TRAVAUX DIRIGES : Nombres complexes

I nstitut Blaise Pascal

Année Scolaire

: 2020-2021

Discipline-Travail-Succès

Classe : Tle C

Département de mathématiques Proposés par : M.Tchepanou Achille Boris.

TRAVAUX DIRIGES : Nombres complexes

Exercice 1.

Mettre sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivant :

_{!" #} ; ^#_#"! ; ^#

Exercice 2.

1111----Ecrire sous forme algébrique le conjugué des nombres complexes suivants :

) = +4 − .√31 1 + . ; 3 = _{# "#} ^# . 2222----Soit 7 =_{"! 8} ^# et 7#= ^"#_{! 8} .

Démontrer, sans calculer, que 7 − 7# est un nombre réel et 7 + 7# est un imaginaire pur.

Exercice 3.

Dans chacun des cas suivants, déterminer le module et un argument de Z, puis en déduire la forme algébrique de Z.

aaaa Z=<_#− .^√ _#=

bbbb Z=<_#+ .^√ _#= <_#− .^√ _#= cccc Z=√2 < _√ =.

Exercice 4.

1111----Comment faut-il choisir l’entier relatif n pour que +√3 + .1^@ soit réel ?réel positif ? imaginaire pur ?

2222----Soit n un entier naturel. On pose : A=∑^@"JKLEFG HI et B=∑^@"JKLG.N HI.

aaaa Calculer et écrire sous forme exponentielle A+iB.

bbbb En déduire des expressions plus simples de A et B.

Exercice 5.

Déterminer les racines carrées du nombre complexe 7 = −5 − 12..

Exercice 6.

Résoudre dans

Q

les équations :

E1 : 2 + . 7^#− 3 + 2. 7 + 1 −_#= 0.

E2 : 7^#− 5 + 3. 7 + 7. + 4 = 0.

E3 : .7^#− 4. − 3 7 + . − 5 = 0.

E4 : 7 + 7^#+ 1 = 0.

Exercice 7.

1111----Résoudre dans l’ensemble

Q

l’équation : 7 − 2 7^#− 3.7 + 4 = 0.

2222----Soit A, B et C les points images dans le plan complexe des solutions de l’équation précédente.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

Exercice 8.

On considère dans l’ensemble

Q

des nombres complexes l’équation suivante :

E : 7 − 6 + 3. 7^#+ 21 + 19. 7 − 26 1 + . = 0.

1111----Démontrer que cette équation admet une solution réelle et une seule, que l’on déterminera.

2222----Résoudre en suite l’équation E dans

Q

.

Exercice 9.

1111----Résoudre dans

Q

l’équation E0 : 7 + 7^#+ 7 + 1 = 0.

2222----En déduire la résolution dans C de l’équation E1 : <_W^W" = + <_W^W"=^#+ <_W^W"= + 1 = 0.

Exercice 10.

Soit a et b deux nombres réels. On considère dans

Q

, l’équation :

E : 7 + )7^#+ 6 1 − . 7 + 3 = 0.

1111----Déterminer a et b de telle sorte que l’équation E admette pour solution le nombre complexe 1+i.

2222----Démontrer que l’équation ainsi obtenue se décompose en deux équations dont l’une est : 7^#+ .7 + 5 1 − . = 0.

3333----Résoudre dans

Q

, l’équation E , pour les valeurs de a et b trouvées à la question 1.

Exercice 11.

Soit a et b deux nombres complexes.

On considère dans

Q

l’équation : 1 7^#− 3 + 1 7 + ) = 0.

1111----A quelle condition l’équation 1 a-t-elle deux solutions distinctes ?

2222----Résoudre l’équation 1 dans le cas où : a=i−1 et b=2i.

Exercice 12.

Soit α un nombre réel.

1111----Résoudre dans

Q

l’équation : 7^#+ [7 + 1 = 0.

2222----Quel est dans le plan complexe, l’ensemble des points images des solutions de cette équation lorsque α varie ?

Exercice 13.

Soit θ un nombre complexe. On considère dans

Q

l’équation : 7^#− 2 + .^ 7 + .^ + 2 − ^ = 0. 1

1111----Démontrer qu’il existe un nombre complexe ^L pour lequel l’équation 1 admet deux solutions complexes conjuguées.

2222----Calculer alors ces solutions.

Exercice 14.

Soit θ∈ `−^a_#;^a_#b. On considère l’équation d’inconnue z, d : 1 + .7 1 − .e)N^ = 1 − .7 1 + .e)N^ . 1.1.1.

1. Soit 7L une solution de E .

Montrer que |1 + .7L| = |1 − .7L| et en déduire que 7L est réel.

2. a 2. a 2. a

2. a Exprimer _{" gh@i}^gh@i en fonction de jⁱ.

bbbb Soit 7 ∈ ℝ, on pose 7 = e)N[ avec −^a_#< [ <^a_#. Montrer que E est équivalent à une équation E’ en [ que l’on déterminera.

cccc Résoudre l’équation E’ en [.

dddd En déduire les solutions de E .

Exercice 15.

Soit z=1 + .√3 .

1111----Mettre le nombre complexe z sous forme trigonométrique.

2222----En déduire la forme algébrique du nombre complexe +1 + .√31 ^L.

Fiche de travaux dirigés n°3. Classe : Tle C/ Tchep’s

Exercice 16.

Soient x un nombre réel et z le nombre complexe égal à : I − 2 <EFG^a+ .G.N^a=.

1111----Déterminer le module et un argument de z.

2222----Démontrer que z¹⁹⁷⁶ est un nombre réel, puis préciser le signe de z¹⁹⁷⁶.

Exercice 17.

1111----Déterminer les nombres complexes z¹ et z² solutions de l’équation : z²+2z+2=0.

2222----Soit n un entier positif.

aaaa Calculer 7^@ et 7#@.

bbbb Donner une expression simple de : m@= 7^@+ 7#@. cccc Trouver une relation indépendante de n, entre m@ et m@ o.

Exercice 18.

Résoudre dans

Q

l’équation : 7 = −√2 + .√6.

Exercice 19.

On considère le nombre complexe 7 =^p√ _# +1 − .√31.

1111----Mettre le nombre complexe z sous forme trigonométrique.

2222----En déduire les racines cinquièmes de z.

Exercice 20.

1111----Calculer le module et un argument du nombre complexe

√ ".

2222----En déduire toutes les solutions dans

Q

de l’équation : 7^o=_{√ "}.

Exercice 21.

Résoudre dans

Q

: 7^q+ 1 − 2. 7 − 2. = 0.

Exercice 22.

Soient les nombres complexes r = −_#+ .^√ _# et H = −_#− .^√ _#.

1111----Démontrer que les solutions dans C de l’équation : I − 1 = 0, sont 1, j et k.

2222----Démontrer que l’on a : k=j² et j=k².

Exercice 23.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit la transformation qui au point M d’affixe z=x+iy, fait correspondre le point M’ d'affixe z’=x’+iy’, définie par : z’=_W"#^W" 7 ≠ 2.

1111----Calculer x’ et y’ en fonction de x et y.

2222----Déterminer :

a L’ensemble Г des points M tels que z’ soit réel.

b L’ensemble Г# des points M tels que z’ soit imaginaire pur.

c L’ensemble Г des points M tels que |7^y+ 1| = 0.

3333----Construire Г , Г# et Г .

Exercice 24.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct z; {|}, ~} .

Soient z un nombre complexe différent de 1 et Z le nombre complexe défini par :

Z=^W_W" .

Dans le plan complexe, on désigne par M le point d’affixe z et par M’ le point d’affixe Z.

1111----Déterminer l’ensemble D des points M tels que Z soit un nombre réel.

2222----Déterminer l’ensemble C des points M tels que Z soit imaginaire pur.

3333----Déterminer l’ensemble Г des points M tels que les points M et M’ soient alignés avec O origine du repère du plan complexe.

Exercice 25.

Soit x un nombre réel.

1111----Montrer que : sin³x= sinx− sin3x.

2222----a a a a Linéariser sin⁴x, puis sin⁵x et cos⁵x.

bbbb Linéariser sin3xcos²2x.

cccc Linéariser cos³xsin³x et cos³xsin²x.

Exercice 26.

Résoudre dans ℝ les équations suivantes.

aaaa cos5x+2cos3x+cosx=0 bbbb cos2x+cos6x=sin3x−sin5x cccc sin3x−sin2x=sinx.

Exercice 27.

IIII----Soit 7 =^{√q" √#}_# et 7#= 1 − ..

1111----Déterminer le module et un argument de 7 et 7#. 2222----Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le quotient ^W_W^€_•.

3333----En déduire les valeurs de cos^a_# et sin^a_#.

IIIIIIII----On donne le complexe :

z

1

= − − 1 i et z

2

= +

¹2

i

2³ . 1111---- Ecrire ¹

2

Z z

= z

sous forme algébrique.

2222---- Ecrire

z

1_,

z

₂ sous forme trigonométrique et en déduire

Z

sous forme trigonométrique.

3333----Déduire les valeurs exactes de

11 11

cos sin

12 π et 12 π

.

Exercice 28.

On considère le nombre complexe X=−ƒ4 − 2√2 − .ƒ4 + 2√2.

1111----Calculer X², en déduire le module et un argument de X.

2222----Déduire de la question précédente les valeurs exactes de cos _o^a et sin _o^a.

∗∗∗∗ Exercice 29.

1111----Calculer : 2 + . .

2222----En déduire les racines cubiques de 2+11i.

Fiche de travaux dirigés n°3. Classe : Tle C/ Tchep’s

Exercice 30.

Soit A, B et C les points d’affixes respectives : 1+2i ; 2+i et 2 + √3 + +1 + √31..

1111----Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B, et déterminer un mesure des angles …†‡ ˆ et †‡…ˆ.

2222----Déterminer le point D, symétrique de A par rapport à B.

Quelle est la nature du triangle ADC ?

Exercice 31.

Soit A, B et C les ponts d’affixes respectives :− − 2. ; 1+2i et ⁸+ 6. .

1111----Démontrer que B est le milieu de [AC].

2222----Déterminer les affixes des points D et E tels que ADCE soit un carré de sens direct.

Exercice 32.

Soient les points † −1 + . , … −1 − . , ‡ 2. et ‹ 2 − 2. . 1111----Déterminer la nature des triangles ACD et BCD.

2222----Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 33.

Soit l’équation E : 7 + 27 + 27^#− 27 + 1 = 0. z∈ C . 1111----Démontrer que si 7L est solution de E , alors 7L est aussi solution de E .

2222----aaaa Déterminer les nombres réels a et b tels que : E

⇔

₇^#_{•<7 −W=}^#+ ) <7 −_W= + 3Ž = 0.

bbbb Résoudre dans

Q

l’équation : 7^#+ )7 + 3 = 0, puis l’équation E .

3333----Démontrer que les images des quatre solutions de E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 34.

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct.

1111----Résoudre dans

Q

l’équation 1 définie par : ^W"#_W" = 7. On donnera le module et un argument de chaque solution.

2222----Résoudre dans

Q

l’équation 2 définie par : ^W"#_W" = .. On donnera la solution sous forme algébrique.

3333----Soit M, A et B les points d’affixes z, 1 et 2. On suppose que M est distinct des points A et B.

aaaa Interpréter géométriquement le module et un argument de ^W"#_W" .

bbbb Retrouver géométriquement la solution de l’équation 2 .

4444----aaaa Montrer à l’aide d’une interprétation géométrique que toute solution de l’équation dans

Q

: <^W"#_W" =^@= ., où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle _#. bbbb Résoudre alors dans

Q

l’équation 3 : <^W"#_W" =^#= .. On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 35.

Partie A Partie A Partie A

Partie A :::: On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par

P z = 7 + 2√37 + 87^#+ 2√37 + 7.

1111----aaaa Calculer P i et P −i .

bbbb Montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré que l’on déterminera tel que : pour tout z∈

Q

,

P z = 7^#+ 1 Q z .

2222----Résoudre dans C l’équation P z =0.

Partie B Partie B Partie B

Partie B :::: Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, {|}, ~} .

1111----Placer dans ce repère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA=i, zB=−i, zC=−√3 + 2. et zD=−√3 − 2..

Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre [CD].

2222----Montrer que qu’il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entière approchée à un degré près d’une mesure de l’angle de cette rotation.

3333----Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique le rapport ^W_W^’_”^"W_"W^“_“, et interpréter géométriquement le module et un argument.

Exercice 36.

On considère le polynôme P z = 7 + 177 − 287^#+ 260, où z est un nombre complexe.

1111----Déterminer deux nombres a et b tels que : P z = 7^#+ )7 + 3 7^#+ 47 + 20 . 2222----Résoudre dans

Q

l’équation P z =0.

3333----Placer dans un repère orthonormal direct, les points M, N, P et Q images respectives des nombres complexes

m=−2+4i, n=−2−4i, p=2+3i et q=2−3i.

4444----aaaa Déterminer le nombre complexe z vérifiant : _W"—^W"–= ..

Placer son image K dans le repère.

bbbb En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K. 5555----aaaa Déterminer par le calcul l’affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL.

bbbb Déterminer l’affixe du point d’intersection R de la droite KL avec l’axe de abscisses.

cccc Montrer que M, N, P et Q sont cocycliques.

Exercice 37.

On considère le nombre complexe

a = − 3 + i

. 1111----aaaa Déterminer de deux façons différentes les racines carrées de a.

bbbb En déduire les valeurs de

5 cos 12

π

_et

⁵ sin 12

π

. 2222----Soit l’application du plan dans lui-même qui à tout point

M d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

( )

' 1 3 5 3

z = + i z − i

_.

aaaa Montrer que f admet un unique point invariant

Ω

.

bbbb Montrer que f est la composée d’une rotation et d’une homothétie. On précisera l’angle de la rotation et le rapport

de l’homothétie

Fiche de travaux dirigés n°3. Classe : Tle C/ Tchep’s

Exercice 38.

Soit le polynôme š 7 = 7 + 37 +^p_#7^#+ 37 + 1. Le but de l’exercice est de résoudre dans ℂ des nombres complexes l’équation š 7 = 0

1.

1.1.

1. Comparer š 7œœœœœœ je š 7̅

2.

2.

2.

2. On suppose que š 7L = 0 aaaa Montrer que 7L≠ 0

bbbb Montrer que : š 7ž = 0 ; š <L _WŸ= = 0 je š <_WœœœŸ= = 0 3. a

3. a 3. a

3. a Calculer š −1 + .

bbbb En déduire la résolution de l’équation š 7 = 0.

cccc Ecrire chacune des solutions sous le forme exponentielle

4.

4.

4.

4. Donner l’écriture complexe de la symétrie centrale S de centre d’affixe ¡ = 1 + 2.. En déduire une équation cartésienne de l’image par S de la droite ‹ : 2I − ¢ + 1 = 0 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal

( ; , ) O u v r r

d’unité graphique 1cm....

Exercice 39.

Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct z, j|||}, j|||} . #

Déterminer et représenter les ensembles de points M du plan dont l’affixe z vérifie la condition indiquée.

aaaa |7 + 7 − 1| = 4 ; bbbb |7 − 7 − 1 + .| = 2 ; cccc )£¤ 3. − 7 ≡ 0[2¦]

dddd )£¤ 7 − 3 + . ≡^a[¦] ; eeee )£¤ <_{W #}= ≡^a_#[¦] ; ffff )£¤ 7^#− 4 ≡ arg 7 + 2 [2¦].

Exercice 40.

On considère dans l’ensemble

Q

des nombres complexes le nombre

z = 4 − 2 2 − i 4 + 2 2

1111---- Calculer z²

2- En déduire le module et un argument de z 3333---- En déduire les valeurs exactes de

8 cos 5 π

et

8 sin 5 π

.

Exercice 41.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct

( ^{O e e , , ur uur}

^{1 2}

)

. Soit A le point d’affixe 2i et f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distinct de A, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :

2 5

' 2

z iz

z i

= −

−

^.

1111----Démontrer que f admet deux points invariants.

2222----Démontrer que f est bijective et déterminer son application réciproque.

3333----Démontrer que la droite de repère

( ) ^{O e , uur}

² , privée de A, est globalement invariante par f.

4444----aaaa Démontrer que :

z ' 2 − ⋅ − i z 2 i = 9

. bbbb En déduire l’image par f du cercle C de centre A et de

rayon R.

cccc Déterminer R pour que C soit globalement invariant par f.

Exercice 42.

Z

désigne le nombre complexe conjugué de

Z

. On appelle U le nombre complexe défini par :

U = Z

²

− 2 Z + 1

1.1.1.

1. On pose

Z

= x + iy où x et y sont des nombres réels.

Calculer en fonction de x et y, la partie réelle X et la partie imaginaire Y du nombre complexe U.

2.

2.2.

2. Déterminer, puis représenter dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, l'ensemble des points dont l'affixe

Z

et telle que U soit un nombre réel.

3.

3.3.

3. Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que U= 0.

4.

4.4.

4. Soit A, B, C les images respectives des nombres complexes : 1 ; -1+ 2i ; - 1– 2i.

Placer les points A, B, C et montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.

Exercice 43.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct z; {|}, ~} .

A tout point M du plan différent de O, d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ tel que : 7^y=^#L_W , où 7 désigne le nombre conjugué de z.

1111---- Montrer que les points O, M et M’ sont alignés.

2222---- Soit Δ la droite d’équation x = 2 et M un point de Δ.

aaaa Vérifier que 7 + 7 = 4.

bbbb Exprimer 7^y+ 7′ en fonction de z et 7, en déduire que 5 z’+7′ =z’7′.

cccc En déduire que M’ appartient à l’intersection de la droite OM et d’un cercle Γ à caractériser. Placer M’ sur la figure.

Exercice 44.

1111---- Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z⁴ = 1.

2222---- Déterminer la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes solutions de z⁴ =

^{8 1} ( ^{− i 3} )

^.

3-Vérifier que a =

6 2 6 2

2 i 2

− + +

est une racine

quatrième de

^{8 1} ( ^{− i 3} )

^.

4444----En déduire la forme algébrique des solutions de l’équation : z⁴ =

^{8 1} ( ^{− i 3} )

^.

5555---- Déduire des questions 2 et 4 les valeurs exactes de

17 11

12 12

sin π et sin π

.