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Submitted on 1 Jan 1956
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La pression de radiation acoustique
E.J. Post
To cite this version:
E.J. Post. La pression de radiation acoustique. J. Phys. Radium, 1956, 17 (5), pp.391-394.
�10.1051/jphysrad:01956001705039100�. �jpa-00235390�
LA PRESSION DE RADIATION ACOUSTIQUE
Par E. J. POST,
Direction générale des P. T. T., La Haye, Pays-Bas.
Sommaire.
2014Dans la description phénoménologique de la physique classique il y a trois pro- blèmes liés auxquels manque une interprétation absolument claire :
1) La pression de radiation acoustique.
2) Les relations entre les équations d’Euler et de Lagrange et la possibilité de les appliquer à des
mouvements turbulents.
3) La théorie électromagnétique de Minkowski pour des milieux en mouvement, ses définitions de
l’impulsion et de la tension, soit la pression de radiation électromagnétique dans un milieu matériel.
En acceptant la théorie relativiste comme la description phénoménologique la plus générale,
on étudie ici les transformations du premier ordre afin de déterminer ses conséquences pour les
problèmes classiques, spécialement la pression de radiation.
Les équations de transformations (ici particulièrement les translations) sont indépendantes de
la nature du milieu. L’interprétation physique de ces équations suggère un dispositif indépendant
du milieu; et c’est pourquoi des parois semi-perméables sont introduites à l’essai.
Il apparaît que les parois semi-perméables donnent une distinction évidente entre les deux termes de pression, signalés antérieurement, pour un milieu acoustique. En outre les conceptions
du phonon (soit du photon dans un milieu matériel) peuvent être précisées.
Abstract. 2014 In the phenomenological descriptions of classical physics there are three inter-
connected problems requiring a clear interpretation : 1) Acoustic radiation pressure.
2) Relations between Euler and Lagrange equations, and their application to turbulent motions.
3) Electromagnetic theory of Minkowski for a moving medium, and the definition of momentum and tension or electromagnetic radiation pressure in a material medium.
Using the relativistic theory as the most general description, first order transformations are
discussed in the present paper. Transformation equations are independent of the properties of
the medium. Physical interpretation suggests semi-permeable walls, which lead to a distinction between two terms in acoustic radiation pressure. The nature of phonons or photons is more precisely specified.
PHYSIQUE 17, 1956,
Les travaux de M. Brillouin [1], Richter [2] et Bopp [3] nous ont indiqué l’existence de deux
composantes de pression. Afin de préciser la diffé-
rence entre les deux rappelons les figures de
M. Richter et Bopp.
’
Soit une enceinte fermée à parois rigides, remplie
d’un milieu liquide ou gazeux. On a deux parois rigides immergées dans le milieu et on imagine
une radiation acoustique entre les deux parois immergées. Cela donne une pression f5:(W) =:= 2 6."k (Ek = densité de l’énergie cinétique) dirigée sur
les parois immergées et une pression isotrope
’!lem) = r& (E == densité de l’énergie totale) sur
les parois rigides de l’enceinte, qui dépend par r des propriétés du milieu. On en déduit que r
dépend des paramètres de l’équation d’état. Si
nous ouvrons l’enceinte par un robinet, la pres- sion q(-) nous donnera une expansion du milieu
de la même façon qu’une densité d’énergie ther- mique. Nommons L(m) le terme de « pression du
milieu », et rt5:(W) le terme de « pression d’ondes ».
On trouve que la mesure de ces deux termes est conditionnée par une discontinuité du champ
d’ondes ou par une discontinuité du milieu lui- même. Afin de faire des calculs qui ont un sens
physique bien défini, il est utile d’introduire des membranes semi-perméables, c’est-à-dire une mem-
brane perméable pour le milieu mais imperméable
pour la radiation. Un miroir dans l’espace vide est
un exemple idéal d’une membrane perméable
pour le milieu (le vide) mais imperméable pour la lumière (le champ électromagnétique). Il est impossible de réaliser une pareille membrane dans
un solide. Dans l’acoustique nous avons un cas
semblable au cas électrodynamique, sous réserve qu’une membrane idéale est devenue impossible ;
il est cependant possible de la réaliser approxima-
tivement dans un milieu gazeux ou liquide. On peut donc se demander si l’hypothèse, de l’exis-
tence des membranes idéalement semi-perméables
pour tous les milieux ne compromet pas certaines lois physiques. Il est utile de faire remarquer ici,
que cette supposition d’une membrane semi-
perméable nous place devant la nécessité de sup- poser l’existence d’une pression de radiation d’ondes, sinon il serait possible de violer le deu- xième principe de la thermodynamique.
L’application du principe de Boltzmann- Ehrenfest pour un champ d’ondes implique déjà
l’existence d’une membrane idéalement ’semi-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01956001705039100
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perméable. C’est pourquoi on peu adrnetl,re le
postulat de l’existence générale de pareilles mem-
branes.
Supposons un champ de radiation quelconque
d’une seule fréquence dans un milieu quelconque.
Soit E l’énergie totale du système des ondes enve- loppées par une membrane semi-perméable et soit
FIG. 1.
-Interprétation des deux termes de pression.
Sur le pourtour de la figure, lire r au lieu de y.
w la fréquence. Si l’on donne une déformation infi- nitésimale à la membrane accompagnée d’une
variation de l’énergie ôE et d’une variation de fré- quence 8m le principe de Boltzmann-Ehrenfest donne :
à condition que la transformation soit très lente.
La variation de l’énergie .E est donnée par l’inté-
grale
-’?§ = la pression d’ondes.
Õ ÇV = le vecteur infinitésimal de la déformation
du champ d’ondes (1) ; direction positive
de l’intérieur à l’extérieur.
d ax = l’élément de surface.
Il est possible de transformer cette intégrale
de surface en une intégrale de volume, et en sup-
posant le champ uniforme on trouve
E étant la densité de l’énergie.
La formule générale pour la vitesse de groupe gÀ
donne
où
Le tenseur de déformation du champ d’ondes
nous donne la variation du vecteur d’ondes.
8 k). = - kv 8(oÀ çV). (5) Il faut se rappeler que la transformation infini- tésimale 8(>x gv) du champ d’ondes est une trans-
formation amiic : il fauL donc !cnir compte de la
nature covariante du vecteur k,.
En substituant (5) dans (4) il vient
et, comme les S(y v) sont des déformations arhi-
traires, on peut faire l’identification
1,a formule (7) nous donne nne expression géné-
rale de la pression d’ondes sur une membrane semi- perméable pour une radiation quelconque.
Il faut remarquer que dans un milieu anisotrope
les vecteurs gÀ et kv peuvent avoir des directions
différentes. Cela indique qu’il est possible d’avoir
un moment d’impulsion parce que la densité tenso- rielle Lî’ v n’est pas nécessairement une quantité symétrique.
Afin de mettre à l’épreuve la réalité physique de
la formule (7) nous allons essayer de la compléter
dans un sens relativiste, ce qui nous oblige à
trouver les composantes du transport de l’énergie
ÔSÀ et de l’impulsion w ; soit :
la densité tensorielle mixte d’impulsion-énergie
d’un champ d’ondes (quelconque) enveloppé par
une membrane semi-perméable. Pour comprendre
le sens physique de cette quantité, nous allons
maintenant étudier les transformations de premier
ordre.
L’étude des transformations relativistes du pre- mier ordre est une chose assez délicate. Il y a une
différence entre les phénomènes électrodynamiques
et les phénomènes acoustiques et d’élasticité
(mécaniques). Dans le cas. électrodynamique la
difficulté est que les vitesses de propagation dans
un milieu sont toujours du même ordre que la vitesse de la lumière dans le vide ; l’addition des vitesses s.’exprime ici par la formule de Fresnel- Fizeau. En mécanique on a par contre la formule
ordinaire de l’addition de deux vecteurs.
Les formules suivantes nous donnent les trans- formations pour une translation du système de
coordonnées (voir l’Appendice), la vitesse de trans- lation étant :
En mécanique
( 1) Il faut bien distinguer entre une déformation du champ
d’ondes et une déformation du milieu lui-même.
(2) On déduit pour la transformation du transport de l’énergie, si on introduit des termes d’ordre supérieur
étant donné l’interprétation physique, cela veut dire qu’il
s’agit de forces dans le système en mouvement.
En électrodynamique
gÀ
=vitesse de groupe
/ gL
=les perméabilités du vide.
Il est intéressant de constater ici que les transfor-
mations de la densité vectorielle du transport de
l’énergie sont les mêmes pour les deux cas. Le second terme donne la cpnvection de l’énergie, le dernier le transport de l’énergie causé par les forces de radiation.
Pour les phénomènes de radiation on peut écrire
et pour un autre système ayant une vitesse de translation on a
L’application des formules de transformation (9)
ou (10) nous donne le même résultat
pour les deux cas de l’acoustique et de l’électro- 1magnétique. Afin d’obtenir ce résultat il est simple,
mais nullement nécessaire, de supposer vÀ« gÀ
(acoustique) [1]. On trouve
On peut interpréter la pression de radiation
comme un transport de l’impulsion. En comparant
les formules (7) et (14) on trouve
et la densité tensorielle mixte d’impulsion-énergie
sera
En dernier lieu nous voulons examiner le sens de ce tenseur (16) dans la théorie des quanta.
L’introduction de l’expression
(h constante de Planck et 9l la densité des quanta
par unité de volume), nous donne
On voit maintenant qu’il est possible de consi-
dérer B comme un invariant relativiste. Ensuite
on voit que
pourra être interprété comme l’impulsion de la
« particule » de l’énergie.
Ce résultat est bien connu pour les photons dans l’espace vide. Ce même résultat n’est pas évident pour les photons dans un milieu matériel ni pour les phonos d’un milieu acoustique. La généralité
de la formule (18) pour chaque cas Tde radiation dit que la réalité de la conception du photon dans un
milieu matériel et la réalité de la conception du phonon dans un milieu acoustique sont équiva-
lentes à la réalité en physique de la conception due
la membrane semi-perméable.
Dans les considérations précédentes l’analyse
de la pression d’ondes a été accentuée aux dépens
de la pression du milieu. L’étude de la dernière est
en vérité un sujet de la théorie de l’équation d’état.
Nous nous bornerons ici à renvoyer aux études de
Kronig et Thellung [4], particulièrement à la for-
mule (12) qui dit dans les termes du présent
article que la pression du milieu L(m) d’un liquide
idéal est égale à la densité de Lagrange 1:.
En outre on est prié de comparer la formule (46)
pour l’impulsion du phonon des ondes irrotatoires à. la formule (19) du présent article.
,Appendice
Pour obtenir les transformations du premier
ordre de la théorie électromagnétique, il faut appliquer les’ transformations du premier ordre
des forces E et H et des inductions D et B. D’après
Tolman [5] on a en utilisant les unités de, Giorgi
La définition de Minkowski pour la densité vectorielle de l’impulsion p est
La définition de la densité vectorielle du trans-
port de l’énergie S est
Pour un milieu linéaire on a comme densité de
l’énergie
En substituant les transformations (a) et (b)
dans les expressions de définition (c), (d) et (e), on
obtient les transformations (10) en négligeant les
394
termes d’ordre supérieur (après une transposition
en notation tensorielle).
Il est évident qu’on peut considérer les transfor- mations (9) comme une autre approximation de (10) pour su -> 0. En outre il est possible d’obte-
00
nir le même résultat si l’on applique les règles de
transformation usuelles à la densité tensorielle mixte d’impulsion-énergie en utilisant les transfor- mations de Galilée comme une approximation du premier ordre : dans ce, dernier cas on peut se
libérer de la limitation de linéarité de l’expres-
sion (e),
En conclusion, il est important de faire remarquer que toutes les transformations de « quantités
d’état » sont indépendantes de la nature du milieu.
Les considérations suivantes peuvent être utiles afin de se rendre compte du fait qu’il s’agit ici
d’une marque fondamentale de la théorie phéno- ménologique.
On peut distinguer des « quantités d’état » et des
« quantités du milieu » ; ; les premières donnent seu-
lement une information sur l’état du milieu, les
dernières nous informent des propriétés du milieu.
Les quantités du milieu sont soumises au prin- cipe de Neumann : elles doivent être invariantes pour les transformations du groupe de symétrie du
milieu. Les quantités d’état sont indépendantes du milieu, et elles doivent rester indépendantes après
une transformation des coordonnées afin de main- tenir le critère de distinction donné par le prin- cipe de Neumann.
Cette marque de l’indépendance des transfor- mations de la nature du milieu suggère un dispo- sitif, fût-il artificiel, pour son interprétation phy- sique : la paroi semi-perméable.
,
