'on réfléchit que l'intensité de la pesanteur ne varie que de un millième entre la base et le sommet du pic du Midi, on doit s'avbuer q u ' a u c u n moyen d'observation ne permet actuellement d'en découvrir l'influence sur les phénomènes électriques, si elle existe. Aussi n'est-ce pas au point de vue pratique que je me suis livré à cette discussion, mais seulement au point de vue logique; car, s'il importe d'expliquer tout ce que l'on observe, il n'importe pas moins de savoir où com- mence le désaccord observable entre l'explication et la réalité. On verra^

212 M. BRILLOUIN.

à la fin de ce Mémoire, comment certaines difficultés d'interprétation du résultat m'ont amené à cette discussion (n° 28).

9. S'il y a d'autres diélectriques que les gaz ou d'autres milieux magnétiques, les lois expérimentales sont très mal connues. On rend compte d'une partie des phénomènes présentés par ces corps, en sup- posant qu'ils s'électrisent ou s'aimantent sous l'influence de la force électrique ou magnétique dans la direction de cette force. On sait com- ment Thomson et Maxwell ont exposé cette théorie.

Si l'intensité d'aimantation était proportionnelle à la force magnéti- sante au même point, la constante seule de la loi d'Ampère serait changée; les actions dans un espace complètement rempli du nouveau milieu seraient proportionnelles aux actions dans l'air. Mais il n'en est pas ainsi; l'aimantation est une fonction de la force magnétisante qui croît d'abord lentement, puis très vite, et semble tendre vers un m a x i m u m . Cela est vrai non seulement pour le fer, le nickel, le cobalt, mais même, d'après des recherches récentes, pour des dissolutions de ces divers métaux; si l'on essayait d'évaluer directement les actions éledrodynamiques dans ces dissolutions, en faisant abstraction du milieu, on ne retrouverait plus rien des lois d'Ampère, ni pour la direction ni pour la distance. Enfin, plusieurs de ces corps sont sus- ceptibles d'acquérir une aimantation permanente sous l'influence des forces magnétiques, et l'hypothèse que l ' a i m a n t a t i o n actuelle dépende u n i q u e m e n t de la force magnétisante actuelle au même point est notoi- rement insuffisante. Je laisserai entièrement de côté tous les corps d o n t l'aimantation ne peut pas être traitée a p p r o x i m a t i v e m e n t comme rigide et indépendante du champ magnétique actuel, faute de savoir quelle loi expérimentale leur appliquer.

Les diélectriques présentent des difficultés analogues. Le phéno- mène connu sous le nom d'absorption électrique, la variation du pou- voir i n d u c l e u r spécifique avec la durée de charge; qui ne sont peut- être que deux aspects expérimentaux distincts d'une même propriété, s'ajoutent à la variation du pouvoir i n d u c t e u r spécifique en fonction de la force électrique, pour rendre provisoirement impossible rétablisse- m e n t de formules mathématiques correspondant aux phénomènes réels.

Il faut donc laisser de côté tous ces diélectriques.

ESSAI STO LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 213

Quant aux phénomènes q u i dépendent du mouvement des corps ou de variations d'intensité des courants, il est prudent de n'y point songer au début. Une structure du milieu universel, capable d e r e n d r e compte des effets statiques, donnera i m m é d i a t e m e n t les équations des mouve- ments lents du milieu. Si ces é q u a t i o n s fournissent l'explication des cou- ranis induits, ce sera u n e assez forte présomption en faveur de ce m i l i e u . S'il n'en est pas ainsi, on devra tirer des lois des courants i n d u i t s les variations que subissent les actions élastiques du milieu,, lors- qu'elles sont r a p i d e m e n t variables au lieu d'être constantes.

10. Gravitation. — La loi de Newton donne, pour les composantes de la force appliquée à u n point mobile m et p r o v e n a n t d e points m , , w^, ...

X •==. — mf^ m^ ^—^r— ^ • • • ^

en appelant y une constante qui dépend du choix des unités. On sait qu'on obtient les expressions les plus simples en i n t r o d u i s a n t le poten- tiel de la pesanteur II,

n=/2^,

qui d o n n e

„ àR ^ àïl ., <m

X == •4- m. — 5 l == -+- m — ? /=---+- m — ? àx à y os

et qui satisfait à la condition différentielle

r)

!! ^n cr-ïi . ,

^ + ^ + - ^ T — — - 4 . ^ -

en a p p e l a n t ? la densité de la matière au point (x, y, ^).

Le travail de la gravitation sur la masse w, amenée d ' u n e très grande distance à sa position actuelle, est

mil,

si l'on suppose la position i n i t i a l e assez éloignée de toutes les masses attirantes pour que le potentiel II y soit négligeable. L'énergie de cette masse, dans le voisinage des autres, est donc

c==E-+-m(no—n),

2 î 4 M. BRÏLLOUÎN.

IIo est une constante positive que la loi d'attraction newtonienne ne suffit pas à faire connaître, puisqu'elle doit être complétée pour les très petites distances, en t e n a n t compte de la compressibilité des corps.

11« Electrostatique. — La loi de Coulomb

_ i mm!

J = - K -71-

conduit à des résultats analogues aux précédents. Appelons V i e potentiel électrostatique;

p. la densité électrique au point Çx, y , z) ;

K u n coefficient constant dans l'air et les gaz, et qui, dans les autres milieux, correspond au pouvoir inducteur spécifique

— i ^i m

^Kl77

,./^v cyv rpv\

K ( ^ + ^ + ^ } = - - 4 ^

La force sur u n e masse ^ d x d y d z , rapportée à l ' u n i t é de volume,

est

Y ~ ^v Y <}v 7 àv À. == — p. ——y Ï === — U —— -, Z == — u. —— .

1 àa! ' à y l ()z

Si l'on prend pour zéro de potentiel le potentiel a une très grande distance des masses agissantes, le travail des forces électriques lorsque la densité p. au point (a?, y» s) s'accroît de <^ji, en prenant la masse dy. doc dy dz au lieu où V est nul, est

— V dp. dx dy dz^

quel que soit le chemin suivi.

Quand toute la distribution des masses est modifiée d'une quantité infiniment petite correspondant à un accroissement r f V d u potentiel, on a

, K fy-dV à^dV ydV\ K .

^—rA^^^^^)^^^^

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 215

et le travail total des forces électriques est

ciW ^-r- ^ f f fv Aa ( ^V ) dx dy dz

K F C CfàN àd\7 àV àdV àV àdy\ , , ,

• ^ = - " — ( — —— -4^" > j 1 \àx ôx ày à Y àz âz /1- T~ -— -+- -r- —i— ^r ^y dz

^K-rrv^^.

L'intégrale superficielle s'annule quand V et dV sont petits de l'onire de - à une grande distance r, et il reste

y^r K / f r / T / ^ V " /^v\2 A)v\n , , ,

clW -=:— —d / 1 —— -4- — 4- -r- \dx dy ch.

(^ J J J \\à'K ) \ày ) \às ) \

Pour produire la d i s t r i b u t i o n actuelle, il a donc fallu dépenser la quan- tité totale d'énergie E,

K rmv^'v fàvy /^'i/, , /

E -= -s- / f / — •+• -,-- -+" T~ â?l2> ^Y dz

^J J J \\à^} \ày ) \àz) J

ou encore

E .-: ^ K f f FV A^V ^ <r dz = ^ f f /VfJ. dx dy dz,

Ces deux expressions, m a t h é m a t i q u e m e n t équivalentes, correspon- d e n t à deux interprétations physiques distinctes des phénomènes électriques, si l'on regarde la distribution de l'énergie comme repré- sentée par r é i é m e n i intégré. D'après la première expression, l'énergie est répandue dans t o u t l'espace proportionnellement au carré de la force électrique; l'énergie électrique a son siège dans l'espace qui en- vironne les corps électrisés, et que l'on suppose occupé par un milieu matériel dont les actions élastiques p r o d u i r a i e n t les forces de Coulomb.

La seconde expression, au contraire, donne pour siège à l'énergie la masse électrique elle-même. En l'absence de raisons expérimentales décisives, il est permis d ' e x a m i n e r les conséquences de la première manière de voir; j ' a d m e t t r a i donc, pour expression de l'énergie de l'unité de v o l u m e , .

K -„ K f / ^ v y /àVY /^vyi

^^^^^[(^^(^^^

2 ï 6 . . M« BRILLOUIN.

en r e m a r q u a n t que cette expression n'est pas complète si la loi de Cou- lomb cesse d'être applicable aux très petites distances.

Pour un système de masses pesantes et compressibles, l'évaluation complète de l'énergie du m i l i e u est impossible; on peut dire seulement qu'elle est la somme de trois termes, u n positif dû à la compressibilité en faisant abstraction de la pesanteur, un de signe inconnu p r o v e n a n t à la fois de la compressibilité et de la pesanteur, et un troisième, né- gatif,

^^^rf^Y+^y^^Yi wiA^y \ à r } ^\à^j ]

qui ne dépend q u e de la pesanteur.

12. Électrodynamique. — Soient a, v, w les composantes de la d e n - sité du courant au point (;r, y,-s), suivant les trois axes coordonnés.

Je suppose que ces c o u r a n t s sont constants et qu'ils font partie d ' u n système de c o u r a n t s fermés; on p e u t alors représenter l'action d u système entier s u r un élérneni en p r e n a n t comme i n t e r m é d i a i r e le cimnp m a g n é t i q u e produit p a r les c o u r a n t s . Je définirai la force ma- gnétique a, p, y en chaque p o i n t p a r la formule é l é m e n t a i r e de Laplace

^/.ysînc») q u i d o n n e

, ày àft , àa ()y , ÔÇ> àoc.

4'7T U ~=- -f- — -T- -, 471: P == —— — — — ' - . , 4^^ ==; —— —— —— -,

à y àz àz à ^ ' àx à y

avec la condition qu'il n'y a pas de masse magnétique

^ + ^ - ^ 0 .

à.z' ày àz

Les forces exercées sur l ' u n i t é de v o l u m e parcouru par le courant sont alors

. X, == A-Oy — ^(3), , Yi — Â-((^a — uy), Z^. k(,u^ -- ^a) ;

k est une constante qui dépend des unilés et du milieu.

Les courants sont fermés ou indéfinis; car, lorsqu'on admet la loi électromagnétique do Laplace, les expressions de u, ç% w en a, ?, y

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 217 satisfont à la condition ( ^ )

ou àv ô^v

—— -+- -T- 4- ——— == 0.

<w <y Js

L/évaluation du travail n'est pas aussi simple que pour une masse élec- trique; la condition que les courants restent fermés oblige à faire croître la densité du courant, non pas dans un élément de volume seu- lement, mais à la fois dans un tube fermé ou indéfini, avec une loi dé- terminée de distribution de l'intensité. La répartition du travail total entre les divers éléments est nécessairement arbitraire. Enfin, on doit écrire que l'intensité du courant dans le t u b e reste constante pendant tout le mouvement; si la section varie, la densité du courant doit varier en raison inverse de la section. En tenant compte de ces deux condi- tions, on trouve que le travail nécessaire pour amener de Finûni dans le champ un courant fermé d'intensité très petite d\ a pour expression, comme on le voit, par une application facile du théorème de Stokes,

^y-i.^ï^.y'-

en posant

/• =: m _ àG A f i — ^F _ ÔR /. ^ÔG —àv

1 a ày as? ' ' àz àx9 ^ à^' ày?

et

^F àG àR ^ ^

àx ày as '

ce qui donne

(\Ttku'==.—AaF, (\'Kkv •==—AgG, ^.TC/W^-—A^EÏ.

Ce travail est la différentielle d'une fonction déterminée uniquement par la distribution des forces magnétiques dans le champ et la posi- tion qu'y occupe le circuit fermé. La production du champ total (¹) Si la loi de Laplace subsistait lorsque les courants sont variables, aucune accumu- lation d'électricité ne pourrait se produire sur un conducteur. C°est cette contradiction qui est F origine des diverses hypothèses complémentaires de plusieurs physiciens éminents anglais et allemands.

Ânn. de l'Êc. Normale. 3" Série. Tome IV. — JUILLET 1887. 28

21 8 M. B R Ï L L O U I N . exigera donc une dépense d'énergie

— / / / ( F " -+- G-P ~i~ H (ï') clx dy dz •== — 1 1 / ( a2 + p2 4- y2} d^ dy dz

c o r r e s p o n d a n t à la d i s p o s i t i o n des courants les u n s par r a p p o r t a u x a u t r e s , quels q u e soient les c o n d u c t e u r s dans lesquels ils c i r c u l e n t . L'entrelien de ces c o u r a n t s d a n s des c o n d u c t e u r s de n a t u r e d é t e r m i n é e exige une dépense de puissance en r e l a t i o n avec la n a t u r e des c o n d u c - teurs; mais, si l'on a soin de m a i n t e n i r l ' i n t e n s i t é i n v a r i a b l e , cette dé- pense ne j o u e a u c u n rôle d i r e c t dans les a c t i o n s à distance d o n t je v e u x s e u l e m e n t m'occuper. Ici, c o m m e au n° 11, deux formes de Fénergie correspondent a u x d e u x c o n c e p t i o n s principales du mode d'action m u - tuelle, avec cette différence, p o u r t a n t , que la partie de l'énergie rela- tive a un élément de c o u r a n t n ' a p p a r t i e n t à celui-ci que s'il fait partie d'un c o u r a n t d'intensité u n i f o r m e , f e r m é ou i n d é f i n i , d o n t la f o r m e est d ' a i l l e u r s a r b i t r a i r e . A d o p t a n t la seconde expression, j ' e x a m i n e r a i ses c o n s é q u e n c e s pour la n a t u r e d u m i l i e u i n t e r p o s é .

13. En résumé, l ' e x p é r i e n c e n o u s f o u r n i t d e u x r é s u l t a t s : l ' u n , d i - r e c t , r e l a t i f a u x forces q u i agissent sur un é l é m e n t de v o l u m e ; Faulre, r é s u l t a n t d ' u n e i n t e r p r é l a t i o n , r e l a t i f à l'énergie de l'unité de v o l u m e . Les composantes de la force sur l ' u n i t é de v o l u m e sont les sommes des t e r m e s p-j-, —~ [^-r- -+- k(v^ — <ï'P) et de termes c o m p l é m e n t a i r e s i n c o n n u s l o r s q u e les masses agissantes sont e x t r ê m e m e n t voisines.

L'énergie t o t a l e de l ' u n i t é de v o l u m e est la s o m m e des termes -^/^"-^s^^^^^^P^-/2)

et d'un terme considérable qui dépend principalement de l'état de con- densation de la matière pesante.

Mais, si la n a t u r e de ces diverses actions n'est pas e n t i è r e m e n t dis- t i n c t e , il p e u t se faire q u ' o n n'ait pas là les expressions complètes des forces et de l'énergie, et qu'il y m a n q u e des termes correspondant aux a c t i o n s mutuelles de la matière pesante et des corps électrisés, des corps électrisés et des courants, etc. Parmi les n o m b r e u s e s h y p o t h è s e s

ESSAI SUR LES LOIS D ÉLASTICITÉ D UN MILIEU, ETC. 219

qu'on peut faire s u r ce sujet, je me bornerai à signaler la plus remar- q u a b l e : c'est celle qui donne à l'énergie la forme suivante

ï ^ /àV / - ^ . rr i àW\ /àV ^ , ,j- i rfn\

o— 7, 3— v/K ± a V A - 4- —= -.-- ) ( — V ^ ±^V^' — — = — - ) 87r -A«ri \ ^.z* • ' i / f à.r j \ à,r ' ' ï / / ' àx I

{x',y,z} v »'•' / ' - v- '

et aux forces la forme

„ àîl àV , . , . [ " /J / — / àY ^V\1 X = ^ ^ ^ ^ ^ + / , ( , y - - . ^ ) = b ^ ^ ^ ^ 4 - V ^ A - ^ ^ - n ^

les signes supérieurs et inférieurs se c o r r e s p o n d a n t .

14. Considérons un m i l i e u élasiique dont les actions langentielles sont égales deux à d e u x , incapable, par c o n s é q u e n i , de résister à un couple proportionnel à Félément de v o l u m e et de rendre compte des actions magnétiques élémentaires, ni même des actions électrodyna- iniques, si l'hypothèse de Helmhoitz est exacte (1)- C'est le seul cas dont il sera question dans le présent M é m o i r e . Maxwell a montré (El., t. 1, n° 107; t. Il, n° i41. — Phil. Mag^ 1862-62), et il est facile de con- trôler que des actions élastiques

-•^"-'(ë)': -â^-'œ')': -â'^.--«->.

1 — ^"7:7 rh⁷ Ib ^ ^r. ày à^ ^ 4"ir ^{r 7}

p r o d u i s e n t sur l ' é l é m e n t de v o l u m e les forces observées. Il suffît, pour s'en assurer, de former les expressions

^^àT^^àT,^

à.T ày àz

en t e n a n t compte de la définition différentielle d e p , [j., u, v, ^\

(1) Cette hypothèse, d'ailleurs, attribuant à chaque élément de courant sa part d'énergie indépendamment du reste du courant fermé, paraît plutôt conforme à la conception d'ac- tions directes à distance qu'à celle de transmission par un milieu.

220 M. BRILLOUÎN.

Considérons, en particulier, un quelconque des trois systèmes de forces élastiques dont le système complet n'est que la superposition, et rapportons-le aux lignes de force correspondantes. Les quadriques des forces élastiques sont de révolution autour des lignes de force; sur tout plan méridien, la force élastique est pour la pesanteur une traction AIÏI „,, , . .,, . f K - A i V A^+y+r2)"] „.

—-? pour 1 électricité une pression --—-, ———„*-——^l— ; s u r l e q u a - teur, c'est une force égale en grandeur, pression pour la pesanteur, traction pour l'électricité.

Si, en électricité, les lignes de force tendent à se raccourcir et à s'élargir, selon le langage de Faraday, c'est l'inverse en pesanteur.

On pourrait, d'après cela, penser que les déformations du milieu auront la même symétrie et que, en présence d'un seul système de forces, les ellipsoïdes de déformation seront de révolution autour des lignes de force. Après plusieurs tentatives infructueuses, j'ai dû recon- naître qu'il est impossible de trouver une déformation permanente d'un milieu continu, douée de cette symétrie et satisfaisant aux condi- tions du problème (n° 25).

i5. Avant d'aller plus loin, j'ai v o u l u m'assurer que les expressions de Maxwell, pour les forces élastiques, sont les p l u s générales qui puis- sent rendre compte des actions à distance de Coulomb et d'Ampère.

Cela est facile : on obtiendra, en effet, toutes les forces élastiques admissibles en a j o u t a n t aux expressions de Maxwell d'autres forces élastiques N\ T, qui laissent le milieu en équilibre, car elles doivent satisfaire séparément aux équations

<W\ àT, àT, _- — [ — . —-—— _j— —^— —— Q^

ôx oy ôz

L'hypothèse fondamentale est que les forces élastiques ne dépendent pas de p, [x, u, ^, w, mais seulement des forces -y-y • • • ? v. Écrivons donc que les N', T sont des fonctions implicites de se, y, z, qui ne dépendent directement que de -7-7? y-^ • • • ? y-? a, (î, y. Ordonnons les trois équations en tenant compte de la relation différentielle en

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 221

a, ?, -y, le résultât devra être identiquement nul. On trouve ainsi, pour satisfaire à la première équation, que

^ ^ i i àîï àv p.

N^ ne peut dépendre que de —y -.—? p, y;

cw </<^"

^ àïl ON . T. ^î) » » -r~î -T^(7<^ C/^ ^a' Pî

^n <)v

T. »> » <> —? T-Î a? y-

^./ ^j avec les conditions

- àW, __ àT, __ àT, - dN, _ ^3 __ ^T^ . ,/àîÏ\ '~ ^àn\ """ ,/àÏl\' ,fà^\ ~~~ .{àN\ .fàVY

< ) { — ) à ( — } à -3- ) à ( — - ) à -y- ^ -r

\ÀZ'/ V)yy \J3/ \ ^ y \()y ) \ à s } à^\ _ àT, ^ _ cm àT^ àT^

à^ ~ ~àa ^î ày ~~ àcc ' ày à^ :o.

Les deux autres équations imposent de nouvelles conditions suffisam- ment indiquées par la symétrie :

TI ne peut dépendre que de a, Ta » » » j3, TS ») » )) y.

11 en résulte d'abord que les N' se réduisent à des constantes et, par la cinquième condition, qu'il en est de même des T.

Ainsi les expressions les plus générales sont celles de Maxwell,aug- mentées chacune d'une constante arbitraire qui correspond à une dé- formation homogène du milieu produite par des causes extérieures

quelconques.

Pour ne pas compliquer inutilement les premières recherches, je m'occuperai d'abord du cas où un seul système de forces entièrement arbitraires, a, ^ y, existe dans le milieu, sans imposer aucune restric- tion particulière. On a alors

^^—^(P^y^a^+NY, T ^ ^ p y + Ï , , o^^-i-^+y^

OTT 471

C =-h g^ (a'+(3^ y') + C'= g^ .p2-^ &'.

Je chercherai quelles déformations continues sont compatibles avec les

222 M. BRÏLLOUIN.

N^ 1\, sans tenir compte de l'expression de l'énergie; puis quelles limites cette expression de l'énergie impose. E n f i n , je terminerai en examinant s'il est possible de rendre compte, au moyen d'un seul mi- lieu, de deux ou plusieurs des systèmes de forces newtoniennes et élec- triques.

CHAPITRE IL

RECHERCHE DES LOIS D'ÉLASTICITÉ DU MILIEU.

16. Propositions générâtes. — Dans ce Chapitre, je supposerai le milieu homogène et isotrope, c o n f o r m é m e n t aux lois généralement admises p o u r les actions électriques entre des corps plongés dans un m i l i e u m a t é r i e l , lui-même homogène et isotrope, et je vais chercher par quelles relations les forces élastiques doivent être liées aux défor- m a t i o n s du milieu pour transmettre des actions en raison inverse du carré de la distance. On pourrait être tenté d ' a t t r i b u e r au milieu in- connu u n e p a r t i e des propriétés des corps élastiques à actions propor- tionnelles a u x d é f o r m a t i o n s ; je vais montrer d'abord que cela n'est pas permis en général.

i° Le milieu inconnu nest pas un milieu élastique ordinaire à actions élastiques proportionnelles aux déformations.

C'est c è d e n t on peut s'assurer de bien des manières : j'en indiquerai plusieurs à cause de l'importance de la proposition.

A. Les six forces élastiques sont définies en fonction des trois com- posantes a, p, y de la force électrique. Éliminons a, ?, -y; il reste trois relations finies entre les six forces élastiques. L'une d'elles est

(N,+ N3 - N'i - N3 ) (NI-+- Ns- •N\ ~ N 2 ) - (Ïi- T,)² = o.

Introduisons les expressions de Lamé pour les forces élastiques des

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D ' U N MILIEU, ETC. 223

corps isotropes; il vient

l(l^^e•

+p.(l+^el)^-^^(ï),ï),--^Gî:) - 2 (2 Ni + Na + N, ) a + ^) e + 2 ^ ( N, + N3 ) i),-

4 - 2 ^ ( N , 4 - N 3 ) D , + 2 ^ T , ( ^ + ( N , 4 - N , ) ( N , + Nf, ) - T ,2= = - - o . Cette relation doit êire satisfaite,.quelle que soit la direction des axes, ce qui ne peut avoir lieu que si les expressions de Lamé p o u r les forces élastiques sont constamment et i d e n t i q u e m e n t n u l l e s ; car on doit avoir

T ^ = T ; = T 3 = = ô , N ^ = = N , = N 3 = 0 . y. = o, (À + pi) (D^-h ]:),-+ D.) =o.

B. L'énergie de d é f o r m a t i o n des milieux ordinaires est une fonction du second degré des forces élastiques

A ( N l 4 - N 2 - + - N 3 )â+ B ( N l N 2 ~ ^ N l N 3 ^ - N 2 N 3 - T ^ - T j - T § ) . Celle du m i l i e u inconnu est, au contraire, une fonction linéaire

A ( N i 4-N2 4-N3).

Ces remarques paraissent avoir échappé à M. Vaschy (Comptes rendus.

1886-1887).

C. Les forces élastiques des corps ordinaires satisfont à six équa- tions aux dérivées partielles du second ordre, faciles à former. Les six déformations

.. au ^ à ^ à^

U^ =z —— 5 • * . ï (jr^ •==: -— -4- ——- 5 ...

àx - à^ ôy

sont des dérivées des trois déplacements u, v, (P. En éliminant ces trois déplacements, on trouve

/ • ^-P^ „ à^Dy _ à^ • . . ^D^ _ _^_ / ôGy àG^ (W^\

( ï ) ày^ àx^ ~~ à ^ c à y ' ^ à y à s ^ àx\ àx ~^ à y ^ à^ ) 5

et deux couples d'équations symétriques.

D ' a u t r e part, les m i l i e u x isotropes ordinaires d o n n e n t 2 ^ D^, = N i — y^Tj1( N l + N2 + N3 )T ' <1 ^x ^ 2 Tl »

224 M. BRÏLLOUSN.

et l e s N ^ , T\ des milieux ordinaires doivent satisfaire aux six équa- tions différentielles

^Ni ^N2 À / <)2 ^ \ , , - ,, ,-, crr»

———-+- —— — ?———— ( 3 — + — i Ni 4 - N 3 + ^ 3 ) = 2-r-T-ày' àx^ Â-h2^\(te2 <y/ 1 • - àf àxày⁵

^Ni À à ,.r ., ,,, c) / f)Ti ()T, ^T3\

^

^^î^

^(~^

^

^)^

II n'y a qu'à substituer dans ces six équations les expressions de No ..., Ta en a, {3, y pour reconnaître qu'elles ne sont satisfaites, ni quand a, ?, y est entièrement arbitraire, ni quand il est soumis à la condition restrictive électromagnétique

^ + ^ + ^ ^ 0 ox ày (h

ou à celles de l'électrostatique

àoc _ à^ àa _ ày r)(3 _ ày ày Qx os <te as ày

Le résultât de la substitution est f fà^ à^\ fô(çy /<îy\ÏÏ

49(^^^)^(,i)+(^)j

= ( ^ ^ r ^ + p ^ ^ . ^ ^ p ^ ^ ( ^

L <b' vta:? ^^j ' ^ ( î y \ày} \àoc) àx ày ày àx \ et

/ (j2? <?9 ^\

l\và y à z+à y à z )

,. . [ à^ <?a <)a .^y ()p <îy ^P ^y . ^(3

=:(^4-2H) a-.—^- + — 3~ •— 0-r^ —a-r1 1-^'- —•y-—^ + a ^—L- 4- a .—l— ' V <)y^ ()j (Î5 r^2 àx àx ' àx^ àxày àxà^

^a ^a da ^y r)a ^p (;)y ^a ^P ^'\

1 àx ày à se' as àx ày àx àz àx à y àx as )

Ces six identités sont incompatibles avec des valeurs de a, P, y, qui ne se réduisent pas à de simples constantes.

17. 2° Plus généralement, il est impossible de trouver une expression directe des déformations D^., Dy, D^, G^a, Gy, Gz en fonction de la force au même point a, [î, y.

ESSAI SUR LES LOIS D'ÉLASTICITÉ D'UN MILIEU, ETC. 22$

On s'en assure en écrivant que les D, G/dans les équations (i), ne dépendent de <r, y, ^ q u e par l'intermédiaire de la force a, ?, y. On trouve ainsi

o = ^ ^ 4 - ^D£ ^ @ _ . _ ^ ^ y àfilâl^ ^r ^(3 ^r ^y

^a <y ^ ^,2 -^ ^y ^ -h ^ ^ + ^- ^i + ^7- j^

^f ^Y^ ^D^ /^PV ^y /^

à^ \ày)^ à^ [ày)~

^V+ ^ ^ ^ Y ^ Y .

o

^

.

^.^ y^y

^

' ' àaà^ ày à y1' " ' ^ 2 àccà^ àx Jx 4" • • •

^ ôî(x _ _ ^2C^ ^a àa_ __ à^G^ fàa à^ à^. à^- ây. à^ à y ' ' " ^a2 àx àj- ' " ~ ~ ào^ \àx 'ày + 'ày ~àï',

Les équations du second type ne sont pas moins compliquées. En o r d o n n a n t et écrivant que a, (î, y sont des fonctions arbitraires de ;r, .y, ^ et que, par conséquent, il n'y a aucune relation finie entre leurs dérivées, sauf celles du magnétisme ou de l'électricité, il f a u t que les coefficients de toutes ces dérivées soient nuls. On trouve ainsi q u e toutes les dérivées de D^, ..., G^ en a, (î, y doivent être nulles isolé- m e n t et que, par suite, la déformation est i n d é p e n d a n t e du c h a m p de force.

J'insisterai un peu pour éviter toute confusion : il est bien évident que, dans chaque cas particulier, D.^, ..,, G^ sont des fonctions de .r, ,r, z, qu'il en est de même de a, (3, y et qu'en général on pourra éli- m i n e r x, y , z entre ces équations et en tirer des expressions finies deD^, ..., G^ en a, (3, y. Mais ces expressions n'auront de valeur que pour la distribution de force particulière a, (3, y qui a servi à les éta- blir; ce sont celles qui résulteraient de l'intégration des six équations (elles que (-2) après substitution, à la place des ^f-^ - • • ? de leurs expres- sions particulières en a, (3, y. Mais ce ne sont pas des expressions ca- ractéristiques du milieu, et exprimant la loi de déformation en fonc- tion de la force. Ce que je viens de démontrer, c'est qu'il est impossible de supposer que les six déformations soient entièrement déterminées par la force au même point.

Ainsi la déformation locale n'est pas entièrement déterminée parles six composantes de la force élastique. La connaissance des forces élastiques n'équivaut pas à celle des déformations.

Ann. <le l'Éc. Normale. 3^e Série. Tome IV. — JL'ILLET 1887. SSQ

220 M. BRILLOUIN.

Celte propriété de p o u v o i r r e m o n t e r des forces élastiques a u x dé- formations sans intégration est particulière a u x m i l i e u x solides ordi- naires, à déformations proportionnelles a u x forces : elle n'est pas générale.

Le propriété générale, pour tous les milieux à élasticité parfaite, sans frottement i n t e r n e , c'est la propriété inverse : les forces élastiques sont des fonctions entièrement déterminées des déformations locales ac- tuelles. Mais l'exemple des fluides ( l i q u i d e s ou gaz) m o n t r e bien q u e les forces élastiques peuvent ne dépendre que d'une partie des déforma- tions; par conséquent, une i n f i n i t é de d é f o r m a t i o n s p e u v e n t produire les mêmes forces élastiques.

Pour achever de déterminer la d é f o r m a t i o n , il faut tenir compte des conditions de continuité et c o n n a î t r e , par conséquent, la distribution des forces élastiques. Des intégrations sont nécessaires.

Les déplacements c o n t i n u s u, v, w sont entièrement déterminés par les six é q u a t i o n s (i), n° 16, et trois relations finies caractéristiques du milieu entre les six d é f o r m a t i o n s D^, ..., Qz et les forces a, (3, y.

Dans tout ce q u i précède f n ° 17 et é q u a t i o n (i), n° 16"]f les dé- placements u, {',- w et leurs dérivées, que j'ai appelées les déformations D^, ..,, G.Î, ne sont astreintes à a u c u n e l i m i t a t i o n de g r a n d e u r .

18. Recherche delà loi d'élasticité. — Supposons m a i n t e n a n t q u e les d é f o r m a t i o n s sont très petites; u n accroissement . i n f i n i m e n t petit rfDa;, ..., dQs de la déformation exige u n t r a v a i l

Ni ^D^-+- N2 dDy-^^^dD^T, dG^^~ Ta clGy-+- Ta dG^

et N ^ , . . . ï T g sont les dérivées partielles d ' u n e m ê m e fonction par r a p - port àD^, ..., Qz. Comme nous connaissons les expressions des N, ..., T en a, j3, y, nous tirerons de là quinze équations du premier ordre entre les dérivées des a, (3, y par rapport a u x D^,, .... Gz ;

_^Ni _ ^N3 oT^ _ àT^

àDy~~~' diV ""' . ôCjy~~àG^

JWi __ àTi ^N, _ àT^

àG^ """" âD^ àGy """ àD^

à^ ____ (^

àG^ ~~ â [ ) yî

^'ï-îK^^'igsigipiga^^iœ^

ESSAI SUR LES LOIS D ÉLASTICITÉ D UN MILIEU, ETC. 227

Ces q u i n z e équations expriment les conditions d'existence de l'énergie, sans aucune hypothèse sur sa forme.

Pour rendre l'intégration abordable, il est commode de tenir compte à l'avance des remarques suivantes :

Le m i l i e u , avant sa déformation, est isotrope : l'énergie, aussi bien que la grandeur de la force y, ne peuvent dépendre que de la grandeur de la déformation et non de son o r i e n t a t i o n . Elles ne dé- pendent pas des six variables D^, . . , , Gs, mais seulement des trois invariants de l'ellipsoïde de déformation

r ^ = D ^ 4 - D y 4 - I ) ^

( 3 ) l,^=D^-^Gl.+D^D,-îGjH-D^I)y-tG!,

( 1.3= D^D,- iI^G-â - ^Gî - -H),G| -h- ÏG^G-yG^

Les dilatations principales sont les racines de l'équation ( 4 ) D3- I l D2- + - L D — Ï 3 = = o . ! •

J'écris i m m é d i a t e m e n t deux identités dont j ' a u r a i besoin p l u s loin / D^(D^Dy-~-iGj)+D,(D^D,-iGp-~iG^G^G.-hiD^Gâ

( 5 ) . 5 =IiI.~l3~l2l),,-Ii(D^D.--iG^

( (D^Ï^-îGnCD^D.-i-G^-KtG^G^-D^G^^^laD^.

Puisque l'énergie de la déformation ô ne peut dépendre que de I , , L, la, les composantes des forces élastiques sont

i

- S. = ^

"• - ^ ï

1^- ^ ^ ( '^îi—^^^

--*

''

--^-

19. Égalons ces valeurs à celles qu'exigent les actions newto- niennes, il vient

^+(I.-D.)^+(D,D,-iG.Î.)^=^(.a--y-)+N., - iG.^ + (iG^- iD.G.) ^ = ^ ^ 4- ï,

Ces six relations entre les trois composantes a, p, y de la force ne

228 ^- BRILLOUIN.

sauraient être distinctes; les dérivées de l'énergie doivent satisfaire à trois relations qui résultent de F é l i m i n a î i o n des composantes de la force a, 3, y. Pour les obtenir sous la forme la plus simple, r e m a r - quons q u e l'on a, en formant N< + Na-h- N3,

^ -à^

^^-^^-^^^

et, par suite, au moyen d e N , ,

/f „ àC T àC y àc , XT/ , -v/ r. àC ,,.. ,. i p -•) \ ^

^ , ^ _ 3 ^ - I , ^ - I , ^ + N , + N , - D , ^ + ( I ) , . U . - i G , ) ^ .

Posons, pour simplifier l'écriture,

dC _ , à^_ _ ^ ^

^Tt ~ 1 àîî ~~ - aïs

i i/k-/ •v U^ •»• (./O •«•r/ •>LT/ •^T/

A := —2^ - — I l 3 ^ —I2 ; i r+ Nî -)-N3 -(-Nl '

( 7 ' )

B — ^ , r - ^ .

B- aï,' "-aï,

On obtient les trois relations indépendantes de a, (3, y en égalant l'expression de ^y2 tirée de N2, Ng et celle tirée de 1,

[A+ BJ)y+ C(D.»D,-iG^) -N'J [A + Bl)=+ C(I).,By- -.|-G|) - N',]

rB /G^G, I)..G=\ -|^

== — (ïa; + ——,— — ———— l-i — J- i •

L2 \ ^ 2 / -I

En effectuant les multiplications et le carré, on trouve

A2 + AB (I), + Dy) + AG(I)^Ds- i G^ + î)^ï)y - { Gî) + B-, (D,Dy- { G^) . + BC[Dy(D.,Dy- tG?) + D,(D.,B,- ^G;²)- G^G^G,- i-D^G^)]

+C2[(lD.,By- iG!) (l)..B.-iG^) - aG^-iD^G;,)2] + N, N, - A ( N, + N, ) - B ( N, D, + N, Dy - ï', G.,) - T'^

- C [N, (I)^Dy - i. G? ) + N3 (D.,D^ - y G^ ) - T'i (^ Gy G. - IUÎ.,)] == o,

et, toutes réductions faites, au moyen des équations (5),

\î+ ABIi + ACI^-l- BC(Ij2— 1,) + N',N'3 — T'i2 — A ( N , + N3) 4- D.|;(— AB — ÎCÎs.+ C2!,) — ÎNaBBy— N'gBDa+ T, BG., 4 - ( D y D s - i G â ) ( — A C + B2— B C I l ) '

- €[N'2 (D.,Dy- iG| ) -h N3 (DA- ^G^) - T'i(ï GyG^- D^G.,)] = o.