Pince acoustique : piégeage et manipulation d'un objet par pression de radiation d'une onde progressive

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par pression de radiation d’une onde progressive

Diego Baresch

To cite this version:

Diego Baresch. Pince acoustique : piégeage et manipulation d’un objet par pression de radiation d’une onde progressive. Acoustique [physics.class-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. Français. �NNT : 2014PA066542�. �tel-01165034�

Spécialité : Acoustique Physique

Présentée par :

Diego Baresch

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

Sujet de la thèse :

Pince Acoustique

Piégeage et manipulation d’un objet par pression de radiation d’une onde progressive

À être condidérée pour sa soutenance

devant le jury composé de :

Rapporteur Pierre Thibault - professeur

Rapporteur Vincent Tournat - chargé de recherche Examinateur Anne-Christine Hladky - directeur de recherche Examinateur François Graner - directeur de recherche Examinateur Stéphane Régnier - professeur

Directeur de thèse Jean-Louis Thomas - directeur de recherche Directeur de thèse Régis Marchiano - professeur

4, place Jussieu, 4, place Jussieu, BC 270, 75252, PARIS cedex 05, FRANCE 75252, PARIS cedex 05, FRANCE

Une onde acoustique qui rencontre un obstacle exerce, en moyenne, une force sur sa surface. La pression associée est appelée pression de radiation et résulte d’une interaction non linéaire entre l’onde et l’obstacle.

Initialement, la faible manifestation de cette force ne suggérait pas d’applications po-tentielles. Néanmoins, avec l’avènement de sources acoustiques de haute puissance mais aussi avec le développement de l’acoustique ultrasonore, il a rapidement été envisagé de manipuler de petits objets à distance par pression de radiation. Depuis, c’est via l’exci-tation d’ondes sl’exci-tationnaires dans des cavités que cette méthodologie connait son essor. On parle alors de lévitation acoustique ou bien d’acoustophorèse lorsqu’il s’agit de trier et séparer de particules dans un milieu fluidique.

Parallèlement, la pression de radiation de la lumière a elle aussi rapidement permis de piéger et de manipuler des objets de taille nanométrique à micrométrique. Grâce à un unique laser fortement focalisé, la pince optique a donné une grande flexibilité aux techniques de manipulation sans contact et est devenue un outil fondamental pour de nombreuses disciplines scientifiques. Cependant, les faibles forces développées, les impor-tantes intensités lumineuses et la petite taille des objets en sont d’imporimpor-tantes limites, particulièrement pour leur application en biologie.

Alors que les domaines de l’acoustique et de l’optique présentent un certain nombre de similitudes, il n’existe pas l’équivalent de la pince optique en acoustique utilisant un unique faisceau pour piéger des particules. Le travail de recherche présenté ici donne un ensemble d’éléments théoriques et expérimentaux profitables à la fois pour la compréhension de la pression de radiation en acoustique et le dimensionnement d’une pince acoustique utilisant un unique faisceau ultrasonore : le vortex acoustique. Ce travail trace l’esquisse d’une nouvelle méthode de manipulation sans contact et qui promet de donner une véritable dextérité de préhension à la pince acoustique à l’échelle de la particule unique. Les faibles intensités nécessaires associé aux larges forces développées sont des caractéristiques qui sauront se montrer attractives pour imaginer un large panel de nouvelles applications scientifiques.

As an acoustic wave impinges an obstacle, a mean force is exerted on its surface. This so-called radiation pressure arises from the non linear interaction between the wave and the object.

The early history of this force did not suggest any application of such a feeble effect. Nevertheless, as technological advances improved the prospects of new powerful sound sources so as the fast development of ultrasonics, it was rapidly considered to use the acoustic radiation pressure as a mean of non-contact manipulation of small objects. Ever since, standing wave schemes excited in cavities has been the preferred strategy that is becoming considerably popular. Such methodologies are known as acoustic levitation or acoustophoresis when particle sorting and separation in fluidic channels is considered.

In the same time, the radiation pressure of light was also recognised to accurately trap and manipulate small objects ranging in size from hundreds of nanometres to micrometres. Using a single focused laser beam, optical tweezers brought a great dexterity to non contact manipulation techniques and rapidly grew to become a fundamental tool in many scientific fields. However, the minuteness of the force, the very high intensities required and the smallness of trappable objects are important and well-known limitations in particular for biological applications.

Although optics and acoustics have shown many similarities, a strict acoustical ana-logue to optical tweezers using a single beam to trap small objects is yet to be demonstra-ted. Theoretical and experimental efforts are presented in this thesis and shed light on the underpinning physical mechanisms of single-beam acoustical tweezers. The analysis of a peculiar beam’s radiation pressure, i.e. acoustical vortices, unveiled new characteristics for single-beam trapping and manipulation. Our experimental demonstration along with the low intensities required and the large forces developed show promise for a wide spectrum of new scientific applications.

Résumé/Abstract 3

Table des matières 5

Introduction 9

I.1 Pression de radiation optique : échange de quantité de mouvement . . . 10

I.2 Pression de radiation acoustique : influence du milieu de propagation . . . 11

I.2.1 Définitions . . . 11

I.2.2 Pression de radiation de Langevin sur une sphère . . . 15

I.3 Application de la pression de radiation à la manipulation d’objets sans contact . . . 17

I.3.1 Pièges optiques . . . 17

I.3.2 Pièges acoustiques . . . 20

I.4 Objectifs de l’étude . . . 23

II Théorie tridimensionnelle de la pression de radiation exercée sur une sphère 27 II.1 Pression de radiation de Langevin : l’approche de Brillouin . . . 27

II.1.1 Avant propos . . . 27

II.1.2 Tenseur de radiation de Brillouin . . . 28

II.2 Problème de la diffusion d’un champ acoustique par une sphère élastique revisité . . . 32

II.2.1 Avant propos . . . 32

II.2.2 Potentiels acoustiques dans le formalisme des harmoniques sphériques 32 II.2.3 Application des conditions aux limites . . . 36

II.2.4 Illustrations de la diffusion par une sphère élastique . . . 41

II.2.5 Conclusion . . . 43

II.3 Expression de la force résultante dans le repère cartésien centré sur la sphère 43 II.3.1 Passage en champ lointain . . . 44

II.3.2 Composantes du vecteur force . . . 46

II.4 Cas particuliers : onde plane et faisceau de Bessel . . . 47

II.4.1 Force exercée par une onde plane progressive : King, Yosioka et Kawasima . . . 48

II.4.2 Force exercée par un faisceau de Bessel : l’approche de Marston . . 49

II.4.3 Définition et description d’une dislocation hélicoïdale : Force d’un vortex acoustique . . . 52

III Pression de radiation dans l’hypothèse d’une petite sphère :

généralisa-tion de l’approche de Gor’kov 57

III.1 Expression de la force dans la limite de petite sphère . . . 58

III.1.1 Coefficients de diffusion monopolaire R0 et dipolaire R1 . . . 58

III.1.2 Implication sur la pression de radiation . . . 59

III.1.3 Rappel sur la notion de monopole et dipôle acoustique . . . 61

III.1.4 Formulation finale et interprétation . . . 62

III.2 Cas d’une petite bulle de gaz . . . 64

III.3 Correction de la force due à la viscosité dynamique . . . 67

IV Application à la manipulation d’objets par pression de radiation 73 IV.1 Calcul numérique de la force sur une sphère . . . 74

IV.1.1 Avant propos . . . 74

IV.1.2 Détermination des coefficients Am n pour une position donnée de la sphère. . . 74

IV.1.3 Procédure et validation . . . 80

IV.1.4 Conclusion . . . 82

IV.2 Pression de radiation d’un faisceau de Bessel . . . 82

IV.2.1 Force sur une petite sphère a  λ dans un faisceau de Bessel . . . . 85

IV.2.2 Comportement axial et transverse de grandes sphères . . . 86

IV.2.3 Conclusion . . . 91

IV.3 Modélisation d’un champ acoustique focalisé dans le formalisme des har-moniques sphériques . . . 92

IV.3.1 Avant propos . . . 92

IV.3.2 Coefficients de forme d’un faisceau acoustique focalisé . . . 92

IV.4 Pression de radiation d’un faisceau focalisé sur une sphère . . . 96

IV.4.1 Faisceau axisymétrique . . . 96

IV.4.2 Système de faisceaux contra-propagatifs . . . 102

IV.4.3 Vortex acoustique focalisé : dimensionnement d’une pince acoustique 104 V La pince acoustique : démonstration expérimentale 119 V.1 Synthèse expérimentale de vortex acoustiques . . . 119

V.1.1 Avant propos . . . 119

V.1.2 Dispositif expérimental . . . 120

V.1.3 Le filtre inverse spatio-temporel pour la synthèse de vortex . . . 122

V.1.4 Propagation de vortex acoustiques focalisés . . . 125

V.2 Estimation de la force exercée sur une sphère en polystyrène. . . 133

V.3 Piégeage et manipulation d’une sphère avec la pince acoustique . . . 135

V.3.1 Avant propos . . . 135

V.3.2 Pince dans une configuration horizontale . . . 135

V.3.3 Évaluation de l’écoulement acoustique . . . 138

Conclusion 153

Bibliographie 167

Annexes 169

A Formalisme des harmoniques sphériques 171 B Potentiels scalaires de Debye 173

C Composantes du vecteur force 177

D Expression des coefficients du champ incident 181 E Diffusion basse fréquence d’une bulle 185 F Correction visqueuse au coefficient dipolaire R1 189

G Critères de convergence du calcul de la force au chapitre IV 193

H Conception des lentilles 197

Les techniques de manipulation d’objets, à distance et sans contact, ont une impor-tance pour un vaste domaine de disciplines scientifiques. Un objet qui est piégé et isolé des contraintes imposées par son environnement, peut ensuite être étudié en détail ou servir d’outil pour une autre application. L’emploi de ces méthodes donne fréquemment une information riche sur des mécanismes fondamentaux et variés, qui peut être associée à la force utilisée pour manipuler. Dans le cas de l’expérience célèbre de Millikan, la force élec-trostatique permettant de léviter des gouttelettes d’huile contre leur poids, a donné une première mesure du quanta de charge électrique attribué à l’électron [1]. Les expériences de lévitation magnétique ont permis, entre autre, une compréhension de la supraconduc-tivité et l’effet Meissner qui lui est associé [2]. Par ailleurs, le piégeage optique à l’aide de faisceaux lasers a donné accès à un nombre considérable d’études fondamentales sur les objets qui pouvaient être manipulés de cette façon [3] mais aussi sur les propriétés intrin-sèques de la lumière elle-même. Concernant les forces qu’exercent les ondes acoustiques, elles ont permis d’étudier les propriétés fondamentales de liquides en suspension dans des cavités à ondes stationnaires [4], ou encore, de donner un cadre approprié pour l’étude du phénomène spectaculaire qu’est la sonoluminescence [5].

La pression de radiation acoustique est le cadre dans lequel s’inscrit ce travail. Cet effet ondulatoire non linéaire caractérise la force moyenne exercée sur un objet en interaction avec l’onde. Les pinces optiques, qui utilisent la pression de radiation de la lumière, per-mettent de piéger et de manipuler une particule avec la pression de radiation d’un unique faisceau laser. Ce schéma, très simple, rend la pince optique performante et facilement manœuvrable dans l’espace. Sa dextérité en ont fait un outil très puissant pour de nom-breuses études scientifiques. Parallèlement, les techniques de manipulation sans contact en acoustique commencent à révéler de nombreux atouts et suscite un net regain d’inté-rêt d’une vaste communauté scientifique. Néanmoins, à l’heure actuelle, aucun dispositif n’a intégré le concept de pince à faisceau unique qui a donné une véritable dextérité de préhension à son homologue optique, limitant ainsi le dessein favorable offert à la force acoustique. Par une analyse détaillée de la pression de radiation acoustique, l’objectif de cette thèse est donc de comprendre les mécanismes de la manipulation sans contact d’un objet à l’aide d’un unique faisceau ultrasonore focalisé. Dans ce premier chapitre introductif, nous retraçons l’historique des concepts de pression de radiation à la fois en optique et en acoustique. Nous dressons ensuite un bilan des applications de ces forces à la manipulation d’objets sans contact. Pour finir, nous présentons les objectifs principaux de cette étude ainsi que l’organisation du manuscrit.

I.1

Pression de radiation optique : échange de quantité

de mouvement

Historiquement, l’idée que la lumière puisse posséder une quantité de mouvement et ainsi exercer une force sur un objet neutre, ou encore une pression de radiation1_{, remonte}

aux observations astronomiques de Kepler (1612). Afin de proposer une explication à l’orientation particulière de la queue de poussière2 _{des comètes orbitant à proximité du}

soleil, il invoque un effet mécanique de la lumière provenant de celui-ci. En 1873, Maxwell dans sa théorie de l’électromagnétisme a écrit : "Hence in a medium in which waves are propagated there is a pressure in the direction normal to the waves and numerically equal to the energy in unit volume", formulant ainsi théoriquement l’existence de la pression de radiation3. Les contraintes électromagnétiques qui régissent l’action mécanique de la lumière s’écrivent : σij = 1EiEj+ 1 µ1 BiBj − 1 2 1E 2 ₊ 1 µ1B 2
_δ ij, (1)

où Ei et Bi sont la i−ème composante du champ électrique et magnétique. 1, µ1 sont

respectivement la permittivité et la perméabilité diélectrique du milieu (supposé transpa-rent) et δij le symbole de Kroenecker. Ce tenseur de rang deux se rencontre sous le nom

de tenseur des contraintes de Maxwell ou encore tenseur de Minkowski4_{. On peut alors}

calculer la force moyenne exercée sur un objet rencontrant l’onde électromagnétique par :

Fi =

Z

S

hσijinjdS. (2)

où Fi est la force qui s’exerce dans la direction i sur l’objet et la convention de sommation

d’Einstein a été adoptée. S est une surface qui l’entoure complètement et de vecteur normal extérieur nj. La force nette est donc un effet obtenue en prenant la moyenne temporelle

h·i des contraintes électromagnétiques. Si la lumière se réfléchit en incidence normale sur une surface plane, la pression associée à cette force se réduit à :

P = hN i

c = hwi (3)

1. Aussi usuellement rencontrée sous le nom pression de rayonnement.

2. La queue de poussière provenant de la fonte de la comète à proximité du soleil est électriquement neutre. Une deuxième queue est distinguée de la première car les ions légers qui la composent sont eux poussés par le vent solaire.

3. Notons dès à présent, que le concept de pression est utilisé comme une force par unité de surface et non pas comme une pression hydrostatique. Dans le cadre de l’acoustique, cette différence sera à l’origine de nombreuses confusions.

où N est le module du vecteur de Poynting, ~N = ~E ∧ ~B. Cet effet est donc non linéaire et est proportionnel au carré de l’amplitude du champ, plus exactement à la densité d’énergie électromagnétique, hwi. La force appliquée peut aussi être comprise par la deuxième loi de Newton et la quantité de mouvement que possèdent les photons. La surface exerce une force sur un photon qui la percute par vertu de la modification de sa quantité de mouvement (après réflexion). La troisième loi de Newton indique alors que la surface ressent une force égale mais de direction opposée.

En appliquant cette expression au calcul de la pression de radiation exercée par notre soleil, Maxwell trouve une pression très faible dont l’effet mécanique serait difficilement observable. En effet, il faudra attendre le début du XXème siècle pour avoir la première confirmation expérimentale des valeurs avancées par la théorie de Maxwell. Indépendam-ment, Lebedev [6] (1901) et Nichols et Hull [7] (1903) ont mesuré la pression de radiation exercée par un faisceau de lumière5_{. Depuis, de nombreuses applications de cette force}

ont vu le jour et nous détaillerons plus loin une des manifestations les plus spectaculaires : la manipulation d’objets sans contact.

I.2

Pression de radiation acoustique : influence du

mi-lieu de propagation

I.2.1

Définitions

Peu de temps après la vérification de l’existence d’une pression de radiation en op-tique, son analogue acoustique a été recherché et comme souvent, l’histoire commence avec Rayleigh. En 1905, il publie une expression pour la pression de radiation qui porte aujourd’hui son nom [8]. Dès ses débuts, le concept a connu des difficultés. En effet, Ray-leigh lui même avait déjà donné une autre expression pour cette pression [9] en 19026. La situation est différente de celle rencontrée en optique puisque le milieu dans lequel l’onde se propage est lui-même mis en mouvement. Cette surpression acoustique, liée uniquement à la présence de l’onde, pourrait en principe participer elle-même à la pression de radia-tion. Par ailleurs, il est aisé de vérifier qu’une onde mécanique ne possède pas de quantité de mouvement [10], et la vision corpusculaire propre à l’optique n’est pas adéquate pour une onde mécanique. Une erreur pourtant commise par Rayleigh en reprenant les propos de Poynting s’exprimant sur le sujet et qui lui valu une critique de Brillouin [11].

Ainsi en acoustique, la pression de radiation ne peut pas se résumer à une simple force par unité de surface, exercée par un faisceau qui transporte une quantité de mouvement.

5. Le dispositif expérimental menant à la démonstration porte le nom de radiomètre de Nichols. Il n’est pas à confondre avec le radiomètre de Crookes dont la rotation avait initialement été attribué par l’inventeur à la pression de radiation, initiant ainsi une controverse scientifique. L’explication finale de la propulsion de ce système réside dans la force résultant de l’apparition d’un gradient de température.

6. Rayleigh l’a obtenue en prenant l’hypothèse d’une onde plane se propageant dans un gaz isotherme. Cette deuxième expression est aujourd’hui celle connue pour la pression de radiation de Langevin qui a été obtenue dans l’hypothèse, correcte, de transformation adiabatique.

Le point de départ est de calculer "l’excès de pression" moyen qui existe à la surface de l’objet, et qui, intégré sur cette surface, donne la force moyenne. Procédant ainsi, Rayleigh donne pour une onde plane en incidence normale sur un objet plan :

hpL_{i − p}

0 =

β

2hEi (4)

où hEi est la densité moyenne d’énergie Lagrangienne transportée par l’onde, β le coeffi-cient de non-linéarité du milieu et p0 sa pression hydrostatique au repos. Pour obtenir la

force, il faut ensuite évaluer l’excès de pression moyen (dans le temps) dans le repère lié à la surface mobile de l’objet. Les coordonnées matérielles sont utilisées et la pression la-grangienne, pL_{, est de rigueur}7_{. L’excès de pression selon Rayleigh semble donc purement}

non linéaire puisqu’il est nécessaire de considérer les termes d’ordre deux dans la propa-gation de l’onde pour obtenir l’excès de pression à l’ordre deux et proportionnel à β8_{. Le}

cas qu’il traite pour obtenir cette expression est celui d’une onde plane d’extension infinie incidente sur une surface plane. De manière équivalente, cette situation peut être repré-sentée par une onde plane confinée dans son milieu de propagation sans communication avec le milieu extérieur au repos.

Langevin qui s’est lui aussi intéressé au problème après Rayleigh, donne une deuxième expression pour l’excès de pression statique qui s’écrit [13]9 _:

hpL_{i − p}

0 = hV i + hT i = hEi (5)

cette équation porte le nom de première relation de Langevin où hV i et hT i sont respec-tivement les densités d’énergies potentielle et cinétique de l’onde. Dans le cas de l’onde plane, l’équipartition de l’énergie donne hEi. Le cas traité par Langevin est foncièrement différent. L’onde plane n’est plus confinée mais peut communiquer avec le reste du milieu au repos. D’après Hertz et Mende [14], cette communication implique un équilibrage de la pression statique entre la région excitée et celle au repos. Une fois équilibré, l’excès de pression statique dans la région excitée demeure d’ordre deux mais se calcule avec suffisamment de précision à partir de la densité d’énergie transportée par la perturbation acoustique hEi. Il apparait alors inutile de faire intervenir les non-linéarités du milieu.

En somme, l’influence du milieu de propagation apparaît donc aussi par l’existence de deux méthodes pour calculer l’excès de pression. Il existe alors deux expressions de la pression de radiation qui intégrées sur la surface excitée donnent la force acoustique moyenne :

7. Il est bien sûr possible d’utiliser les coordonnées d’Euler à la condition de remarquer que les quantités de second ordre ne sont pas égales dans les deux représentations [12].

8. Ceci est fait en cherchant le premier terme qui viole la loi de Hooke dans l’équation d’état. 9. Les développements de Langevin exposés au sein du Collège de France ont été publiés par son étudiant, Pierre Biquard en 1932.

pR = hpLi − p0 =

β

2hEi (6)

pL = hpLi − p0 = hEi (7)

où pR et pL sont respectivement les pressions de radiation de Rayleigh et de Langevin.

Il est régulièrement avancé que cette différence de point de vue est la conséquence d’un problème mal posé. D’après Hertz et Mende [14], les conditions nécessaires pour obtenir l’expression de Rayleigh apparaissent comme purement théoriques. En effet, en milieu libre, la communication avec le milieu au repos est inévitable et rares sont les systèmes donnant lieu à la propagation d’une onde plane dans un milieu confiné10. Les configura-tions expérimentales conduisent majoritairement à la pression de radiation de Langevin. La deuxième moitié du XXème siècle a alors vu apparaitre un ensemble de confusions sur le sujet. La lecture des articles de synthèse [15, 11, 16, 17] est recommandée.

Par ailleurs, une autre portion de la littérature est venue défier les deux précédents concepts sous l’élan de Brillouin. Dans son analyse du problème [18, 19], il donne une toute autre dimension à la pression de radiation. De prime abord, il peut être pensé que la pression de radiation de Langevin (Eq. (5)) est applicable dans un problème tridimen-sionnel et indépendamment de la nature de l’onde (l’hypothèse d’onde plane n’est pas nécessaire pour obtenir la première relation de Langevin). La densité d’énergie hV i + hT i serait alors la quantité scalaire universelle appelée pression de radiation. Il n’en est rien. Brillouin a montré en coordonnées Eulériennes que la force se calcule à partir d’un tenseur de rang deux homogène à une pression. Nous verrons en détail au chapitre suivant que la force moyenne qui s’exerce sur l’objet s’écrit alors :

Fi =

Z

S

hΠijinjdS, (8)

où le tenseur de radiation de Brillouin a pour expression :

hΠiji = hpEiδij + hρvivji. (9)

S est une surface entourant complètement l’objet et immobile dans le repère Eulérien. Le vecteur ~n est la normale sortante de cette surface. Remarquons une analogie formelle avec la force électromagnétique. Les contraintes sont elles aussi tensorielles (Eq. (1))11. L’excès de pression, hpEi, se calcule en coordonnées Eulériennes. Une deuxième relation rapportée par Biquard [13] est :

hpE_{i = hV i − hT i + C (10)} 10. Un tube à ondes stationnaires excité à basse fréquence peut rendre compte de cette situation. 11. L’analogie s’arrête là. Le photon a une quantité de mouvement bien définie alors que la pseudo-particule appelée phonon n’en a simplement pas.

qui est la deuxième relation de Langevin. C est une constante en temps et en espace qui, dans le cadre des équations (8) et (9), ne contribue pas à la force (l’intégration s’effectuant sur une surface fermée). Par contre, elle importe pour trouver le lien entre l’excès de pression Eulérien (10) et la pression de radiation de Rayleigh [20]. Il est à noter que l’équation (10) est une relation qui n’est valable qu’au second ordre acoustique [12] et s’écrit : hpE_{i =} 1 2ρ0c2 hp2 1i − 1 2ρ0h|~v (1)_|2_{i = −L (11)}

où c est la vitesse de propagation acoustique et ρ0 la masse volumique du milieu au repos.

L est la densité Lagrangienne d’énergie de l’onde. L’excès de pression qui intervient dans le tenseur de Brillouin se calcule donc avec la seule connaissance du champ de pression p1 et de vitesse ~v(1) au premier ordre. Puis, seulement dans le cas où l’onde incidente est

plane, disons ~v(1) _{= (v, u = 0, w = 0), on a alors pour un objet plan orienté suivant la}

direction de propagation ~e1 : F1 = Z S hΠ11i dS = Z S hEi dS, F2 = Z S hΠ12i dS = 0, (12) F3 = Z S hΠ13i dS = 0. (13)

puisque L = 0 en conséquence de l’équipartition de l’énergie d’une onde plane et ρ0v2 =

2hT i = hEi. Ce n’est que dans ce cas que l’on retrouve la pression de radiation de Lan-gevin. Par contre, si l’onde n’est pas plane ou l’objet quelconque, la force n’est pas direc-tement proportionnelle à la densité d’énergie portée par l’onde. On rejoint le concept de Brillouin ; il n’existe aucune quantité scalaire qu’on pourrait appeler pression de radia-tion et qui serait définie universellement. Le concept de force moyenne qui est tensorielle dépend fondamentalement de la forme de l’objet et de la nature du champ incident12_.

Pour illustrer ce point, la figure 1 est extraite du travail de Hertz et Mende. Elle montre très clairement que l’interface entre deux fluides immiscibles est sujette à une pression de radiation provenant du faisceau ultrasonore qui s’y propage. De plus, on voit que le sens de la déformation dépend du contraste d’impédance entre les deux fluides et ne dépend pas uniquement du sens de propagation. La pression de radiation dépend donc de la va-leur du tenseur de Brillouin dans chaque milieu qui par voie de conséquence dépend des coefficients de réflexion et de transmission de l’énergie à l’interface.

À la lumière de nos connaissances, nous résumons la situation comme suit. Il y a une controverse pour calculer l’excès de pression qui, in fine, exerce une force sur un objet.

12. Brillouin préféra parler de "tensions de radiation" puisqu’en général ce tenseur ne correspond pas à une contrainte isostatique. Nous garderons ici la terminologie de pression de radiation pour désigner la force acoustique.

Figure 1 – Photographie reproduite de l’expérience de Hertz et Mende [14]. Une onde se propage dans un milieu constitué de deux fluides immiscibles, l’eau et le Tétrachloromé-thane (CCl4). La déformation de l’interface sujette à une pression de radiation dépend de l’impédance acoustique de chaque milieu.

Alors que la pression de radiation de Langevin a été confirmée a plusieurs reprises expé-rimentalement, la pression de radiation de Rayleigh semble plus en difficulté même si le débat n’est probablement pas clos [21, 22]. Il s’agit donc de rester prudents. Néanmoins, la vision tensorielle de Brillouin associée à la seconde relation de Langevin, est une pro-cédure sure et confirmée à plusieurs reprises dans la littérature que ce soit théoriquement ou expérimentalement. C’est notamment le cas pour la pression de radiation qui s’exerce sur une sphère, un problème que nous allons maintenant aborder.

I.2.2

Pression de radiation de Langevin sur une sphère

Louis King [23] est le premier à avoir considéré ce problème (1935). Dans le formalisme des harmoniques sphériques, il calcule la pression de radiation qu’exerce une onde plane (progressive ou stationnaire) sur une sphère rigide (la sphère est un réflecteur parfait pour l’onde). Il obtient un résultat important en considérant une sphère de petite taille devant la longueur d’onde ; la force est beaucoup plus élevée dans une onde stationnaire. Son approche est reprise pour des fronts d’onde sphériques par Embleton [24]. Yosioka et Kawasima (1955 [25]) étendent l’approche de King pour prendre en compte l’élasticité de la sphère. Ils observent alors des pics de résonance dans la force attribués à des ondes qui se propagent à la surface de la sphère. De manière remarquable, ils confirment leur prévision théorique dans une expérience utilisant une sphère de silice suspendue à un fil [26, 27]. Une application rapidement visée était l’étalonnage des transducteurs ultrasonores utilisés dans les applications médicales. L’intensité du faisceau peut être déduite de la force. Une

méthode proposée par Dunn [28] utilise une sphère suspendue sur un pendule et permet de mesurer la pression de radiation exercée. Néanmoins, il a rapidement été reconnu que l’hypothèse d’onde plane, propre aux travaux de King, Yosioka et Kawasima, était rarement rencontrée en expérience. Chen et Apfel [29, 30] s’intéressent alors au problème de la force exercée sur une sphère élastique positionnée sur l’axe de propagation d’un faisceau focalisé. Il ressort de leur étude l’importance de la position relative de la sphère par rapport à la focale du transducteur. Ils ne traitent pas le cas d’une sphère positionnée hors de l’axe de propagation. Les études citées précédemment supposent une symétrie importante : dans le repère lié à la sphère, le champ incident doit être axisymétrique. Il est évident que positionner une sphère hors de l’axe d’un faisceau, ou bien supposer un champ aux fronts d’onde quelconques suffit à briser cette hypothèse forte. Marston, dans une série de publications dédiée à l’étude des faisceaux de Bessel13, calcule la force qu’ils exercent sur une sphère élastique [31, 32, 33, 34, 35]. Procédant astucieusement à une décomposition du champ incident en une superposition d’ondes planes, il applique les résultats bien connus pour celles-ci. Son analyse est cependant elle aussi restreinte au cas d’une sphère placée sur l’axe du faisceau. Son approche montre clairement l’importance du calcul du champ diffusé et la difficulté qui en résulte quand elle est située hors de l’axe du faisceau.

Pourtant, la position de la sphère dans la scène sonore est un élément très important pour l’ensemble des applications qui peuvent être imaginées. En effet, sous l’action de la pression de radiation, la sphère ne restera pas statique. Hormis le cas spécial de l’onde plane, la force ressentie par la sphère différera souvent fortement suivant sa position. Animés par les applications visant à manipuler un objet avec un faisceau acoustique, Shung et al. [36, 37] ont considéré la force exercée sur une sphère par un faisceau de type Gaussien. Ils se placent dans le régime de l’acoustique géométrique ; la taille de la sphère est contrainte à être grande devant la longueur d’onde du faisceau.

Prenant l’hypothèse inverse, i.e. une sphère très petite devant la longueur d’onde, Gor’kov (1962) donne une expression élégante de la force pour une sphère placée n’im-porte où dans un champ de type stationnaire [38]. Il remarque alors que dans le cas d’ondes stationnaires, la pression de radiation acoustique est une force conservative et donc qui dérive d’un potentiel. La topologie de ce potentiel (soit aussi la stabilité de la force acoustique) dépend de deux contrastes différents. Le premier compare la compres-sibilité du fluide et celui de la sphère. Il caractérise la capacité de la sphère à rentrer en oscillation monopolaire. Un deuxième contraste dit d’inertie, caractérise la capacité de l’onde à accélérer une particule dans un mouvement dipolaire et dépend de la densité du fluide et de l’objet. Du fait de la simplicité de son expression analytique, mais aussi de son large champ d’application, il est devenu possible de prévoir la force ressentie par la sphère pour une position quelconque de celle-ci. Son expression est de loin la plus utilisée pour les applications de la pression de radiation en acoustique. Récemment, Settnes et Bruus [39] ont étendu la théorie de Gor’kov pour prendre en compte la viscosité du milieu.

13. Ce sont des solutions particulières de l’équation de Helmholtz en coordonnées cylindriques. Nous les décrirons en détail au chapitres II et III.

L’étude des vortex (des faisceaux particuliers aux fronts d’onde hélicoïdaux14_{) ont}

dé-montré d’importantes propriétés pour la manipulation d’objets en optique. Obtenus plus récemment en acoustique, l’étude de leur pression de radiation a aussi suggéré des poten-tialités. Marston [34] étudie le cas des faisceaux de Bessel hélicoïdaux et leur découvre la propriété de pouvoir tirer de manière continue un objet vers la source du faisceau. Un effet qui a été rediscuté par la suite [40]. Kang et al. [41] appliquent l’analyse de Gor’kov à un exemple particulier de ces faisceaux mais ne semblent pas avoir considéré que leurs fronts d’onde étaient progressifs (la théorie de Gor’kov ne s’appliquant pas).

Prenant en compte un champ acoustique aux fronts d’onde quelconques ainsi qu’une position et une taille de la sphère arbitraires, il semble, qu’à l’heure actuelle, aucun modèle analytique suffisamment général n’existe pour traiter un ensemble de situations impor-tantes (faisceaux tridimensionnels, progressifs et stationnaires). Bien que des approches numériques utilisant la méthode des différences finies [42], des volumes finis [43] et des éléments finis [44] aient donné des résultats satisfaisants en deux dimensions (problèmes axisymétriques), aucune ne propose de traiter un problème général à trois dimensions.

I.3

Application de la pression de radiation à la

mani-pulation d’objets sans contact

I.3.1

Pièges optiques

La faiblesse des forces optiques prédites par la théorie de Maxwell (Eq. (2)) ne lais-saient pas envisager de réelles applications. Seulement en astronomie, où les intensités lu-mineuses sont énormes, voyait-on une manifestation de l’effet mécanique de la lumière15_.

Il a fallu attendre l’avènement des premiers lasers pour significativement changer la si-tuation. En 1970, Arthur Ashkin observe pour la première fois l’accélération de particules micrométriques et leur piégeage dans un puits de potentiel stable [3]. Le schéma de ses expériences est montré à la figure 2. Procédant dans l’eau, la pression de radiation d’un seul laser accélère les particules de latex dans la direction de propagation du faisceau. Elles viennent alors percuter la boite à échantillons et restent piégées latéralement. Il a alors l’idée de contrer l’accélération axiale en utilisant un deuxième laser. Les particules étaient alors confinées entre la focale des deux faisceaux. Dès le départ, il entrevoit la possibilité de piéger des molécules et même des atomes. Ses recherches ont finalement mené au refroidissement d’atomes par laser [46, 47]16. En accordant la fréquence du laser à une des transitions atomiques, l’absorption et l’émission spontanée d’un photon permet

14. Ses faisceaux particuliers seront aussi présentés en détail au chapitre II.

15. Poynting avait écrit en 1905 : "A very short experience in attempting to measure these forces is sufficient to make one realize their extreme minuteness... a minuteness which appears to put them beyond consideration in terrestrial affairs... " [45]

16. Les développements d’Ashkin ont largement contribué aux travaux de Tannoudji, Chu et Phillips qui se sont vus décerner le prix Nobel de physique en 1997. Steven Chu a longtemps collaboré avec Ashkin au sein des Bell labotatories.

dans ce cas de ralentir les atomes et diminuer ainsi leur agitation thermique.

Figure 2 – Schéma reproduit de la première expérience d’Ashkin (1970). Il observe l’accélération de particules micrométriques sujettes à la pression de radiation d’un laser en (a) et les piège dans un puits de potentiel stable à l’aide d’un deuxième laser en (b).

Ce n’est qu’en 1986, qu’il propose d’utiliser la force de gradient d’un seul laser for-tement focalisé pour piéger des particules en trois dimensions [48]. Pour y parvenir, il fallait trouver une méthode pour contrer la forte accélération axiale qu’il observait dans ses premières expériences. L’utilisation de lentilles convergentes avec une forte ouverture numérique (atteignant le plus souvent un angle d’ouverture de 70◦) a permis de faire dominer la force attractive de gradient devant la force de poussée axiale résultant de la rétrodiffusion de la lumière. L’utilisation de particules transparentes devient aussi néces-saire (leur indice optique doit être proche de celui du milieu de propagation). Grâce a un laser fortement focalisé, la force agit donc localement comme un "ressort", maintenant la particule dans une unique position d’équilibre stable. Sur la figure 3 (a), il est possible de comprendre l’action du faisceau par la conservation du moment des photons incidents et réfractés par une sphère transparente. Cette expérience concluante marque l’invention des pinces optiques qui sont depuis devenues un outil formidable pour un vaste champ d’applications en chimie, biologie, robotique et en physique [49, 50, 51, 52]. Block [53] met l’emphase sur la grande dextérité offerte par ce schéma utilisant un faisceau unique et ses avantages pour les applications en biologie.

(a) (b)

Figure 3 – Principe de fonctionnement d’une pince optique. En (a), la force de gradient exerce un rappel sur une particule transparente quelque soit sa position près de la focale (schéma extrait de la référence [51]). En (b), photo prise par Ashkin d’une particule piégée dans un laser fortement focalisé.

Depuis, le développement de nouvelles fonctionnalités pour les pinces optiques en ont fait des outils courants d’investigation scientifique. Allen [54] a démontré l’existence d’un moment cinétique orbital bien défini pour les faisceaux de Gauss-Laguerre (un exemple de vortex optiques). Ce degré de liberté supplémentaire a permis de mettre en rotation des particules par absorption [55] pendant qu’elles étaient piégées. En outre, Simpson et al. ont pu distinguer l’action combinée du moment cinétique intrinsèque (de spin) et extrinsèque (orbital) que possèdent les photons d’un vortex optique [56, 57]. La dyna-mique de la particule piégée dépend fortement du milieu dans laquelle elle évolue. Une particule piégée peut ainsi devenir un outil pour sonder la rhéologie de divers fluides à l’échelle microscopique [58] et parfois même dans des conditions extrêmes de pression et de température [59]. La sphère piégée peut aussi agir sur le fluide comme le démontrent Leach et al. avec la mise en place d’une "micropompe" [60]. Grier a introduit le concept des "holographic optical tweezers" pour une reconfiguration en temps réel de la forme et des propriétés de multiples pièges [61, 62] donnant ainsi une importante flexibilité à cette méthode de micromanipulation.

Concernant les applications en biologie, il a dès le départ été reconnu que l’utilisation de pinces optiques pouvait causer un dommage irréversible sur les objets fragiles17_{. En}

effet, typiquement, l’intensité à la focale du faisceau fortement focalisé peut atteindre 107 à 108 _W/cm2 _{pour développer des forces faibles de l’ordre du piconewton. Ainsi le faisceau}

échauffe à la fois l’objet et le milieu et il devient nécessaire d’accorder le laser à une

lon-17. Dans l’expérience d’Ashkin (1986), les particules de latex piégées finissaient par fondre en quelques minutes voire secondes suivant l’intensité du faisceau. Il baptise "opticution" le dommage optique exercé sur les particules biologiques [63].

gueur d’onde proche de l’infrarouge . Aussi, l’intensité nécessaire pour piéger augmente avec la taille de l’objet. Néanmoins, la dextérité de l’outil reste très prisée des biologistes et biophysiciens. La technique privilégiée est d’utiliser une sphère micrométrique piégée comme une poignée attachée à une entité biologique pour venir mesurer son élasticité ou toute autre propriété. Cette technique a été appliquée à l’étude de molécules (telle l’ADN), virus ou bactéries [49, 64] .

I.3.2

Pièges acoustiques

À une toute autre échelle, il semblerait que la première observation d’un objet lévité par une onde acoustique ait été faite par Allen et Rudnick [65] en 1947. En rapportant sur la fabrication d’une sirène haute puissance dans les fréquences audibles, ils ont éga-lement observé, pour leur simple amusement, la lévitation de pièces de monnaie placées dans le champ acoustique ; un effet confirmé plus en détail peu après [66]. Les techniques de lévitation ont alors rapidement été développées sous l’élan de potentielles applications aérospatiales [67]. Elles utilisent un transducteur ultrasonore (émettant à une fréquence de 20 à 100 kHz environ), la plupart du temps focalisé, et un réflecteur pour créer une onde stationnaire dans une cavité. Les particules solides sont ainsi piégées dans les nœuds de pression du champ acoustique (voir Fig. 4). Finalement, en variant la fréquence d’émis-sion dans la cavité, les particules piégées peuvent être déplacées unilatéralement avec les lignes nodales [68]. La lévitation aérienne a rapidement mené à l’étude des oscillations de surface de gouttes excitées dans un environnement contrôlé [69]. Ceci est devenu un moyen d’obtenir une mesure directe de leur tension de surface [70] ainsi que de leur seuil de rupture [71]. Les dispositifs modernes de lévitation aérienne ont intégré la possibilité de contrôler davantage le puits de potentiel piégeant l’objet. De cette façon, un contrôle électronique de la position de l’objet dans l’espace a pu être démontré [72, 73]. Crum [74] a également démontré la possibilité d’utiliser une onde stationnaire pour piéger des gouttelettes fluides dans un tube rempli d’eau. Éventuellement, en remplaçant les gouttes par une bulle de gaz, ce sont des phénomènes tels que la sonoluminescence qui ont pu être étudiés [5].

Wu, en 1991, s’est inspiré du concept d’Ashkin pour tenter de piéger des particules à l’aide d’un seul faisceau ultrasonore focalisé. Dans son article intitulé "Acoustical twee-zers" [76] c’est avec deux faisceaux contrapropagatifs qu’il piège de petites particules de latex et des agglomérats d’œufs de grenouille. Sur la figure 5, nous montrons le schéma de son montage et une photographie d’agglomérats d’œufs piégés près de la focale des deux faisceaux acoustiques. Il justifie l’utilisation d’un deuxième émetteur par l’appari-tion d’un écoulement induit par l’atténual’appari-tion de l’onde acoustique (le "vent de quartz" ou vent acoustique). Le deuxième faisceau permet d’annuler l’écoulement et crée aussi une onde stationnaire axiale. Ce système, à la manière des systèmes de lévitation, permet d’obtenir un puits de potentiel stable pour les particules élastiques. Notons la similitude de son dispositif avec le premier montage d’Ashkin (Fig. 2) qui préféra distinguer la pince

Figure 4 – Photographie d’un système de lévitation acoustique (d’après Xie et al. (2001) [75]). Une onde stationnaire est créee entre un émetteur concave (en bas) et un réflecteur. Les particules solides sont piégées aux nœuds de pression.

optique de son piège à onde stationnaires. Lee et al. proposent des faisceaux ultrasonores haute fréquence (100 à 200 MHz) pour piéger latéralement des petites gouttelettes d’huile de silicone [77, 78]. À l’aide d’une fine membrane transparente aux ondes acoustiques, ils contrent l’accélération axiale induite par la pression de radiation du faisceau. C’est alors uniquement la force latérale qui permet de piéger et déplacer les particules. L’utilisa-tion d’un faisceau ultrasonore pour manipuler des particules est d’autant plus importante qu’elle est motivée par des avantages considérables offerts par l’acoustique. Nous avons vu que la force était proportionnelle à la densité d’énergie de l’onde à la fois en optique et en acoustique. Soit encore, au flux d’intensité divisé par la vitesse de propagation. La force d’une pince acoustique pourrait donc théoriquement dominer de cinq ordres de grandeur celle retrouvée en optique. Il serait alors possible de manipuler des objets macroscopiques et avec des forces abondantes, toute en réduisant les risques d’endommagement.

L’utilisation d’un faisceau acoustique pour manipuler des objets en trois dimensions semble encore difficile et l’idée n’a par la suite jamais été reprise. L’utilisation de la pres-sion de radiation acoustique à ainsi été limitée à des applications médicales. Ce n’est que très récemment et avec le développement rapide du domaine de la microfluidique [79] et des technologies de laboratoire sur puce ("Lab on a chip") qu’il y a eu un nouvel essor pour les forces acoustiques. Ces environnements fluidiques contrôlés permettent de réa-liser de nombreuses études chimiques et biologiques sur des quantités infimes de fluide ou sur des objets du vivant. La nécessite d’agir mécaniquement dans ces environnements a naturellement ouvert le domaine à l’utilisation de la pression de radiation acoustique. On parle alors d’une nouvelle discipline nommée "acoustofluidique" [80, 81]. Suivant la

Figure 5 – Schéma du montage à deux faisceaux de Wu et une photographie d’œufs de grenouille piégés dans l’eau. Deux transducteurs focalisés émettent des faisceaux ul-trasonores dans des directions opposées. Notez l’apparition de bandes axiales, signe de l’existence d’une onde stationnaire.

pression de radiation acoustique exercée sur un objet, l’acoustophorèse consiste à trier et séparer de multiples particules et à de hautes vitesses dans des micro-canaux [82, 83] et trouve des applications de concentration et de décontamination en biologie et médecine. Prenant le cas des bulles, leur excitation simultanée permet d’étudier des forces d’in-teraction qui expliquent leur auto-organisation [84]. Des bulles excitées dans ces milieux exercent à leur tour un pouvoir d’attraction dur les objets voisins et permettent de pié-ger et déplacer des microparticules dans ces milieux confinés [85]. Une autre technique émergente consiste à utiliser des ondes acoustiques de surface. Elles peuvent être générées par des multiples transducteurs inter-digités déposés sur un substrat piézoélectrique. On peut alors émettre des ondes progressives pour agir par exemple sur des gouttes [86, 87]. À l’instar de l’acoustophorèse et des techniques de lévitation acoustique, on peut aussi créer des puits de potentiels complexes dans les microcanaux à partir d’ondes de surface contre-propagatives. Trouvant dans un premier temps des applications pour le tri [88], il a rapidement été envisagé de déplacer et manipuler avec précision un objet unique dans cet environnement 2D [89] grâce à une configuration en temps réel du puits de potentiel. Néanmoins, ces techniques ne semblent pas pouvoir agir de manière localisée sur une seule particule puisque l’ensemble du milieu est excité.

Concernant la rotation contrôlée de particules, il est aussi connu que les ondes acous-tiques peuvent exercer un couple sur un objet. Ainsi, Dual et al. ont démontré la rotation de fibres de verre [43]. En déphasant deux modes orthogonaux d’une chambre microflui-dique rectangulaire, ils peuvent contrôler la carte spatio-temporelle du potentiel acous-tique et donc le couple qui s’exerce sur des particules non sphériques. Comme nous l’avons déjà évoqué pour l’optique, les faisceaux hélicoïdaux (ou vortex), possèdent un moment cinétique orbital et plus précisément un flux orbital de quantité de mouvement en ce qui concerne l’acoustique. Il a alors été démontré le transfert de ce flux angulaire avec des disques absorbants à la fois dans l’air avec des vortex acoustiques audibles [90, 91] et dans les liquides avec des vortex ultrasonores [92, 93].

I.4

Objectifs de l’étude

La volonté d’obtenir un direct analogue de la pince optique avec un unique faisceau ultrasonore a servi de fil conducteur pour l’ensemble de cette étude. Les méthodes acous-tiques de manipulation contrôlée reposent jusqu’à maintenant sur des systèmes d’ondes stationnaires essentiellement. Le concept d’Ashkin rapporté à l’acoustique semble pro-metteur pour obtenir une véritable dextérité de préhension et de manipulation à trois dimensions tout en présentant de nombreux avantages offerts par l’acoustique.

Au sujet des développements théoriques sur la pression de radiation qui s’exerce sur une sphère, nous avons montré qu’il n’existait aucun modèle suffisamment général pour analyser le comportement d’une sphère arbitrairement placée dans la scène sonore. La synthèse bibliographique ci-dessus a fait apparaitre les limitations suivantes :

prenant en compte la compressibilité de celle-ci sont tous deux limités à l’étude d’ondes planes.

– Leur généralisation au cas de faisceaux focalisés (Chen et Apfel) ou de Bessel (Mars-ton) constitue un premier pas pour la prise en compte de fronts d’onde arbitraires. Néanmoins dans leur étude, la sphère est contrainte à être placée sur l’axe de pro-pagation du faisceau.

– Dans la limite de petite sphère devant la longueur d’onde, la formulation analy-tique de Gor’kov a constitué un réel progrès pour modéliser l’action d’un champ stationnaire sur une sphère élastique dans un contexte tridimensionnel.

La première étape de ce travail est donc de développer une théorie tridimensionnelle de la pression de radiation qui s’exerce sur une sphère élastique. Le premier chapitre est consacré à ce point. Dans une première partie, nous montrons la procédure pour traiter le problème de la diffusion d’un champ arbitraire par une sphère élastique. De manière équivalente, cela permet aussi de considérer une position arbitraire de la sphère dans un champ incident fixé. Une fois déterminé, le champ acoustique total du premier ordre permet d’obtenir les éléments du tenseur de Brillouin et calculer les composantes de la force qui s’exerce sur la sphère. Ce calcul est montré dans une deuxième partie. La fin de ce chapitre est consacré à une comparaison et validation du résultat avec des expressions issues de la littérature.

Le résultat analytique obtenu pour les trois composantes de la force se présente sous la forme de séries infinies de plusieurs coefficients introduits pendant le calcul. Cette forme ne favorise pas l’interprétation physique de la pression de radiation exercée dans le cas général. Dans le deuxième chapitre, nous nous plaçons dans l’hypothèse de petite sphère devant la longueur d’onde et calculons la forme limite que prend la force. Dans ce régime, l’excitation de la sphère se résume à sa vibration monopolaire et son oscillation dipolaire. On retrouve alors la force de gradient de Gor’kov qui domine dans une onde stationnaire et s’exprime simplement à partir des dérivées du champ acoustique du premier ordre. Un deuxième terme est trouvé pour la force et est aussi exprimé à partir du champ est ses dérivées. Ce terme devient important pour toutes les ondes de nature progressive comme c’est le cas pour un faisceau acoustique ou d’autres systèmes d’ondes progressives.

Concernant les applications de la pression de radiation à la manipulation d’objets sans contact. La partie qui précède fait apparaitre les points suivants :

– Les pinces optiques d’Ashkin, ont bénéficié à un large spectre d’études scientifiques. Cette méthode de manipulation à faisceau unique est la plus simple à implémenter et présente une très bonne dextérité. Elle est limitée aux particules de taille na-nométrique à micrométrique. Les forces développées sont très faibles et des fortes intensités optiques sont requises.

stationnaires. De la lévitation jusqu’aux applications d’acoustofludique, la pression de radiation acoustique a montré une très bonne adéquation pour l’étude d’objets macroscopiques, et plus spécifiquement, les organismes biologiques. La dextérité de ces méthodes pour l’étude à l’échelle de la particule unique reste une limite.

– Les tentatives pour reproduire en acoustique le concept de pince tel que défini par Ashkin ne sont pas totalement concluantes. Il reste a comprendre et analyser les mécanismes de répulsion axiale qui mènent à une forte accélération de la particule dans la direction de propagation.

Dans un quatrième chapitre, nous appliquons la théorie obtenue dans l’objectif de com-prendre les mécanismes menant aux observations documentées et proposer une méthode satisfaisante pour piéger et manipuler des particules avec un unique faisceau ultrasonore. Théoriquement, une solution trouvée est d’utiliser des faisceaux focalisés particuliers : les vortex acoustiques. Nous examinons en détail la pression de radiation que peuvent exercer ces faisceaux dans un contexte tridimensionnel.

Un dernier chapitre est dédié aux réalisations expérimentales de cette thèse. Pour vérifier les conclusions tirées de notre modèle, nous proposons une méthode de synthèse performante pour générer des vortex acoustiques focalisés dans une première partie. Les prévisions théoriques de la pression de radiation sont mises en contexte et utilisées pour procéder à la réalisation expérimentale de la pince acoustique à faisceau unique.

Théorie tridimensionnelle de la pression

de radiation exercée sur une sphère

Introduction

Ce premier chapitre théorique va permettre de donner un cadre formel général et utile pour l’ensemble des études de cette thèse. Il s’agit de calculer la pression de radiation qui s’exerce sur une sphère élastique plongée dans un champ acoustique. Comme nous l’avons vu dans le chapitre d’introduction, il semble manquer une approche suffisamment générale pour convenablement traiter le problème pour des champs acoustiques aux fronts d’onde arbitraires et pouvant donc être de nature tridimensionnelle. Les travaux de King [23] et de Yosioka et Kawasima [25] ont montré que le problème pouvait être traité dans une base sphérique centrée sur la sphère. La présente étude a pour but de lever l’ensemble des limitations des études précédentes pour pouvoir modéliser la pression de radiation ap-pliquée sur une sphère arbitrairement positionnée dans un champ acoustique quelconque. Nous commencerons par fixer le cadre de la théorie de la pression de radiation qui est celle établie par Brillouin. Puis, dans la deuxième et troisième partie, nous revisitons le problème de la diffusion d’une onde par une sphère élastique pour fixer un cadre général et exprimons la force moyenne qui s’applique. Pour finir le chapitre, les résultats sont comparés aux expressions obtenues pour l’onde plane progressive et aussi pour le cas inté-ressant des faisceaux de Bessel. Une partie du contenu de ce chapitre à fait l’objet d’une publication [94].

II.1

Pression de radiation de Langevin : l’approche de

Brillouin

II.1.1

Avant propos

Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu’il existait deux concepts de la pression de radiation en acoustique : la pression de radiation de Rayleigh et de Langevin. Nous avons aussi précisé à cette occasion que dans un milieu libre, c’était le concept de Langevin qui a pu être rigoureusement vérifié par les expériences. Aussi, l’étude de la pression de radiation exercée sur une sphère en interaction avec un champ acoustique répond aux relations établies par Brillouin. Avant de présenter la théorie que nous avons développée pendant la thèse, il convient de présenter son approche qui a généralisé le concept de Langevin.

Son apport important consiste à prouver que le concept de "pression" de radiation est en réalité une grandeur tensorielle.

II.1.2

Tenseur de radiation de Brillouin

La force qui s’exerce sur une particule en interaction avec un champ acoustique dans un fluide supposé parfait est définie comme une grandeur moyenne sur une période acoustique T = 2π/ω. Elle est obtenue en intégrant l’excès de pression sur la surface mobile de l’objet :

Fi =  Z S(t) pnidS  (14)

où p(~x, t) est le champ de pression totale dans le fluide et ~n le vecteur entrant et normal à la surface de l’objet. C’est un effet moyen à distinguer de la force instantanée appliquée à l’objet et qui ne contribue qu’à la mise en oscillation de celui-ci. La surface S(t) de l’objet est donc en oscillation et rend le calcul de la force moyenne délicat. Obtenir la force nette impose de se placer dans le repère mobile lié à l’objet. Ce qui revient à se placer en coordonnées Lagrangiennes pour évaluer l’intégrale. Cette méthode est adoptée par King [23] mais a rarement été reprise par la suite [24]. Des difficultés mathématiques supplémentaires compliquent le calcul de la force en suivant ce schéma1_{. Pour les éviter,}

tout en se plaçant en coordonnées Euleriennes, il suffit de partir de la loi de conservation de la quantité de mouvement [95] : ∂ρvi ∂t + ∂Πij ∂xj = 0, (15) avec : Πij = pδij+ ρvivj. (16)

où vi est la vitesse du fluide, Πij est le tenseur flux de quantité de mouvement. C’est

précisément un bilan sur la quantité de mouvement qui va nous permettre d’exprimer la force. En intégrant l’équation (15) sur le volume contenu entre la surface mobile S(t) et une surface fixe SR entourant l’objet (voir la figure 6), on obtient :

Z V (t) ∂ρvi ∂t dV = Z S(t) ΠijnjdS + Z SR Πijn0jdS (17)

1. La sphère étant libre d’osciller, King montre que la prise en compte de ces oscillations donne naissance à des termes de pression supplémentaires qui s’ajoutent à l’excès de pression de Langevin.

où ~n est le vecteur sortant normal à la surface S(t) (pointant donc vers l’intérieur de l’objet) et ~n le vecteur sortant normal à la surface SR. Il convient maintenant de réexprimer

le membre de gauche en faisant usage du théorème de transport de Reynolds :

∂ ∂t Z V (t) ρvidV = Z V (t) ∂ρvi ∂t dV + Z S(t) ρ(vivj)njdS (18)

qui stipule qu’en présence d’une paroi mobile dans le volume V , la variation totale de la quantité de mouvement est due à une variation interne de celle-ci et de son flux traversant la surface mobile S(t). Or, en ce qui concerne la propagation d’ondes dans un fluide supposé parfait, en moyenne, la quantité de mouvement totale se conserve. En prenant la moyenne de l’équation (18), le membre de gauche est donc nul et la relation (17) devient :

 Z S(t) (Πij − ρ(vivj))njdS  = − Z SR hΠijn0ji dS (19)

Finalement, en utilisant la définition du tenseur flux de quantité de mouvement (16) et l’expression (14), l’équation (19) nous donne pour la pression de radiation la relation suivante :

Fi = −

Z

SR

hΠijinjdS (20)

Le tenseur hΠiji est communément dénommé tenseur de Brillouin qui a été le premier

à révéler la nature tensorielle de la pression de radiation. Nous remarquons qu’aucune hypothèse n’est nécessaire sur la forme de l’objet pour établir l’équation (20). La force moyenne peut donc s’obtenir à partir de ce tenseur intégré sur n’importe quelle surface immobile entourant complètement un objet quelconque. La situation peut être décrite de la façon suivante. L’onde acoustique ne transporte pas de quantité de mouvement (pas de transport de masse en moyenne). Par contre, localement à travers une surface, on peut quantifier le flux de quantité de mouvement moyen qui la traverse. Ainsi la présence de tout obstacle va modifier ce flux. Grâce à la conservation moyenne de la quantité de mouvement (ou mathématiquement parce que le tenseur de Brillouin est à divergence nulle), cette modification peut être quantifiée sur une surface de contrôle quelconque. On remonte ainsi à la fraction de quantité de mouvement cédée à l’objet et qui est responsables de la force appliquée.

La pression de radiation est calculée avec suffisamment de précision à partir des quan-tités acoustiques du second ordre. Il faut donc donner l’expression de l’excès de pression acoustique à l’ordre 2, hp2i. Pour l’obtenir, il convient dans un milieu parfait d’utiliser la

seconde relation de Langevin introduite au chapitre précédent (Eq. 11) :

hp2i = 1 2ρ0c2 hp2 1i − 1 2ρ0h|~v (1)_|2_{i = −L (21)}

Objet

Surface immobile

Onde incidente

Figure 6 – Objet suspendu dans un fluide parfait dans lequel se propage une onde acoustique. La surface S(t) de l’objet est en oscillation sous l’effet du champ acoustique incident avec un vecteur d’onde ~k. SR est une surface arbitraire entourant

complétement l’objet.

où p1 et ~v(1) sont les quantités acoustiques calculées au premier ordre. Finalement, le

tenseur de Brillouin devient au second ordre :

Πij =  1 2ρ0c2 hp2₁i − 1 2ρ0h|~v (1)_|i  δij + ρv (1) i v (1) j . (22)

Quelques remarques sont importantes à ce point. Premièrement, la pression de ra-diation peut être calculée directement à partir du champ de pression et de de la vitesse au premier ordre, les non-linéarités du milieu n’interviennent pas. Ainsi, d’une manière générale, le calcul de la pression de radiation exercée sur un objet peut se décomposer en deux étapes :

1. Traiter le problème de diffusion. Il conduit au calcul de l’amplitude des ondes diffu-sées dans toutes les directions de l’espace par l’objet,

2. Le champ à l’ordre 1 étant déterminé, le calcul du tenseur de Brillouin permet d’obtenir la force résultante sur l’objet dans une direction donnée.

Onde incidente

Milieu fluide

Particule

Onde diffusée

Figure 7 – Repère sphérique du problème. Sphère de rayon a suspendue dans un fluide. Elle diffuse le champ acoustique incident avec un vecteur d’onde ~k. Un repère sphérique (r, θ, ϕ) est défini au centre de la sphère O. Des ondes sont excitées à l’intérieur de la particule de masse volumique ρp et se propagent avec des vitesses c` et ct pour les

composantes longitudinales et transverses respectivement.

Nous allons maintenant présenter le développement de ces étapes pour calculer la pression de radiation exercée sur une sphère élastique dans un champ acoustique quelconque. On se munit d’un repère en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) centré sur la sphère (voir figure 7). Les ondes acoustiques se propagent à la célérité c dans le milieu fluide. La sphère est élastique, homogène et isotrope, de masse ρp et de rayon a. Les ondes longitudinales et

transverses se propagent respectivement aux célérités c` et ct. Après l’extinction de tous

les phénomènes transitoires du système, la perturbation est supposée harmonique et la convention temporelle adoptée est (e−iωt). Le problème sera traité de manière suffisam-ment générale pour obtenir un cadre théorique tridimensionnel de la pression de radiation exercée sur une sphère.

II.2

Problème de la diffusion d’un champ acoustique

par une sphère élastique revisité

II.2.1

Avant propos

L’analyse classique de la diffusion d’une onde plane par une sphère liquide est due à Anderson [96] et reconsidérée pour le cas d’une sphère élastique par Faran [97]. Ils ont introduit la théorie générale du traitement de la diffraction en acoustique quand la sphère est de taille quelconque devant la longueur d’onde. Epstein et Carhart [98] ainsi que Allegra et Hawley [99] ont intégré les effets thermiques et visqueux à ces modèles. L’hypothèse d’axisymmétrie du champ incident supposé par ces auteurs permet de traiter le problème de manière directe à partir de l’équation de Helmhotz scalaire. De manière remarquable, une façon de briser cette symétrie est de considérer le problème d’une inclusion élastique dans un milieu lui aussi élastique et dans lequel se propage une onde plane cette fois-ci polarisée transverse. C’est un problème résolu par Truell et al. [100] qui ont fait usage pour la première fois des potentiels scalaires de Debye que nous introduirons à notre tour plus loin. Considérant des objets de forme quelconque, Waterman formula une nouvelle analyse de la diffraction en introduisant ce qu’il appelle alors la "T-matrix" [101]. Malgré la généralité de son étude et de ses avantages d’un point de vue numérique, cette matrice ne possède d’expression analytique que pour des cas bien connus comme celui de la sphère ou du cylindre élastique.

Ici nous allons montrer qu’il est possible de généraliser la méthodologie introduite par Anderson et Faran à un champ acoustique aux fronts d’onde arbitraires, ou de manière équivalente, à une sphère placée à une position arbitraire dans un champ acoustique déterminé. Le cadre formel approprié pour traiter le problème pour une sphère est celui des harmoniques sphériques.

II.2.2

Potentiels acoustiques dans le formalisme des harmoniques

sphériques

Les équations de la mécanique des fluides se réduisent, dans le cadre de l’acoustique linéaire, à l’équation de propagation acoustique (voir par exemple [102]). En particulier, le champ de vitesse linéaire est supposé irrotationnel ( ~∇∧~v(1) _{= ~0) et un potentiel acoustique}

peut être défini de la manière qui suit : ~v1 = ~∇φ. Dans l’hypothèse harmonique supposée

ici, l’équation de propagation devient de manière classique l’équation de Helmholtz :

(∆ + k2)Φ = 0 où k = ω

c (23)

Φ pouvant être de manière indifférente, une des quantités physiques suivantes : ρ1, p1, φ

Base des harmoniques sphériques

Dans le repère sphérique défini, il est possible de trouver une base orthogonale de fonctions sur laquelle n’importe quelle solution de l’équation de Helmholtz pourra être décomposée. En coordonnées sphériques, les solutions de l’équation (23) s’écrivent (An-nexe A) :

Φm_n = fn(k0r)Ynm(θ, ϕ) (24)

où Ym

n (θ, ϕ) = eimϕPnm(cos θ) sont les harmoniques sphériques constitués d’une fonction

sinusoïdale en ϕ et des polynômes de Legendre associés P_nm(x). fn est une fonction de

Bessel sphérique : jn(x) et yn(x) ou bien toute combinaison linéaire de celles-ci. On utilise

fréquemment les fonctions de Hankel sphériques de première et seconde espèce h(1)n (x) et

h(2)n (x) liées aux précédentes par :

h(1)_n (x) = jn(x) + iyn(x) et h(2)n (x) = jn(x) − iyn(x)

Plusieurs relations importantes liées à cette base sont données dans l’annexe A. En particulier pour le développement d’une fonction (indépendante de r) dans la base des harmoniques sphériques [103] (page 403) :

f (θ, ϕ) = ∞ X n=0 m=n X m=−n cm_nY_nm(θ, ϕ), (25)

où f est une fonction arbitraire sur la surface d’une sphère et qui est continue ainsi que ses deux premières dérivées. Une relation fondamentale est alors l’expression des coefficients cm_n obtenus à partir des propriétés d’orthogonalité des harmoniques sphériques (Annexe A) : cm_n = (2n + 1)(n − m)! 4π(n + m)! Z 2π 0 Z π 0 f (θ, ϕ)Y_nm∗dΩ. (26)

où dΩ = sin θ dθ dϕ est l’angle solide.

Décomposition des potentiels du problème

Potentiels dans le fluide : En présence de la sphère, le potentiel acoustique est com-posé de la somme du champ incident φi et du champ diffusé φd :

φ = φi+ φd, (27)

φi = φ0 ∞ X n=0 n X m=−n

Am_njn(kr)eimϕPnm(cos θ), (28)

φd= φ0 ∞ X n=0 n X m=−n

Rm_nAm_nh(1)_n (kr)eimϕP_nm(cos θ). (29)

φ0 est l’amplitude réelle du champ incident. Les coefficients Amn sont à déterminer en

connaissant le champ incident et le caractérisent complètement dans la base sphérique. On les appellera les coefficients de forme du champ incident. Le champ incident étant défini en absence de la sphère, on utilise pour l’évolution radiale, la fonction de Bessel sphérique jn qui est la seule à être définie à l’origine. Rmn sont les coefficients de diffusion

que l’on recherche. Chaque coefficient représente l’amplitude de réflexion associée à chaque onde partielle sphérique de degré n et d’ordre m. De manière à satisfaire la condition de Sommerfeld en espace libre quand r → ∞, l’onde diffusée doit diverger à partir de la sphère. Ainsi, on utilise la fonction sphérique de Hankel de première espèce (h(1)n ). Dans

la suite nous poserons h(1)n ≡ hn pour alléger les notations. Remarquons que les équations

(28) et (29) font intervenir en principe une infinité de termes pour chaque champ. En ce qui concerne le champ incident, la convergence de la série dépend fortement de la variation spatiale des fonctions utilisées. De manière intuitive, plus le champ s’éloigne du cas d’une onde sphérique convergente ou divergente, plus il faudra de termes pour correctement le caractériser. Ainsi une onde plane nécessite un spectre dense d’harmoniques sphériques pour la caractériser dans une région de l’espace.

Potentiels dans la sphère : Dans la sphère élastique, l’équation du mouvement linéa-risée s’écrit [104] :

− ρpω2~u = (λp+ µp) ~∇( ~∇ · ~u) + µp∆~u, (30)

où ~u(~x) est la dépendance spatiale du champ de déplacement et λp et µp sont les deux

coefficients de Lamé. Suivant la décomposition de Helmholtz, on peut scinder le champ de déplacement en une partie "irrotationnelle" et une partie "solénoïdale" :

~

u = ~∇Φ + ~∇ ∧ ~A. (31)

Notons au passage que nous sommes passés d’un vecteur ~u ayant trois inconnues à deux potentiels et quatre inconnues au total. Pour lever cette indétermination, il est d’usage d’utiliser la condition de Jauge : ~∇·~A = 0. Cette condition permet d’établir que le potentiel scalaire Φ et le potentiel vecteur ~A sont alors solution d’une équation de Helmholtz scalaire et vectorielle respectivement :