I NOTION DE VECTEUR
1 PARALLÉLOGRAMME DÉFINITION
Un quadrilatèreABC Dest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu
||
||
|
|
A
B
C
D
O A
B
D C O
parallélogramme aplati
PROPRIÉTÉS
— Un quadrilatèreABC Dest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC).
— Un quadrilatère ABC D est un parallélogramme si, et seulement si les diagonales [AC] et [B D] ont le même milieu.
— Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.
REMARQUE
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme.
A
B
D
C
Dans le quadrilatère ABC D nous avons (AB)//(C D) et AB = C D, pourtant ABC D n’est pas un parallélogramme.
2 SENS ET DIRECTION
A
B
— Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu’elles ont même direction.
— Une direction étant indiquée par la donnée d’une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette
3 TRANSLATION
A M
N
P Q
F1
B R
S
T U
F2
Le glissement qui permet d’obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par trois caractères :
— ladirectiondu glissement est donnée par la droite (AB);
— lesensdu glissement est celui deAversB;
— ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment [AB].
On dit que la figureF2est l’image de la figureF1par la translation de vecteur
# »
AB.REMARQUE
Les vecteurN S
# »
etP T# »
sont aussi des vecteurs de la translation de vecteurAB, on dit qu’ils sont égaux. On# »
note alors :# »
AB=
# »
N S=# »
P T
DÉFINITION
SoientAetBdeux points du plan.
La translation qui transformeAenBassocie à tout pointCdu plan, l’unique pointDtel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteurAB.
# »
Cas général
||
||
|
|
A
C
D
B
O
AB DCest un parallélogramme
Cas particuler oùA,BetCsont alignés
A
B
C
D
O
AB DCest un parallélogramme aplati
II VECTEURS
Un couple (A,B) de points du plan détermine un vecteur.Aest l’origine du vecteur etBest son extrémité.
On le note
# »
AB.1 ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS
Deux vecteurs sont égaux s’ils sont associés à la même translation.
DÉFINITION
A
B
C
D
A,B,C etDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :
— AB
# »
=C D# »
si, et seulement si,Dest l’image du pointCpar la translation de vecteurAB.# »
— AB
# »
=C D# »
si, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.— AB
# »
=C D# »
si, et seulement si,AB DC est un parallélogramme (Attention à l’inversion des points!).EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES
ABC DetAB E F sont deux parallélogrammes. Montrons queDC E F est un parallélogramme.
A
B
C D
E F
— ABC Dest un parallélogramme alors,
# »
AB=DC.# »
— AB E F est un parallélogramme alors,
# »
AB=F E.# »
Par conséquent,DC
# »
=F E# »
donc le quadrilatèreDC E Fest un parallélogramme.2 REPRÉSENTATION D’UN VECTEUR
Devant des égalités du type
# »
AB = DC# »
=F E# »
= · · ·, on dit que les vecteurs AB,# »
DC# »
, F E, . . . sont des# »
représentants du vecteur#»
u :#»
u =# »
AB=DC# »
=F E# »
= · · · Le vecteur# »
A A=
# »
B B= · · · est appelé le vecteur nul, noté
#»
0 .Soit O un point du plan. Pour tout vecteur
#»
u, il existe un un pointMunique tel que#»
u=OM# »
.#»u
# »OM
M
Si
#»
u n’est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»
u est caractérisé par :— Sa direction : c’est celle de la droite (OM).
— Son sens : c’est le sens deOversM.
— Sa norme notée°
°
#»
u°°: c’est la distanceOM. III ADDITION VECTORIELLE1 SOMME DE DEUX VECTEURS
Soit trois pointsA,BetC.
Si on applique la translation de vecteurAB
# »
suivie de la translation de vecteurBC, on obtient la translation# »
de vecteurAC# »
.Le vecteur
# »
ACest la somme des vecteurs
# »
ABet# »
BC
# »
AC=# »
AB+
# »
BCA
B
C
RELATION DECHASLES
Quels que soient les pointsA,BetCon a :
# »
AB+# »
BC=
# »
ACRÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME
La somme
# »
O A+# »
OBest le vecteur
# »
OMtel queO AM B est un parallélogramme.
CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS
Relation de Chasles
#»
u#»
v#»
u+#»
vA
B
C
Règle du parallélogramme
#»
u#»
v#»
u+#»
vO
A B
M
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Quels que soient les vecteurs
#»
u,#»
v etw#»
#»
u+#»
v =#»
v+#»
u;#»
u+#»
0 =#»
0+#»
u =#»
u; ¡#»
u+#»
v¢+w#»
=#»
u+¡#»
u+w#»
¢2 DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS OPPOSÉ D’UN VECTEUR
L’opposé d’un vecteur
#»
u est le vecteur noté¡−
#»
u¢tel que#»
u+¡−#»
u¢=#»
0 .#»
u−
#»
uCONSÉQUENCE
L’opposé du vecteur
# »
ABest le vecteurB A# »
:−AB# »
=B A# »
❊ PREUVE
D’après la relation de Chasles :
# »
AB+# »
B A=
# »
A A=#»
0DÉFINITION
Étant donné deux vecteurs
#»
u et#»
v la différence#»
u−#»
v est le vecteur#»
u+¡−#»
v¢.#»
u#»
v−
#»
vu
#»
−v#»
u
#»
−v#»
A
C B
M
N
Quels que soient les pointsA,BetC,BC
# »
=AC# »
−# »
AB IV MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL1 PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN RÉELk
#»
u−2 3
#»
u5 4
#»
uDÉFINITION
Soit
#»
u un vecteur non nul (#»
u 6=#»
0 ) etkun réel non nul (k6=0).Le produit du vecteur
#»
u par le réelk, noték#»
u est le vecteur caractérisé par :— sa direction :k
#»
u a la même direction que le vecteur#»
u;Cas oùk>0 Cas oùk<0
# »
OM=k#»
u# »
O A=#»
uO
A
M
# »
OM=k#»
u# »
O A=#»
uO
A
M
— son sens : le vecteurk
#»
u a le même sens que le vecteur#»
u;— sa norme : la norme du vecteurk
#»
uest égale au produit de la norme du vecteur#»
u par le réelk°°k
#»
u°°=k×°°#»
u°°— son sens : le vecteurk
#»
u est de sens opposé au sens du vecteur#»
u;— sa norme : la norme du vecteurk
#»
u est égale au produit de la norme du vecteur#»
u par l’opposé du réelk°°k
#»
u°°= −k×°°#»
u°°Ce qui s’écrit de façon générale°
°k
#»
u°°= |k| ×°°#»
u°°et se lit :« la norme du vecteurk
#»
u est égale au produit de la norme du vecteur#»
u par la valeur absolue du réelk»Lorsque
#»
u =#»
0 ouk =0, on convient que k#»
u =#»
0 : ainsi, l’égaliték#»
u =#»
0 ne peut se produire que lorsque#»
u =#»
0 ouk=0.REMARQUE
Soit A et B deux points distincts, et k un réel donné. Il existe un unique pointM défini par la relation
# »
AM=k# »
AB:
— Mest un point de la droite (AB)
— Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d’origineA M∈[Ax)
kÉ0
M∈[AB]
0ÉkÉ1
M∈[B y) kÊ1
x A B y
2 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Pour tous vecteurs
#»
u et#»
v et pour tous réelsketk′:k¡
#»
u+#»
v¢=k#»
u+k#»
v; (k+k′)#»
u =k#»
u+k′#»
u; k#»
u =#»
0 ⇐⇒k=0 ou#»
u=#»
03 VECTEURS COLINÉAIRES DÉFINITION
Deux vecteurs
#»
u et#»
v sont dits colinéaires s’il existe un réelktel que#»
u=k#»
v ou#»
v =k#»
uREMARQUES
— Comme
#»
0 =0#»
u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.— Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES AVEC LES MILIEUX
MILIEU D’UN SEGMENT
Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieu I du segment [AB] :
1)
# »
AI=# »
I B ou 2)
# »
I A+# »
I B=
#»
0 ou 3)# »
AB=2
# »
AI. 4) Pour tout pointMdu plan# »
M A+
# »
M B=2# »
M I.
❊ DÉMONSTRATION
1. L’égalité
# »
AI=I B# »
caractérise le milieuI du segment [AB] (conséquence de la définition de l’égalité de deux vecteurs).2. Imilieu du segment [AB]⇐⇒
# »
AI=I B# »
⇐⇒ I A# »
= −I B# »
⇐⇒I A# »
+I B# »
=#»
0 3. Imilieu du segment [AB]⇐⇒# »
AI=I B# »
⇐⇒2AI# »
=# »
AI+I B# »
⇐⇒ 2# »
AI=# »
AB 4. SiI est le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM# »
M A+M B
# »
=³M I# »
+I A# »
´+³M I# »
+I B# »
´=2M I# »
+I A# »
+I B# »
| {z }
=#»0
=2M I
# »
Réciproquement, la propriétéM A
# »
+M B# »
=2M I# »
étant vraie pour tout point M on peut l’appliquer au pointI. Soit :I A
# »
+# »
I B=2#»
I I=
#»
0 Ce qui prouve queI est le milieu du segment [AB]THÉORÈME
SoitABCun triangle,I etJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alorsBC
# »
=2I J#»
❊ DÉMONSTRATION
# »
BC=# »
B A+
# »
AC=2# »
I A+2
# »
A J=2³
# »
I A+# »
A J´
=2
#»
I J
PARALLÉLISME ET ALIGNEMENT
— Deux droites (AB) et (C D) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs
# »
ABet# »
C Dsont colinéaires.
— Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs
# »
ABet# »
AC sont colinéaires.
❊ DÉMONSTRATION
— Si (AB)//(C D) alors, les vecteursAB
# »
etC D# »
ont la même direction donc ils sont colinéaires.A
B
D
C
Réciproquement si les vecteurs
# »
AB et C D# »
sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc (AB)//(C D)—
# »
AB et# »
AC sont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
EXEMPLES
EXEMPLE1 :CONSTRUCTION DE POINTS
La méthode pour construire un pointMdéfini par une égalité vectorielle est d’obtenir une relation du type :
# »
OM =#»
u z }| {origine connue
z }| {
vecteur connu
Soit trois points non alignés A, B et C . Construire le point M défini parM A
# »
−3M B# »
=# »
AC— Choisissons par exempleAcomme «origine connue»
# »
M A−3M B
# »
=AC# »
⇐⇒M A# »
−3³M A# »
+AB# »
´=AC# »
⇐⇒M A
# »
−3M A# »
−3# »
AB=AC# »
⇐⇒ −2M A
# »
=3AB# »
+AC# »
⇐⇒
# »
M A= −32
# »
AB−12
# »
AC⇐⇒ AM
# »
=3 2# »
AB+12
# »
AC— Nous pouvons construire le pointM:
3 2
# »AB 1# » 2
AC
1# » 2 AC
# »AM
A
B C
M
EXEMPLE2 :PARALLÉLISME,ALIGNEMENT
Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs sont colinéaires.
Soit ABC un triangle, I le milieu de[AC], M est le symétrique de B par rapport à C et le point N est tel que
# »
AN=13
# »
AB . Les points M , I et N sont-ils alignés ?
1# »
||
||
A
B C
I
N M
— Iest le milieu du segment [AC] donc
# »
AI=1 2# »
AC— Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [B M] d’où
# »
MC=# »
C B. Exprimons les vecteurs
# »
M Iet
# »
I Nen fonction des vecteurs
# »
ABet# »
AC:
# »
M I=# »
MC+
# »
C I=# »
C B−1 2
# »
AC=# »
C A+
# »
AB−12
# »
AC=# »
AB−3 2
# »
AC I N# »
=I A# »
+AN# »
= −12
# »
AC+13
# »
AB Ainsi,M I# »
=AB# »
−32
# »
ACetI N
# »
=1 3# »
AB−12
# »
ACd’oùM I
# »
=3I N# »
.Par conséquent, les vecteursM I
# »
etI N# »
sont colinéaires donc les pointsM,I etN sont alignés.V COORDONNÉES
1 REPÈRE DU PLAN
On appelle base tout couple¡
~ı,~¢
de vecteurs non colinéaires.
Un repère du plan est un triplet¡ O;~ı,~¢
où O est un point du plan (appelé origine du repère) et¡
~ı,~¢ une base.
O x
y
~ı
~
Repère quelconque
O x
y
~ı
~ I J
(OI)⊥(O J) Repère orthogonal
O x
y
~ı
~
I J
Repère orthonormé (OI)⊥(O J) etOI=O J 2 COORDONNÉES D’UN VECTEUR
Le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢
. Soit~uun vecteur.
On appelle coordonnées du vecteur~ules coordonnées du pointM¡ x;y¢
dans le repère¡ O;~ı,~¢
tel que
# »
OM=~u.On note indifféremment~u¡ x;y¢
ou~u µx
y
¶ .
~
~ı O
M x~ı
y~
x~ı
y~
~ u
— ¡ x;y¢
sont les coordonnées du pointMdans le repère¡ O;~ı,~¢
signifie queOM
# »
=x~ı+y~.
— µx
y
¶
sont les coordonnées du vecteur~udans le repère¡ O;~ı,~¢
signifie que~u=x~ı+y~.
REMARQUE
Les coordonnées d’un vecteur dépendent du choix du repère.
EXEMPLE
ABC Dest un parallélogramme de centreO.
— Dans le repère³
A;AB,
# » # »
AC´:
A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1),AC
# »
µ1 1¶
etB D
# »
µ−1 1¶
~ı
~
A
B
C D
O
— Dans le repère³
O;O A,
# »
OB# »
´:A(1;0),B(0;1),C(−1;0),D(0;−1),
# »
ACµ−2 0
¶ et
# »
B D µ 0
−1
¶
~ı
~
A
B
C D
O
PROPRIÉTÉS DES COORDONNÉES
Soit¡ O;~ı,~¢
un repère du plan,~u µx
y
¶ et~v
µx′ y′
¶
deux vecteurs :
— ~u=~0 équivaut àx=0 ety=0.
— ~u=~véquivaut àx=x′ety=y′.
— Le vecteur~u+~va pour coordonnées µx+x′
y+y′
¶ .
— pour tout réelk, le vecteurk~ua pour coordonnées µkx
k y
¶ .
3 COORDONNÉES DU VECTEURAB
# »
Soit¡O;~ı,~¢
un repère du plan et deux pointsA¡ xA;yA¢
etB¡ xB;yB¢
. Les coordonnées du vecteur
# »
ABdans le repère¡O;~ı,~¢
sontAB
# »
µxB−xAyB−yA
¶ .
~
~ı O A
B (xB−xA)~ı
¡yB−yA¢
~
❊ DÉMONSTRATION
D’après la relation de Chasles
# »
AB =# »
AO+
# »
OB =# »
OB−O A. Donc les coordonnées du vecteur
# » # »
AB sont# »
ABµxB−xA
yB−yA
¶ .
Dans le déplacement qui amèneAsurB,xB−xAcode le déplacement suivant l’axe des abscisses etyB−yA
code le déplacement suivant l’axe des ordonnées.
4 CONDITION DE COLINÉARITÉ
Soit¡ O;~ı,~¢
un repère du plan. Les vecteurs~u µx
y
¶ et~v
µx′ y′
¶
sont colinéaires si, et seulement si,
x y′−x′y=0
Cette relation est très importante, elle permet de « faire » de la géométrie avec des calculs numériques; ainsi :
— (AB)
(C D) si et seulement si# »
ABetC D# »
sont colinéaires.— A,BetCsont alignés si et seulement si
# »
ABetAC# »
sont colinéaires.Exemple :
1. On donneA(−1 ; 2),B(3 ;−2),C(2 ;−1). Montrer queA,BetCsont alignés.
2. On donneA(−1 ; 2),B(3 ;−2),C(1 ; 1) etD(2 ; 0). Montrer que (AB)
(C D).
![ABCD est un parallélogramme si [AC] et [BD] ont même milieu](https://data07.123doks.com/thumbv2/123doknet/001/559/1559176/cover.webp)
![Montrer que u ∈ Z[j]× si et seulement si N(u](https://data07.123doks.com/thumbv2/123doknet/002/007/2007322/cover.webp)
