Nombres complexes : forme algébrique

Nombres complexes : forme algébrique

Un peu d’histoire

Vous avez l’an dernier appris à résoudre les équations du second degré, ou du moins, le pensiez-vous... Les mathématiques sont pleines de surprises !

Au XVIe siècle de notre ère, les mathématiciens aiment se lancer des défis : par exemple, il pouvait s’agir d’équations du troisième degré à résoudre. A l’époque, on ne résolvait ces équations que de manière approchée, en y allant à tâtons, avec des pas de plus en plus petits.

Cependant, en 1535, lors d’un concours de résolution d’équations, un dénommé Niccolo Fontana Tartaglia parvient à déterminer les solutions de 30 d’entre elles de manière exacte. Tartaglia ne dévoilera toutefois pas sa formule tout de suite : le malin mathématicien souhaite en effet la garder secrète pour pouvoir l’utiliser lors de prochains concours, sans laisser de chance à ses adversaires.

C’est un autre Italien, Girolamo Cardano (ou Jérôme Cardan), qui invite alors Tartaglia chez lui, à Milan, et le persuade de lui dévoiler sa formule magique, tout en lui promettant de ne la dévoiler à personne et encore moins de la publier.

Mais en 1545, Cardan apprend que cette formule était en réalité déjà connue d’un autre mathématicien, Scipione del Ferro. Cardan juge alors caduque la promesse faite à Tartaglia et s’empresse de publier la formule de résolution des équations du troisième degré dans son ouvrage, Ars Magna.

Étant donné une équation de la formex³ =px+q, une solution est la suivante :

x= ³ s

q 2 −

  q²

4 −p³ 27 + ³

s q 2 +

  q²

4 −p³ 27

Si l’on applique cette formule à l’équationx³= 15x+ 4, on obtient alors comme solution

x= ³

» 2 +√

−121 + ³

» 2−√

−121

qui fait notamment apparaître une racine carrée d’un nombre négatif !

Mais Cardan s’en fiche, et il continuera ses calculs comme si de rien n’était... C’est la naissance des nombres complexes – bien qu’on ne les appelle pas encore ainsi.

Les nombres complexes seront développés plus tard par Rafaele Bombelli, qui poursuivra les travaux de Cardan et étudiera les nombres de la formea+b√

−1

Ce n’est que plus tard, en 1777, que le mathématicien suisse Leonhard Euler remplace l’affreuse notation√

−1 par la lettrei, initiale du motimaginaire.

1 EnsembleCdes nombres complexes 2

1 Ensemble C des nombres complexes

Définition 1 : Il existe un ensemble de nombres appelénombres complexeset notéCtel que

• L’ensemble des réelsRest inclus dansC

• Il existe un nombre complexe, notéi, et tel quei² =−1

• L’addition et la multiplication des réels se prolonge "naturellement" dans l’ensemble des complexes

• Pour tout nombre complexez, il existe un unique couple de réels(a,b)tel quez=a+ib.

– aest appeléepartie réelledez, notéeRe(z).

– best appeléepartie imaginairedez, notéeIm(z).

– L’écriturez=a+ibest laforme algébriquedez.

Exemple 1 : 2 + 3i,7i,√ 5, 1

2− 4

5isont des nombres complexes.

L’addition et la multiplication de complexes se passent comme pour les nombres réels. Le nombreijoue le rôle de facteur. Il ne faut toutefois pas oublier quei² =−1, notamment pour la multiplication.

Exemple 2 : Soitz= 2 + 5ietz⁰= 1−3i. Alors z+z⁰ = 2 + 5i+ 1−3i= 3 + 2i

et

zz⁰ = (2 + 5i)(1−3i) = 2×1 + 5i×1 + 2×(−3i) + 5i×(−3i) = 2 + 5i−6i−15i² = 17−i

Propriété 1 : Soitzun nombre complexe.

z= 0 si et seulement si Re(z) = 0etIm(z) = 0

Démonstration 1.1 : D’une part, siRe(z) = 0etIm(z) = 0, alorsz=Re(z) +i×Im(z) = 0 +i0 = 0.

D’autre part, siz = 0, notonsaetbles parties réelles et imaginaires dez. Ainsi, a+ib = 0. Nous allons raisonner par l’absurde pour montrer que nécessairement, aet b valent tous deux 0. Pour cela, nous allons supposer le contraire et aboutir à une absurdité, ce qui nous permettra de conclure que l’hypothèse faite au départ était fausse.

Supposons donc que soita, soitbne soit pas nul.

• Sib= 0, puisquea+ib= 0, on obtient également quea= 0, ce qui est contraire à ce que nous avons supposé. Ainsi, on a forcémentb6= 0.

• Sib6= 0, alors, puisquea+ib= 0, on a donci=−a

b.iserait donc réel. C’est absurde.

Ainsi,a=b= 0

Propriété 2 : Soitzetz⁰deux complexes. Alors

z=z⁰ si et seulement si Re(z) =Re(z⁰)etIm(z) =Im(z⁰)

2 Conjuqué d’un nombre complexe 3 Démonstration 1.2 : Notonsz = a+ibetz⁰ = a⁰+ib⁰. On az = z⁰ si et seulement sia+ib= a⁰+ib⁰ si et seulement sia−a⁰+i(b−b⁰) = 0. D’après le premier point, c’est équivalent à dire quea−a⁰ = 0et b−b⁰ = 0.

Finalement,z=z⁰ si et seulement sia=a⁰etb=b⁰.

Cette propriété nous permet notamment de résoudre des équations dansC.

Exemple 3 : Résoudre l’équation2z+i−3 = 5i+ 4z−7, d’inconnuez∈C. Soitz∈C

2z+i−3 = 5i+ 4z−7 ⇔ 2z−4z= 5i−7 + 3−i

⇔ −2z=−4 + 4i

⇔ z= 2−2i

Ainsi,S ={2−2i}.

Définition 2 : Soitzun nombre complexe

• zest un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

• SiRe(z) = 0, on dit quezest un nombre imaginaire pur. On notez∈iR.

2 Conjuqué d’un nombre complexe

2.1 Définition et propriétés

Définition 3 : Soitz=a+ibun nombre complexe.

Leconjuguédezest le nombre complexe notézet qui vaut z=a−ib

Exemple 4 : Le conjuqué de7 + 3iest7−3i.

Le conjugué de2iest−2i.

Propriété 3 : Soitz∈C.

• zest réel si et seulement siz=z

• zest imaginaire pur si et seulement siz=−z

Démonstration 2.1— Premier point. : Soitz=a+ibavecaetbdes réels. On a doncz=a−ib

• Siz=z, alorsa+ib=a−ibce qui implique que2ib= 0et doncb= 0.zest donc réel.

• Sizest réel, alorsb= 0. Ainsi,z=aetz=a. On a bienz=z.

La démonstration du deuxième point fait l’objet d’un exercice.

2 Conjuqué d’un nombre complexe 4

Propriété 4 : Soitzetz⁰deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes z=z z+z⁰ =z+z⁰ zz⁰ =z×z⁰

Démonstration 2.2 : Notonsz=a+ibetz⁰ =a⁰+ib⁰.

• z=a−ib=a−(−ib) =a+ib=z.

• z+z⁰=a+ib+a⁰+ib⁰ =a+a⁰+i(b+b⁰) =a+a⁰−i(b+b⁰) =a−ib+a⁰−ib⁰ =z−z⁰

• D’une part,

z×z⁰= (a−ib)(a⁰−ib⁰) =aa⁰−iab⁰−ia⁰b+i²bb⁰ =aa⁰−bb⁰−i(ab⁰+a⁰b)

D’autre part,

zz⁰= (a+ib)(a⁰+ib⁰) =aa⁰+iab⁰+ia⁰b+i²bb⁰ =aa⁰−bb⁰+i(ab⁰+a⁰b)

On a bienzz⁰ =z×z⁰

Propriété 5 : Soitzun nombre complexe etnun entier naturel non nul. Alorszⁿ=zⁿ.

Démonstration 2.3 : Soitzun nombre complexe. Nous allons démontrer cette propriété par récurrence. Pour tout entier naturel non nuln, on considère la propositionP(n): «zⁿ=zⁿ

• Initialisation: Pourn= 1, on az¹ =z=z¹. P(1)est vraie.

• Hérédité: Soitnun entier naturel non nul. Supposons queP(n)est vraie. On a donczⁿ=zⁿ. Or,zⁿ⁺¹=zⁿ×z. La propriété précédente nous assure donc quezⁿ⁺¹=zⁿ×z.

Or, par hypothèse de récurrence,zⁿ=zⁿ.

Ainsi,zⁿ⁺¹=zⁿ×z=zⁿ⁺¹. P(n+ 1)est donc vraie.

• Conclusion:P(1)est vraie etP est héréditaire. Par récurrence,P(n)est vraie pour tout entier naturel non nuln.

2.2 Résolution d’équation enzetz

Lorsque des équations font intervenirzetz, il est préférable d’écrire ces nombres sous forme algébrique, puis d’identifier les parties réelles et imaginaires de chaque membre de l’équation.

Exemple 5 : On souhaite résoudre l’équation(E) : 2z+ 3i−5 = 3iz−2i+ 5, d’inconnuez∈C.

On pose alorsz=a+ib. On a doncz=a−ib. Ainsi,

2z+ 3i−5 = 3z−2i+ 7 ⇔ 2(a+ib) + 3i−5 = 3i(a−ib)−2i+ 5

⇔ 2a+ 2ib+ 3i−5 = 3ia+ 3b−2i+ 5 = 0

⇔ 2a−3b−5−5 +i(2b+ 3−3a+ 2) = 0

⇔ 2a−3b−10 +i(2b−3a+ 5) = 0

Or, un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaires sont nulles. On obtient donc le système suivant

3 Division dansC 5

(E) ⇔

ß 2a−3b−10 = 0

−3a+ 2b+ 5 = 0

On peut alors résoudre ce système avec la méthode de son choix. Par exemple, en procédant par combinaison.

On multiplie la première ligne par 3 et la deuxième par 2.

(E) ⇔

ß 6a−9b−30 = 0

−6a+ 4b+ 10 = 0 On remplaceL2parL2+L1

(E) ⇔

ß 6a−9b−30 = 0

−5b−20 = 0 On obtient donc

(E) ⇔

ß 6a−9×(−4)−30 = 0

b = −4 ⇔

ß 6a+ 6 = 0

b = −4 ⇔

ß a = −1 b = −4

On a doncS={−1−4i}.

3 Division dans C

Définition 4 : Soitzun nombre complexe non nul. Il existe un unique complexez⁰tel quezz⁰ = 1. z⁰est appelé inverse dezet est noté 1

z.

Exemple 6 : (1 + 2i) Å1

5 −2 5i

ã

= 1 5+ 2

5i−2 5i+4

5 = 1. On a donc 1 5− 2

5i= 1

1 + 2i.

Définition 5 : Soitzun complexe etzun complexe non nul. On définit le quotient dezparz⁰ par : z

z⁰ =z× 1 z⁰

Exemple 7 : Calculons 3 +i 1 + 2i. On a 3 +i

1 + 2i = (3 +i)× 1 1 + 2i

3 Division dansC 6 Or, d’après l’exemple précédent, 1

1 + 2i = 1 5−2

5i. Ainsi,

3 +i

1 + 2i = (3 +i) Å1

5− 2 5i

ã

= 3 5−6

5i+ i 5− 2

5i² = 1−i

Dans un précédent exercice sur les conjugués, nous avons pu exprimer le produitzzet constater que ce produit était en fait un réel.

Pour mettre sous forme algébrique un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ainsi, le dénominateur du quotient obtenu sera un nombre réel.

Exemple 8 : On souhaite exprimer 4 + 3i

3−i sous forme algébrique. Le dénominateur est 3−i, dont le conjugué est3 +i. On multiplie donc numérateur et dénominateur par3 +i.

4 + 3i

3−i = (4 + 3i)(3 +i)

(3−i)(3 +i) = 12 + 4i+ 9i+ 3i²

3²−i² = 12 + 13i−3 9−(−1) = 9

10+ 13 10i

Propriété 6 : Soitzun complexe etz⁰ un complexe non nul. Alors Å1

z⁰ ã

= 1 z⁰ et

z z⁰

= z z⁰

Démonstration 3.1 : Soitzun complexe non nul. D’après la propriété sur le produit des conjugués, on a

z×1

z =z×1

z = 1 = 1 et donc

Å1 z

ã

= 1 z

Par ailleurs, z

z⁰

=z× 1

z⁰ =z× Å1

z⁰ ã

d’après la proposition sur le conjugué du produit. Mais alors, d’après la propriété précédemment démontrée,

z z⁰

=z× 1 z⁰ = z

z⁰