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(a n ) ∈ (R ∗ + ) N et(u n ) ∈ R N tellesqueu 0 > 0et ∀ n ∈ N,u n+1 = u n + a u n n.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1 Exeries longs

1.1 CCP

Exerie 1. Soient

(a n ) ∈ (R + ) N

et

(u n ) ∈ R N

tellesque

u 0 > 0

et

∀ n ∈ N

,

u n+1 = u n + a u n n

.

1) Montrerque

(u n )

estbien dénieetroissante.

2) Onsupposeque

a n = 1

pourtout entier

n

.

a) Montrerque

(u n )

divergevers

+ ∞

.

b) Montrerquepourtoutentier

n

,

u 2 n = u 2 0 +

n − 1

P

k=0 1

u 2 k + 2n

et endéduireque

√ 2n 6 u n 6

q u 2 0 + u 1 2

0 + 5 2 n

.

3) Montrerque

(u n )

onvergesietseulementsilasériedetermegénéral

a n

onverge.

4) Onsupposeque

a n = 3 1 n

pourtoutentier

n

.

a) Montrerquelasuite

(u n )

onvergeversunréel

.

b) Montrerque

2 − u 2 n n

→∞

1 3 n 1

.

Exerie 2. Soit

x ∈ ] − 1, 1[

.Onpose

f x : θ ∈ R 7→ P

n=1 cos(nθ)

n x n

.

1) Montrerque

f x

estontinuesur

R

puisaluler

f x (0)

et

f x (π)

.

2) Montrerque

f x

estdérivableetque

∀ θ ∈ R, f x (θ) = 1 2 x x cos sin θ+x θ 2

.Endéduirelavaleurde

f x (θ)

pour

θ ∈ R

.

3) Caluler

R +π

− π ln(1 − 2 x cos θ + x 2 ) dθ

.

4) Endéduire, pour

y ∈ R \ [ − 1, 1]

,lavaleurde

R +π

− π ln(1 − 2 y cos θ + y 2 ) dθ

.

Exerie3. Soit

n ∈ N

,

f, g ∈ L (R n )

telsque

f ◦ g = g ◦ f

.Onsupposeque

f

estdiagonalisable etpossède

n

valeurspropresdistintes

λ 1 , · · · , λ n

.

1) Montrerquetoutveteurproprede

f

estveteurproprede

g

.

2) Endéduirequ'ilexisteunebase ommunedeveteursproprespour

f

et

g

.

3) Montrerqu'ilexisteununique

n

-uplet

(a 0 , · · · , a n − 1 ) ∈ R n

telque

g = a 0 +a 1 f + · · · +a n − 1 f n 1

.

4) Déterminerladimensionduommutantde

f

.

Exerie 4. Ondénit

ϕ ∈ L ( M n (R))

par

ϕ(M ) = 2M + t M

pour

M ∈ M n (R)

.

1) Montrerque

ϕ 2 = 4ϕ − 3 id

.L'endomorphisme

ϕ

est-ildiagonalisable?

2) Déterminerlesvaleurspropres,lessous-espaespropres,latrae,ledéterminantetlepolynme

aratéristiquede

ϕ

.

3) Soient

a, b ∈ R

et

ϕ a,b : M ∈ M n (R) 7→ aM + b t M

. Donner une ondition néessaire et

susantepourque

ϕ a,b

soitinversible.

4) Soit

h· , ·i

leproduit salairesur

M n (R)

dénipar

h M, N i = Tr( t M N )

pour

M, N ∈ M n (R)

.

(2)

Exerie 5. Soit

f : x 7→ R

0 1

1+t exp( | x t | ) dt

.

1) Déterminerledomainededénitionde

f

.Est-elle ontinue?

2) Montrerque

f

seprolongeparontinuitéen

0

.

3) Montrerque

f

estdelasse

C

sur

R

.

4) Donnerlessolutionssur

R +

de(E):

x 2 y + y = | x |

.

5) Quellessontlessolutionsde(E)déniessur

R

?

Exerie 6.

1) Soit

E

unespaeeulidien dedimension

2n

et

f ∈ L (E)

antisymétrique.

a) Montrerque

f 2

estdiagonalisable.

b) Montrerque

Ker f = Ker f 2

.

) Soit

a

un veteur propre de

f 2

assoié à une valeur propre non nulle. Montrer que le

plan

F = Vect(a, f (a))

eststable par

f

.Quediredel'orthogonalde

F

?

2) Soit

A ∈ M 2n (R)

une matrieantisymétrique.Montrerqu'ilexisteunematrie

P ∈ GL 2n (R)

telleque

A = t P

0 − I n

I n 0

P

.

1.3 Mines

Exerie 7. Pour

n > 1

entieronpose

a n = R ∞ 0

dt (1+t 3 ) n

.

1) Justierl'existenede

a n

pourtout

n

.

2) Déterminerlerayondeonvergenedelasérie entièredetermegénéral

a n x n

.

3) Soit

f

lasommedeettesérieentière.Exprimer

f

àl'aidedesfontionsusuelles.

Exerie 8. Soit

G

unsous-groupede

GL n (R)

telquepourtout

A ∈ G

,

A 2 = I n

.

1) Montrerque

G

est ommutatif.

2) Montrerqu'ilexiste

P ∈ GL n (R)

telquepourtout

A ∈ G

,

P AP 1

estdiagonale.

3) Montrerque

G

est niet donnerunmajorantdesonardinal.

1.4 Autres éoles

Exerie 9. Soit

f : R 2 → R

diérentiable,telle que

f (0, 0) = 0

etque

∂ y f > | ∂ x f |

.Onpose

g : x ∈ R 7→ f (x, x)

,

h : x ∈ R 7→ f (x, − x)

et

k x : y ∈ R 7→ f (x, y)

.

1) Donnerlesdérivéesdeesfontions.

2) Montrerque

∀ x ∈ R, ∃ !y ∈ R, f(x, y) = 0

.Onnote

y = t(x)

.

3) Montrerque

t

est1-lipshitzienne.

(3)

Exerie 10. Onnote

GL n (Z) = { A ∈ M n (Z) | det A = ± 1 }

.

1) Montrerque

GL n (Z)

estunsous-groupede

GL n (R)

.Onenxeunsous-groupeni

G

.

2) Montrerquepourtoutematrie

A ∈ G

,il existeunentier

m ∈ N

telque

A m = I n

.

3) Soit

A ∈ M n (Z)

.Onsupposequ'ilexiste

P ∈ C[X ]

,sindéàrainessimplesetdonttoutesles

rainessontdemodulestritementinférieurà

1

,telque

P (A) = 0

.Montrerque

A = 0

.

4) Soit

p > 3

unentier.Onsupposeque

A ∈ G

s'érit

A = I n + pM

ave

M ∈ M n (Z)

.Montrer

que

M

estnéessairementnulle.

Exerie 11. Pour

d ∈ N

, onnote

X d

le polynme

X(X − 1) ··· (X − d+1)

d!

. Onnote aussi

l'endo-

morphismede

R [X ]

quienvoie

P

sur

P (X + 1) − P (X)

.

1) Caluler

Ker ∆

et

X d

pourtout entier

d

.

2) Soit

P ∈ R d [X ]

telque

P (Z) ⊂ Z

. Montrerqu'il existeun

(d + 1)

-uplet

(c d , . . . , c 0 )

d'entiers

telque

P = c d X d

+ · · · + c 0 X 0

.

3) Déterminerl'ensembledespolynmes

P ∈ R[X ]

telsque

P (Z) ⊂ Z

.

Exerie 12. Onxeunespaevetoriel

E

dedimensionnie.Si

f ∈ L (E)

,onnote

ad f

l'endo-

morphismede

L (E)

qui envoie

g

sur

f g − gf

.

1) Si

f

et

g

sont dans

L (E)

et

n > 0

un entier, exprimer

ad n f (g)

en fontion des puissanes

suessivesde

f

et

g

.

2) Montrerque,si

f

estnilpotentd'indie

n

,alors

ad f

estnilpotentd'indieauplus

2n − 1

.

3) Montrerque,pourtout

a ∈ L (E)

,ilexiste

b ∈ L (E)

telque

aba = a

.

4) Montrerque,si

f

estnilpotentd'indie

n

,alors

ad f

estnilpotentd'indieexatement

2n − 1

.

(4)

2.1 CCP

Exerie 13. Donnerunéquivalentde

u n =

n

P

k=1

ln 2 k

.

Exerie 14. Justierl'existenede

I = R 1 0

ln t

1+t dt

.Exprimer

I

ommesommed'unesérie.

Exerie 15. Déterminerpourquels

z ∈ C

lamatrie

0 0 z 1 0 0 1 0 0

estdiagonalisable.

Exerie16. Soit

M ∈ S n (R)

.Onsupposequ'ilexisteunentier

p ∈ N

telque

M p = I n

.Montrer

que

M 2 = I n

.Quediresi

M ∈ S n + (R)

?

2.2 Centrale

Exerie17. Soit

r > 0

et

(a n )

lasuitedéniepar

a n = r n

si

n

estlearréd'unentieret

a n = 0

sinon.Déterminerlerayondeonvergenedelasérieentièredetermegénéral

a n x n

.

Exerie 18. Lesmatries

1 1 0 0 1 1 0 0 1

et

1 1 0 0 1 0 0 0 1

sont-ellessemblables?

2.3 Mines

Exerie 19. Soit

f : x 7→ | sin x | x

.Montrer que

f

estprolongeableparontinuitésur

R +

,puis

étudiersonintégrabilitésur

R +

.

Exerie 20. Soit

f

l'appliation qui à tout polynme

P ∈ R n [X ]

assoie le polynme déni

par

∀ x ∈ R, Q(x) = R x+1

x P (t) dt

.Montrerque

f

est unendomorphisme de

R n [X ]

puis aluler

sondéterminant.

(5)

Corrigé1.

1) Onmontre par réurrenesur

n

que

u n

est bien déni, stritementpositif;le seul argument

estlapositivitéde

a n

.Celaimplique trivialementlaroissane,enoreunefois parpositivité de

a

.

2) a) Laréurreneestde laforme

u n+1 = f (u n )

ave

f : x 7→ x + x 1

. Comme

u

est roissante,

elleonvergeou tend vers

+ ∞

. Mais si elle onvergeaite seraitversun point xede

f

,

'est-à-direunzérode

x 7→ 1 x

,e quin'existepas.

b) On somme la relation

u 2 n+1 = u 2 n + 2 + u 1 2

n

. La première inégalité est une onséquene

immédiatedelapositivitéde

u

.Onendéduit

n − 1

X

k=1

1 u 2 k 6

n − 1

X

k=1

1 2k 6 n

2

.

C'estexatementlamajorationdemandée.

3) Lasuite

u

étantroissante,elleonvergesiet seulementsi elleest majorée.Supposonsquela

sériede termegénéral

a n

onverge.Alorsensommantlarelationderéurrenepour

k

allant

de

0

à

n

ona

u n+1 = u 0 +

n

X

k=0

a k

u k

6 u 0 + 1 u 0

n

X

k=0

a k 6 u 0 + 1 u 0

X

k=0

a k

.

Réiproquement,si

u n

onvergeversunelimite

,alorslasériedetermegénéral

u n+1 − u n = u a n n

estonvergenteetona

a n

u n ∼ an > 0

,donlasériedetermegénéral

a n

,étantdemêmenature,

onverge.(Alternativement,onpeutseontenterd'utiliserlefaitque

(a n )

est minoréeparun

réelstritementpositif.)

4) a) Lasériegéométriqueonverge,don

u

aussid'aprèslaquestionpréédente.

b) Ona

u 2 k+1 − u 2 k = 2 · 3 k + 3 2k 1 u 2

k

.Onsommeetteégalité pour

k

entre

n

etl'inni,equi

estlégitimeartout onverge.Onobtient

2 − u 2 n = 2 3 n

1 − 3 1 + O(9 n ) ∼ 3 1 n

.

Corrigé2.

1) Lasérie onvergenormalementar

| cos | 6 1

,lasommeestdonontinuesur

R

.Ona

f x (0) =

X ∞

n=1

x n

n = − ln(1 − x)

et

f x (π) = X ∞

n=1

( − 1) n x n

n = − ln(1 + x)

.

2) Formellementona

f x (θ) = − P

n=1 sin(nθ)x n

.Cettesérieonvergenormalement,don

f x

est

dérivableet pourtout

θ ∈ R

onal'égalitépréédente.Onendéduit

f x (θ) = − Im

X ∞

n=1

e inθ x n

= − Im

X

n=1

(xe ) n

= − Im xe 1 − xe

= − Im xe (1 − xe ) 1 − 2x cos θ + x 2

(6)

= − Im xe − x 2 1 − 2x cos θ + x 2

= − x sin θ 1 − 2x cos θ + x 2

.

Onobtientlavaleurde

f x

enalulantuneprimitive.Onpose

u = cos θ

dansl'expression:

Z − x sin θ

1 − 2x cos θ + x 2 dθ =

Z x du 1 − 2xu + x 2

= − 1 2 ln(1 − 2xu + x 2 )

= − 1 2 ln(1 − 2x cos θ + x 2 )

.

En

θ = 0

,etteprimitivevaut

1 2 ln(1 − 2x + x 2 ) = − ln(1 − x) = f x (0)

donpourtout

θ ∈ R

,

f x (θ) = − 1 2 ln(1 − 2x cos θ + x 2 )

.

3) Puisque

| x | < 1

,laquestionpréédentepermet d'érire

Z +π

− π

ln(1 − 2 x cos θ + x 2 ) dθ = − 2 Z +π

− π

f x (θ) dθ

= − 2 Z +π

− π

X

n=1

cos(nθ) n x n

= − 2

X

n=1

Z +π

− π

cos(nθ) n x n

= 0

touteslesintégralesindividuellesétantnulles.

4) Ilsutdeposer

x = 1 y

equipermetdeserameneràlaquestionpréédente:onauraeneet

Z +π

− π

ln(1 − 2 y cos θ + y 2 ) dθ = 2π ln(y 2 ) + Z +π

− π

ln(1 − 2 x cos θ + x 2 ) dθ

= 4π ln | y |

.

Corrigé3.

1) Parlarelationdeommutation,

g

stabiliselessous-espaespropresde

f

,qui sontdesdroites

parl'hypothèsesurlesvaleurspropres.

2) Ilsut deprendreune basequelonquediagonalisant

f

.

3) Dansettebase,

f

s'éritmatriiellement

diag(λ 1 , . . . , λ n )

,tandisque

g

s'érit

diag(µ 1 , . . . , µ n )

pour ertainsréels

µ i

.La onditiondemandéesetraduitpar l'existened'un polynme

P

de

degréinférieurà

n − 1

telque

P (λ i ) = µ i

pourtout

i ∈ [[1, n]]

;les

λ i

étantsupposésdistints,

l'existeneet l'uniité d'un telpolynmeest assuréeindiéremmentparles polynmes inter-

polateursdeLagrange,parl'injetivitédel'appliationlinéaire

R n 1 [X] → R n

d'évaluationen les

λ i

ouparundéterminantdeVandermonde.

Corrigé4.

1) Onérit:

ϕ 2 (M ) = ϕ(2M + t M )

= 2 (2M + t M ) + t (2M + t M )

= (4 + 1) M + (2 + 2) t M

= 4 ( t M + 2 M ) − 3 M

d'oùl'identitévoulue.Lepolynme

X 2 − 4 X +3

étantsindéàrainessimplessur

R

('est

(X −

1)(X − 3)

),l'endomorphismeonsidéréest dondiagonalisable.

(7)

2) Commedéjàvu, lesvaleurspropresde

ϕ

sontàherherdans

{ 1, 3 }

.

Valeurpropre

1

: onherheles

M

tels que

2M + t M = M

. Ils'agit des matriesantisy-

métriques,sous-espaededimension

n (n − 1)

2

de

M n ( R )

(ilsutdesedonnerlesoeients

stritementau-dessusdeladiagonale).

Valeurpropre

3

: ils'agit ettefois-idesmatriessymétriques,formantunsous-espaede dimension

n (n+1) 2

.

Onendéduitque:

Latraede

ϕ

vaut

n (n 2 1) · 1 + n (n+1) 2 · 3 = n (2n + 1)

.

Sondéterminantvaut

1

n (n − 1)

2 3

n (n+1)

2 = 3

n (n+1) 2

.

Sonpolynmearatéristiquevaut

(X − 1) n (n 2 1) (X − 3) n (n+1) 2

.

3) Ona

ϕ a,b = b ϕ + (a − 2b) id

, etdon

det ϕ a,b = ( − b) n 2 χ ϕ 2b − a b

= ( − b) n 2 2b b a − 1

n (n − 1) 2 2b − a

b − 3

n (n+1) 2

= (a − b) n (n 2 1) (a + b) n (n+1) 2

mêmequand

b = 0

.Quand

n = 0

, l'endomorphisme

ϕ a,b

esttoujoursinversible.Quand

n = 1

,

ona

ϕ a,b = (a + b) id

, inversiblesiet seulementsi

a + b 6 = 0

. Quand

n > 2

,l'inversibilitéest équivalenteàlaondition

a 2 6 = b 2

.

4) Calulons:

h ϕ(M ), N i = Tr( t (2M + t M ) N )

= Tr(M N ) + 2 h M, N i

equiest visiblementsymétrique;paronséquent

ϕ

l'estaussi,ainsique

ϕ a,b

pourtout

(a, b)

par linéarité. (Alternativement: on adiagonalisé

ϕ

dans une base orthogonale, les matries symétriquesétantorthogonalesauxantisymétriques.)

Corrigé5.

1) L'intégraleonvergepourtout

x

nonnulpuisque

1+t 1 exp( | x t | ) = O(t 2 )

quand

t → + ∞

etque

l'intégrandese prolongepar ontinuité enzéro. Elle est ontinue sur

R +

puisqu'elle l'est sur toutsegment(théorèmedeontinuitésouslesigneintégral).Elleestdonontinuesur

R

par

parité.

2) Onappliquelethéorèmedeonvergenedominée:quand

x → 0

ave

| x | 6 1

, onalamajora-

tion

1

1+t exp( | x t | ) 6 1+t 1 exp( − t)

qui estintégrablesur

R +

.Paronséquent,

f

estprolongeable enzéro,delimite nulle.

3) Ilsut deraisonnersur

R +

parparité.Onaparréurrene

x n exp( x t ) = P n (t, x 1 ) exp( x t )

P n ∈ Q[T, U ]

estunpolynmedéniparlarelationderéurrene

P n+1 = U 2 (t − ∂ U )P n

.Par

onséquent,quand

x

varie dansunsegmentxé,on peutborner

n x exp( x t )

parune fontion

intégrableindépendantede

x

.Lethéorèmederégularitésouslesigneintégralonlut.

4) Onherheévidemmentunesolutionpartiulièreàpartirde

f

.Laquestionpréédentepermet

dedériver

f

souslesigneintégral,etona

x 2 f (x) + f (x) =

Z

0

x 2 ∂ x 1

1+t exp( x t )

+ 1+t 1 exp( x t ) dt

= Z

exp( t ) dt

(8)

=

− x exp( x t ) ∞ t=0

= x

ommedebienentendu.Lessolutionsdel'équationhomogènesontdelaforme

x 7→ A exp( 1 x )

,

etlessolutionsgénéralesdel'équation aveseond membresontdondelaforme

x 7→ f (x) + A exp( x 1 )

pour

A ∈ C

.

5) Soit

g

une solutionde (E)dénie sur

R

. Lemême raisonnementque i-dessusappliqué ette foissur

R

montreque

g

estdelaforme

x 7→ f (x) +

( A + exp( x 1 )

si

x > 0 A exp( 1 x )

si

x < 0

pourdeuxonstantesomplexes

A +

et

A

.Resteàdéterminerquellessolutionssontontinues

etdérivablesen

0

.Commençonspar

f

.Onavuqu'elleestontinuesur

R

et dérivablesur

R

,

montronsqu'elleestdérivableen

0

, dedérivéenulle. Parparitéilsut delemontreràdroite

de

0

. Pour ela on étudie le taux d'aroissement

f(x)

x

. Soit

g t : x 7→ exp( x t/x)

, qu'on veut

majorerindépendammentde

x

pourutiliseruneonvergenedominée.Onalule

g t (x) = x 2 1 +

t x 3

exp( − t/x)

,quis'annuleen

x = t

.Onadon

g t (x) 6 g t (t) = 1 t

.Depluspour

(x, t) ∈ [0, 1] 2

,

exp( − t/x)

x(1+t)

est bornée par une onstante. Finalement,

exp( − t/x)

x(1+t)

est bornée par une onstante

pour

t ∈ [0, 1]

, et par

t(1+t) 1

sur

[1, ∞ ]

, e qui est intégrable.Paronvergene dominée,

f(x) x

tendbienvers

0

en

0

.Ilsutmaintenantd'étudierlessolutionsdel'équationhomogènesur

R

.

Laprolongeabilitéàdroiteimpose

A + = 0

,etnilaontinuité,niladérivabilitén'imposentde onditionsur

A

.Lessolutionssontdonlesfontionsdelaforme

x 7→ f (x) +

( 0

si

x > 0 A exp( x 1 )

si

x < 0

.

Corrigé6.

1)

a) Ona

t (f 2 ) = ( t f ) 2 = ( − f ) 2 = f 2

, don

f

estsymétriqueréel,dondiagonalisableenbase orthonormée.

b) Onérit

Ker f 2 ⊂ { x | h f 2 (x), x i = 0 }

= { x | h f (x), t f (x) i = 0 }

= { x | h f (x), f(x) i = 0 }

= Ker f

etl'autreinlusion estautomatique.

) Lastabilitéest évidente (regarderlesimages par

f

delafamillegénératrie).Notons qu'il s'agit bien d'un plan : en eet,

a

est non nul ('est un veteur propre), don

f (a)

aussi

(sinon

f 2 (a)

seraitnul e qui serait ontraire auxhypothèses); or

f (a)

ne peut être pro-

portionnelà

a

quesi

f (a) = 0

,ar

f

devraitinduireunendomorphismeantisymétrique(et donnul)surladroite

R a

.

Parailleurs,l'orthogonalde

F

estluiaussistablepar

f

:si

x ∈ F

et

y ∈ F

,onaura

h f (x), y i = −h x, f (y) i

= 0

puisque

f (y) ∈ F

,et don

f (x) ∈ F

.

(9)

2) Laquestionpréédente permet de onjuguerorthogonalement

A

àune matriediagonalepar

blos,dontlesblossontsoitnuls,soitdetaille

2

etdelaforme

0 a a 0

.Cesréels

a

peuventde

plusêtrehoisispositifs.Maisenérivant

0 − a a 0

= t ( √ aI 2 )

0 − 1 1 0

( √

aI 2 )

onvoit que l'on peut trouverune matrie

P

inversible et telle que

t P AP

soit diagonalepar

blos ave des blos de la forme

0 − 1 1 0

. Il ne reste plus qu'à onjuguer par une matrie de

permutationpourobtenirlaformedemandée.

Corrigé7.

1) Ona

1

(1+t 3 ) n 6 1+t 1 3 = O(t 2 )

,d'oùl'intégrabilité.

2) Onommeneparunalulformel, danslequelonjustieraensuitelesonvergenes.

X

n=1

a n x n =

X

n=1

Z ∞ 0

x n dt (1 + t 3 ) n

= Z

0

X

n=1

x n (1 + t 3 ) n dt

= Z ∞

0

x 1 + t 3 − x dt

.

Pour

0 < x < 1

, la dernièreintégrale onverge. Comme tout est positif, ela justie l'inter-

version.Le rayonde onvergeneest donau moins

1

. Mais la dernièreexpression tend vers

l'inniquand

x

tendvers

1

,donlerayondeonvergenevaut

1

:silerayonétaitstritement

plusgrand,

1

serait dansledisque ouvertde onvergeneet donla sommede lasérie serait

ontinueen

1

.

3) Onintervertitsérieetintégrale,e quidonne

f (x) = Z

0

dt

X

n=1

x 1 + t 3

n

= Z ∞

0

dt

1+t 3 x − 1

= x

1 − x Z

0

dt 1 + 1 t 3 x

= x

1 − x Z

0

√ 3

1 − x du 1 + u 3

= x (1 − x) 2/3 Z

0

du 1 + u 3 ·

Ladéompositionenélémentssimplesdonne

1 1 + u 3 = 1

3 1

1 + u − u − 2 1 − u + u 2

= 1 3

1 1 + u − 1

2

2u − 1 1 − u + u 2 + 3

2 1 1 − u + u 2

= 1 3

1 1 + u − 1

2

2u − 1 1 − u + u 2 + 3

2 1 (u − 1 2 ) 2 + 3 4

= 1 3

1 1 + u − 1

2

2u − 1 1 − u + u 2 + √

3

√ 2 3

4 1 2

(10)

Z du 1 + u 3 = 1

3

ln(1 + u) − 1

2 ln(1 − u + u 2 ) + √

3 arctan( 2 3 (u − 1 2 ))

= 1 6 ln (1 (1+u) u+u 2 2 ) + √ 1

3 arctan( √ 2

3 (u − 1 2 ))

et

Z ∞ 0

du 1 + u 3 = 1

√ 3 π

2 − − π 6

= 2 π 3 √

3

etdon

f (x) = 2 π

3 √

3 x (1 − x) 2/3

.

Corrigé8.

1) Ilsut d'érire

AB = A(ABAB)B = (AA)BA(BB) = BA

.

2) Onproèdeparréurrenesur

n

.Si

n 6 1

,'estévident.Sinon,ondistinguelesasselonqueles

élémentsde

G

sonttousdeshomothétiesounon.Danslepremieras,iln'yarienàfaire.Dans leseond,onhoisitunélément

A ∈ G

quinesoit pasunehomothétie;elleestdiagonalisable (

X 2 − 1

étantsindéàrainessimples),dondéompose

R n

enunesommediretededeuxsous-

espaesstrits,quisonttousstabiliséspar

G

parommutativité.Onappliquealorsl'hypothèse deréurreneauxdeuxsous-groupesobtenus.

3) Onvientdemontrerque

G

estunsous-groupedugroupedesmatriesdiagonalesinversiblesde laforme

diag( ± 1, . . . , ± 1)

(pararatérisationdesrainesarréesdel'unitéréelles).Cegroupe est de ardinal

2 n

, e qui majore don le ardinal de

G

. (Le théorème de Lagrange permet

mêmed'armerqueleardinalde

G

estdelaforme

2 m

ave

m 6 n

.)

Corrigé9. Serapporteràlagure1pagesuivante.

1) Ontrouveimmédiatement

g = (∂ x + ∂ y )f > 0, h = (∂ x − ∂ y )f < 0

et

k x = ∂ y f > 0

.

2) Ilsut d'appliquerlesalulspréédentspourdéterminerleomportementde

f

sur lesdeux

bissetrieset ladroite vertiale,et d'utiliserlethéorèmedesvaleursintermédiaires.

3) Soit

x 0 ∈ R

; on a

f (x 0 , t(x 0 )) = 0

. Posons

g x 0 : x 7→ f (x 0 + x, t(x 0 ) + x)

et

h x 0 : x 7→

f (x 0 + x, t(x 0 ) − x)

.enore,lesdeuxappliationssontstritementmonotones,etilsutde refaireleraisonnementdelaquestionpréédente pourloaliserlegraphede

t

dans lene de

sommet

(x 0 , t(x 0 ))

et d'ouverture

π 4

.

Corrigé10.

1) Lasuitedespuissanesde

A

variedans

G

quiest ni,ilexistedondeuxentiers distints

m 1

et

m 2

telsque

A m 1 = A m 2

,et ilsutdeposer

m = | m 1 − m 2 |

.

2) L'hypothèseimpliqueque

A

estdiagonalisableàvaleurspropresdemodulestritementinférieur à

1

.Pourunenormematriielleadaptéeàlabasedediagonalisation,lasuite

(A m )

tenddon

vers zéro. C'est don aussi le as pour la norme usuelle par équivalene des normes; or les

puissanesde

A

sontà oeientsentiers.C'est donqu'on a

A m = 0

pour

m

assez grand,

donpardiagonalisabilité

A = 0

.

3) Parlapremièrequestion,ilexiste

m > 1

telque

A m = 1

,equiseréérit

(1+pM ) m − 1 = 0

.Or

lesrainesde

(1+pX) m − 1

sontles

ω p 1

ave

ω

raine

m

-ièmedel'unité,etsontdondemodule

stritementinférieurà

1

puisque

p > 3

.Laquestionpréédente montrealorsque

M = 0

.

(11)

bc

-

+

-

- -

- +

+

+

+

bc

-

Figure1Signeslelongdesdroites

Corrigé11.

1) Ontrouvesanspeineque

Ker ∆ = R X 0

= R

etque

X d

= d X 1

pour

d > 1

.

2) Onproèdeparréurrenesur

d

; 'estlairsi

d = 0

.Sinon,

∆(P )

vérielamêmehypothèse,

dons'érit

c d X d − 1

+ · · · c 1 X 0

= ∆(c d X d

+ · · · c 1 X 1

)

.Parlapremièrequestion,ladiérene

estonstanteetvaut

P (0) ∈ Z

.

3) Ilest alorslair queet ensemble est

P

d ∈ N Z X d

(il ne resteplus que l'inlusionréiproque

àvérier, equi revientàprouverque

X d

est àvaleursentières pourtout

d

,en distinguant selonlesignedelavariable).

Corrigé12.

1) Ontrouveparréurreneque

ad m f (g) =

m

P

k=0 m

k

( − 1) m k f k g f m k

.

2) Dansla sommei-dessus,

f k

ou

f m k

est nul dèsque

k

ou

m − k

est supérieurà l'indie de

nilpotene

n

,equiesttoujoursvrailorsque

m > 2n − 1

.

3) Onprendunendomorphisme

b

quiinduiseunisomorphismeentrel'imagede

a

etunsupplémen-

tairedesonnoyau.Alors

bab

oïnide ave

a

àlafois sursonnoyauet suresupplémentaire, equel'onvoulait.

4) Supposons

f n = 0

et

f n 1 6 = 0

.Montronsque

ad 2n f 2 6 = 0

.Parlapremièrequestion,onapour

tout

g

l'identité

ad 2n f 2 (g) = P 2n − 2 k=0

2n − 2 k

( − 1) 2n 2 k f k g f 2n 2 k

,etleseul termeéventuel-

lement non nul de la somme apparaît quand

k = n − 1

; on a par onséquent

ad 2n f 2 (g) =

2n − 2 n − 1

( − 1) n 1 f n 1 g f n 1

. Mais la question préédente permet de hoisir

g

de façon à e

que

f n 1 g f n 1 = f n 1

,etdon

ad 2n f 2 (g) 6 = 0

.

Corrigé 13. Par théorème d'intégration des équivalents, la série

P ln 2 k

étant (grossièrement) divergente,ona

n

X

k=1

ln 2 k n

→∞

Z n 1

ln 2 t dt

=

IPP

t ln 2 t n 1 − 2

Z n 1

ln t dt

2

(12)

∼ n ln 2 n

.

On peut aussi proéder par omparaison série-intégrale, ou enore par une somme de Rie-

mann(?).

Corrigé14. Lafontionàintégrerest ontinuesur

]0, 1[

,prolongeableparontinuitéen

1

.Elle

estdesigneonstant(négative)auvoisinagede

0

etapouréquivalent

ln t

,quiestintégrableen

0

.

Don l'intégrale existe. Pourexprimer

I

omme somme d'unesérie, ondéveloppe

(1 + t) 1

; on

faitlealulformellementpuisonjustieralesonvergenesrequises.Onaformellement

Z 1 0

X

n=0

t n ln t dt =

X

n=0

Z 1 0

t n ln t dt

.

Onaluledon

Z 1 0

t n ln t dt = t n+1

n + 1 ln t 1

0

− Z 1

0

t n

n + 1 dt

parIPP

= −

t n+1 (n + 1) 2

1

0

= − 1 (n + 1) 2 .

Commeette suiteest de signeonstantet sommable,l'interversionpréedente est justiée. On

obtientnalement

Z 1 0

ln t

1 + t dt = − X ∞

n=1

1 n 2

.

Corrigé15. Onaluled'abordlepolynmearatéristique

χ

:

χ =

X 0 − z

− 1 X 0

− 1 0 X

= X 3 − zX

= X (X 2 − z)

.

Si

z 6 = 0

,ilatroisrainesdistintes;lepolynmearatéristiqueestalorssindéàrainessimples sur

C

,etlamatrieonsidéréeestdondiagonalisable.Dansleasontraire,lamatrieestnilpo- tente etnonnulle, etnepeutdonêtrediagonalisable.Conlusion:lamatrieestdiagonalisable

sietseulementsi

z

est nonnul.

Corrigé 16. La matrie

M

étant symétrique, elle est diagonalisableà valeurs propresréelles.

Comme

M p = I n

, toutevaleurpropre

λ

vérie

λ p = 1

, d'où

λ = ± 1

et don

λ 2 = 1

.Comme

M

est diagonalisable on en déduit

M 2 = I n

. Si

M

est dénie positive, ses valeurs propres sont

positives,donvalent

1

etdon

M = I n

.

Corrigé17. Soit

x ∈ R +

;onvaherherquandlasuite

a n x n

estbornée.Ilsutderegarderles

termes nonnuls,e qui revientàexaminer

r k x k 2

n = k 2

. Mais

r k x k 2

tend vers

0

si

x < 1

et

versl'innisi

x > 1

,donlerayondeonvergeneest

1

.

Corrigé 18. Bien que es deux matries aient le même polynmearatéristique, le polynme

minimal de lapremière est

(X − 1) 3

et eluide la seondeest

(X − 1) 2

, elles nesontdon pas

semblables.(End'autrestermes:laseondeestannuléepar

(X − 1) 2

equin'estpasleasdela

première.)

(13)

Corrigé 19. La fontion

f

est lairement dénie et ontinue sur

R +

. Vérions qu'on peut la

prolongeren ontinuité en

0

: pardéveloppementlimité dusinus au voisinage dezéro,

f → 0 1

.

Pourétudierl'intégrabilité,ondéoupe

R +

enintervalles

I k = [kπ, (k + 1)π]

.Pourtout

x ∈ I k

,on

a

| sin x | x > | sin x | (k+1)π

.Onreentrel'intervalleaupointoù

| sin x | = 1

:onpose

x = (k+ 1 2 )π+y

(

y ∈ [ − π 2 , π 2 ]

).Onaalors

| sin x | (k+1)π = | cos y | (k+1)π > (1 − ay 2 ) (k+1)π

pourun

a > 0

.

Onendéduit

Z

I k

| sin x | x dx >

Z π 2

π 2

(1 − ay 2 ) (k+1)π dy

>

Z

| y | 6 k 1

(1 − ay 2 ) (k+1)π dy

>

Z

| y | 6 k 1

1 − k a 2

(k+1)π

dy

= 2 k exp (k + 1)π ln(1 − k a 2 )

= 2 k exp O(k 1 )

= 2 k + O(k 2 )

.

Lasérie ayantpourterme généralettedernièreexpression n'estpassommable,donlasérie de

termegénéral

R

I k f

nel'estpasnonplus,equiprouveque

f

n'estpasintégrablesur

R +

.

Corrigé 20. L'appliation

f

est lairementun endomorphisme de

R [X]

(intégrerun polynme

entredesbornespolynomialesdonnebien unpolynme).Calulonssavaleursur

X n

:

f (X n )(x) =

Z x+1 x

t n dt

= t n+1

n + 1 x+1

x

= n+1 1 x n+1 − (x + 1) n+1

= n+1 1 (n + 1)x n + o(x n )

= x n + o(x n )

.

Celamontreque

f

préserveledegréetleoeientdominant;elleinduitdonunendomorphisme de

R n [X ]

dedéterminant

1

.

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