Chapitre 4 : Dérivation (Nombre dérivé)
Capacités attendues
1. Calculer le taux de variation et faire le lien entre la pente d’une sécante à une courbe 2. Déterminer graphiquement un nombre dérivé et l’interpréter.
3. Construire la tangente en un point à une courbe et en déterminer une équation.
4. Déterminer la fonction dérivée des fonctions de référence et celle d’une fonction à l’aide des opérations sur les dérivées.
Plan de la séquence
1. NOMBRE DERIVE et TANGENTE Pré-requis : 1 et 2 page 104
Activité pour découvrir :
A page 106 (chute d’une balle) C page 107 (vers le nombre dérivé) Cours : page 1 du cours 1S
Exercices :
38 page 120 - 41 page 120 - 42 page 121 - ***43 page 121 45 page 121 - **48 page 121 - ***46 page 121 - 54 page 122
2. EQUATION ET TANGENTE Pré-requis :3 et 4 page 104
Cours : page 2 du cours 1S Exercices
20 page 119 - 23 page 119 - 24 page 119 56 page 123 - 58 page 123 - ***59 page 123 61 page 124 - **62 page 124 - 66 page 124 69 page 125 - ***70 page 125 - **73 page 125
1. NOMBRE DERIVE et TANGENTE
Prérequis 1 et 2 page 104
ACTIVITE A page 106
ACTIVITE C page 107
Cours : 1.NOMBRE DERIVE et TANGENTE
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un réel appartenant à I.
A le point de coordonnées (a ; f(a))
M le point de coordonnées (a+h, ; f(a+h))
Le coefficient directeur de la droite (AM) est :
r(h) est le taux d’accroissement de f entre a et a+h.
Remarque : En cinématique, la variable est le temps : f est la loi horaire, r(h) est alors la vitesse moyenne du mobile entre les instants a et a+h
Définition :
Si r(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, alors f est dérivable en a.
r(h) est alors noté f’(a) : nombre dérivé de f en a.
Remarque : En cinématique, la variable est le temps : f est la loi horaire, f’(a) est alors la
vitesse instantanée du mobile à l’instant a.
EXERCICES
38 page 120 - 41 page 120
42 page 121 - ***43 page 121 -
45 page 121 - **48 page 121 - ***46 page 121
54 page 122
2. EQUATION ET TANGENTE
Prérequis 3 et 4 page 104
Cours : 2.
EQUATION de la TANGENTE en un POINT à la COURBE
On nomme C la courbe représentative de la fonction f.
Lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A en restant sur la courbe C.
Dire que r(h) a pour limite f ’(a) lorsque h tend vers 0 revient donc à dire que le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers f ’(a) quand M se rapproche de A sur la courbe C
Définition
Si f est dérivable en a, alors la courbe C admet au point A de coordonnées (a ; f(a)) une tangente T de coefficient directeur f ’(a)
Par suite, l’ équation réduite de cette tangente s’écrit y =f ’(a) x + b
On peut calculer b en remarquant que A (a ; f(a)) appartient à la tangente. Donc ses coordonnées vérifient l’égalité : f(a)=f ‘(a) a + b
Par conséquent b = f(a)- a f ‘(a)
Après simplification, on en déduit : L’équation réduite de la tangente :
y= f ‘(a) (x - a) + f(a)
Remarque : Même s’il n’est pas nécessaire d’apprendre cette relation par cœur il faut savoir
la retrouver rapidement.
EXERCICES
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56 page 123 - 58 page 123 - ***59 page 123
61 page 124 - **62 page 124 - 66 page 124
69 page 125 - ***70 page 125 - **73 page 125
