Le filtre inverse spatio-temporel pour la synthèse de vortex

La technique repose sur la linéarité et l’invariance par translation dans le temps du système physique séparant l’excitation électrique des émetteurs et la réception acoustique quelque part dans la cuve. Le couplage électro-mécanique des transducteurs, l’équation de propagation dans le milieu ainsi que la transduction de l’hydrophone remplissent cette condition. L’opération de synthèse se décline en deux étapes principales. Une première phase d’acquisition expérimentale de l’opérateur de propagation qui caractérise complè-tement le milieu et la géométrie de l’expérience, puis une étape de traicomplè-tement numérique de cet opérateur pour déterminer les signaux d’émission optimaux pour obtenir un champ acoustique cible choisi.

Avant d’acquérir l’opérateur de propagation, on fixe la géométrie de l’expérience. On considère ensuite l’ensemble M = 127 voies d’émission et on définit N points de récep-tion (ou de contrôle) où on viendra successivement posirécep-tionner l’hydrophone (Figure 44). Ces points sont souvent définis sur un plan de contrôle. Le système physique est alors caractérisé par un système de N équations :

f_j(t) =

M

X

i=1

h_ji(t) ∗ e_i(t) (182)

f_j(t) est l’ensemble des signaux reçus au point j du plan de contrôle et émis par les voies i. Le signal f_j(t) est le résultat de l’interaction des signaux émis e_i(t) avec le milieu de propagation et modélisé par le produit de convolution ∗ avec la réponse impulsionnelle hji(t) du couple émetteur récepteur (i, j). La réponse impulsionnelle hji(t) est obtenue grâce à une impulsion dont la fréquence centrale est choisie en fonction de la bande passante des transducteurs piézoélectriques (ici on est centré autour de 1MHz) et émise par la voie i (Fig. 45a). La réponse est mesurée par l’hydrophone en j (Fig. 45b). Une analyse de la trace temporelle du signal reçu permet de voir la résonance du transducteur. Il résonne après l’excitation électrique d’un seul cycle. Plus tard dans le signal, on voit apparaitre un premier écho causé par les interfaces multiples que traverse l’onde acoustique dû à la présence de la lentille.

R ésea u de t ran sdu ct eu rs Plan focal Lentille Points de contrôle

Figure 44 – Principe de la méthode du filtre inverse spatio-temporel. Pour un ensemble M d’émetteurs, un plan de contrôle P de N points est balayé par l’hydrophone. Toute l’information liée au système physique est contenue dans la matrice des réponses impulsionnelles h_ji(t).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

temps [µs]

u.a.

(a) Impulsion d’excitation e_i(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

temps [µs]

u.a.

(b) Réponse impulsionnelle h_ji(t)

Figure 45 – Mesure de la réponse impulsionnelle du système. En (a), l’impulsion électrique à l’entrée du système. En (b), réponse impulsionnelle.

Dans l’espace de Fourier, nous avons sous forme matricielle :

F (ω) = H(ω)E(ω) (183)

H est alors la matrice de transfert du système de taille N × M . E(ω) et F (ω) sont les spectres des signaux émis et reçus respectivement. On peut alors écrire l’opération d’inversion suivante :

E(ω) = H⁻¹(ω)F (ω) (184)

Le calcul de la matrice H⁻¹(ω) se fait en prenant quelques précautions. Contrairement à ce qui est suggéré par l’Eq. (182), la mesure de l’impulsion hji(t) s’accompagne toujours d’un bruit de mesure. On maximise alors le ratio signal-sur-bruit en moyennant plusieurs réalisations du bruit pour chaque couple (i, j). Malgré cette précaution, la matrice H(ω) demeure en général mal-conditionnée et une étape de régularisation est nécessaire. Elle est d’abord décomposée en ses valeurs singulières (méthode S.V.D.) puis on élimine les valeurs inférieures à un seuil énergétique fixé par le rapport signal-sur-bruit. On évite ainsi d’amplifier le bruit de mesure résiduel pendant l’inversion. L’étape de synthèse consiste enfin à fixer le champ "cible" dit aussi le gabarit F (ω), pour calculer les signaux à émettre par le réseau de transducteurs. On obtient donc in fine par une transformée de Fourier inverse, les signaux e_i(t) à émettre pour s’approcher de manière optimale du gabarit cible f_j(t). En effet, on corrige les différentes sources d’aberrations liées à l’émission (sensibi-lité inhomogène de l’ensemble des émetteurs et résonance des transducteurs) et au milieu de propagation (aberrations géométriques, échos et atténuation dans une lentille acous-tique)2.

Pour la synthèse et l’étude des vortex focalisés, il faut premièrement faire le choix de la lentille acoustique utilisée. Dans l’annexe H, nous avons donné quelques détails sur la conception et la fabrication de ces lentilles. De plus, au chapitre IV, il a été démontré que l’angle d’ouverture α₀ du transducteur concave influençait très considérablement la pression de radiation du faisceau (voir Fig. 25 pour la définition de cet angle). C’est pourquoi une lentille optimisée biconcave a été conçue et usinée à partir d’un bloc de PMMA. Concernant le choix du plan de contrôle pour faire l’acquisition de la matrice des réponses impulsionnelles, la définition d’un disque transverse à la direction de propagation s’est avéré être la géométrie optimale. Un maillage rectangulaire régulier donne de moins bons résultats pour synthétiser des faisceau à géométrie "cylindrique". En effet les bords de ce rectangle imposaient des contraintes spatiales inutiles au filtrage inverse. Le disque retenu est de rayon 3, 5 mm. Chaque point entrant dans ce disque est réparti sur un maillage régulier de pas 0, 1 mm dans les directions x et y. Au total, le disque de contrôle est composé de 3853 points d’écoute. La distance que nous fixons entre les émetteurs

2. Il est important de noter avec précision la position de la lentille qui est emboitée sur le réseau. En effet, à chaque position correspond un arrangement particulier des aberrations introduites.

du réseau et le plan de contrôle est estimée par un premier tir test. Il consiste à tirer en phase toutes les voies d’émission du réseau et de vérifier que l’hydrophone reçoit le signal de chaque voie avec approximativement le même temps de vol. Pour la lentille choisie, ce temps de vol est de τ ∼ 55µs. La distance entre le plan d’émission et le plan de contrôle est donc d’environ 82 mm. Une fois cette distance focale naturelle de la lentille déterminée, nous pouvons acquérir la matrice h_ji(t) pour M = 127 et N = 3853. Pour augmenter le ratio signal-sur-bruit, 20 moyennes sont effectuées pour chaque point d’écoute. Typiquement pour les N × M × 20 = 9 247 200 formes temporelles à tirer et écouter, l’expérience demande près de 20 heures de mesure. Une fois cette longue étape terminée, on peut à loisir utiliser l’opérateur inverse H⁻¹(ω) pour des expériences variées de synthèse de champ.