III.3 Correction de la force due à la viscosité dynamique
IV.1.2 Détermination des coefficients A m
D’après l’équation (28) obtenue au chapitre II, les coefficients Am
n déterminent la forme du champ incident dans le repère lié à la sphère. Il existe différentes méthodes analytiques
ou numériques pour les déterminer. Rappelons que dans le cas de l’onde plane et du faisceau de Bessel, des expressions analytiques ont été exprimées. L’équation fondamentale de la décomposition a été rencontrée dans le chapitre III et s’écrit :
Amn = 1 φ0jn(kr) (2n + 1)(n − m)! 4π(n + m)! Z Ω φiYnm∗dΩ (148)
Naturellement, connaissant φi, la première méthode consiste à calculer cette double in-tégrale en procédant à des quadratures numériques dans le repère centré sur la sphère. Cette procédure peut être répétée quelque soit la position de la sphère. Cette méthode a été utilisée en acoustique pour calculer la diffusion d’une sphère placée hors de l’axe de propagation d’un faisceau de Bessel [138]. Malheureusement, ces opérations sont numéri-quement couteuses et le temps de calcul pour traiter un problème tridimensionnel complet (c’est à dire le calcul de la force pour de nombreuses positions de la sphère) augmente très rapidement [139, 140, 141]. Cette méthode n’est donc pas optimale. Faisant usage des propriétés d’orthogonalité de la base des harmoniques sphériques, il est possible d’obte-nir des opérateurs de rotation et de translation de la base. Ainsi, en principe il suffit de connaitre les coefficients de forme Amn pour une seule position de référence de la sphère (soit analytiquement ou par une première quadrature numérique). Puis, en appliquant les opérateurs de translation et de rotation, les coefficient de forme du faisceau sont obtenus quelque soit la position de la sphère. Des algorithmes rapides et efficaces permettent de calculer ces opérateurs [142, 141]. Cette méthodologie a été retenue pour le calcul de la force. Des détails supplémentaires sur la définition de ces opérateurs sont donnés dans ce qui suit.
Opération de translation des harmoniques sphériques
Pour chaque nouvelle position de la sphère, la redéfinition du champ incident dans un nouveau repère repose sur des transformations de translation et de rotation connues pour les harmoniques sphériques. Ces transformations sont utilisées par une large communauté scientifique passant par la chimie quantique et le calcul d’orbitales atomiques, le calcul des matrices de Fock [143], la résolution numérique des équations de Maxwell [144] et de Helmholtz pour des applications à la diffusion multiple en électromagnétisme ou en acoustique [145, 146].
Se donnant deux bases B et B0, on définit un repère centré en O et un deuxième en O0 (voir la figure 13 (a)). La transformation des fonctions d’onde sphériques entre deux bases translatées l’une par rapport à l’autre d’un vecteur ~r00 s’écrit :
jn(kr)Ynm(θ, ϕ) = ∞ X n0=0 n0 X `=−n0 Cn,nm,`0(~r00)jn0(kr0)Yn`0(θ0, ϕ0) (149)
(a) Translation (b) Rotation
Figure 13 – Translation et rotation des harmoniques sphériques d’une base B vers une base B0.
Ce théorème est appelé théorème d’addition de translation à cause de la relation ~r = ~r0+~r00. Plusieurs méthodes permettent d’exprimer et calculer l’opérateur Cn,nm,`0. Celles-ci peuvent faire intervenir le coefficient de Gaunt [146] ou les symboles de Wigner 3 − j [147] bien connus en mécanique quantique. Ou alors, on peut faire usage de relations de récurrence apparaissant naturellement avec les propriétés de dérivation des ondes sphériques [144]. C’est cette dernière option qui a été adoptée. La translation axiale telle que ~r00 = d~ez est la plus efficace à calculer numériquement. Les coefficients de translation ne dépendent alors plus de ` : Cn,nm,`0(~r00) = Cm n,n0(kd) et (149) devient : jn(kr)Ynm(θ, ϕ) = ∞ X n0=0 Cn,nm 0(kd)jn0(kr0)Ynm0(θ0, ϕ0) (150)
Les relations de récurrence permettant d’obtenir l’opérateur de translation Cm
n,n0(kd) sont données dans les références [144, 145]. Ainsi, pour un champ incident initialement défini dans la base B par les coefficients Amn :
Φ(~r) = ∞ X n=0 n X m=−n Amnjn(kr)Ynm(θ, ϕ) (151)
en recherchant dans B0 son écriture sous la forme suivante :
Φ(~r0) = ∞ X n=0 n X m=−n ˜ Amnjn(kr0)Ynm(θ0, ϕ0) (152)
on voit qu’en injectant (150) dans (151) et en échangeant convenablement les variables muettes, la comparaison avec (152) donne immédiatement :
˜ Amn = ∞ X n0=0 Cnm0,n(kd)Amn0 (153)
En appliquant l’équation (152) avec les coefficients ˜Amn obtenus, on aura alors la description du même champ incident initialement décrit dans la base B dans une nouvelle base centrée sur la sphère. Cette base B0 a été translatée d’un vecteur d~ez par rapport au repère initial. Ceci revient à déplacer la sphère dans le champ acoustique considéré.
Opération de rotation des harmoniques sphériques
À l’instar des propriétés de translation, les harmoniques sphériques Ym
n satisfont la propriété suivante : Ynm(θ, ϕ) = n X m0=−n Dm,mn 0(R)Ynm0(θ0, ϕ0) (154) où l’opérateur Dm,m0
n transforme l’expression des harmoniques sphériques d’une base à l’autre quand celles-ci gardent la même origine (Fig. 13 (b)). La matrice R est la matrice de rotation qui relie les vecteurs de base des deux repères B et B0. Une rotation générale s’écrit :
R = Rx(α)Ry(β)Rz(γ) (155)
et les matrices de rotation de la base cartésienne sont :
Rx(α) = 1 0 0 0 cos α − sin α 0 sin α cos α , Ry(β) = cos β 0 sin β 0 1 0 − sin β 0 cos β , Rz(γ) = cos γ − sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1 (156) Les éléments de l’opérateur Dnm,m0 peuvent de nouveau être calculés à partir de propriétés de récurrence des harmoniques sphériques [143]. Les coefficients de forme du champ décrit par Am
n dans la base B deviennent dans la base B0 :
˜ Amn = n X m0=−n Dmn0,m(R)Amn0 (157)
R1
R2
T
Figure 14 – Translation arbitraire. Une translation de vecteur ~r00 est décomposée en deux rotations et une translation.
Pour déplacer la sphère nous nous sommes restreints, jusqu’ici, à une unique translation axiale suivant l’axe z. Néanmoins, il est possible d’obtenir une translation arbitraire à partir de la combinaison d’une translation axiale et deux opérations de rotation. En effet, une translation d’un vecteur arbitraire ~r00 peut se décomposer comme suit :
˜ Amn = n X ν=−n Dν,mn (R2) ∞ X n0=0 Cnm0,n(kr00) n X m0=−n Dmn0,m(R1)Amn (158)
Comme nous l’avons illustré à la figure 14, la première rotation R1 permet d’orienter l’axe z pour qu’il soit colinéaire à ~r00. Puis, on translate le repère dans cette nouvelle direction d’une distance r00. La rotation R2 permet de revenir à des axes colinéaires entre les bases B et B0. Les relations de récurrence permettant d’obtenir les opérateurs Cn,nm 0 et Dm,mn 0 ont été utilisées dans le cadre du calcul de la pression de radiation optique [142]. Nieminen et al ont mis à disposition un ensemble de routines en accès libre que nous avons adapté et utilisé pour le calcul de la pression de radiation acoustique.
Pour résumer, il suffit de déterminer les coefficients Amn pour une seule position de référence de la sphère. On les obtient soit analytiquement quand cela est possible, soit on procède à une unique quadrature de l’équation (148). Leur rotation et translation permet ensuite des les redéfinir pour chaque nouvelle position de la sphère de manière numériquement efficace.
Paramètres du milieu et de la sphère :
Calcul des coefficients du champ incident :
Calcul des coefficients de Diffusion :
Translation et rotation des coefficients du champ incident
incident :
Evaluation du vecteur force :
Nouvelle position de la sphère dans le champ?
Fin du calcul : Analyse de la pression de radiation en 3 dimensions NON OUI Nouvelle taille de la sphère? choix de la fréquence
choix de la taille de la sphère
choix de la position de la sphère