Force exercée par un faisceau de Bessel : l’approche de Marston

X

n=0

iⁿ(2n + 1)P_n(cos θ), (92)

Par identification avec l’équation (28), le coefficients de forme d’une onde plane sont donc :

A^m_n = An= cn = iⁿ(2n + 1). (93)

Cette expression implique aussi que <{A_nA^∗_n+1} = 0 ∀n dans l’équation (84) et on obtient pour la force exercée par l’onde plane progressive :

F_z = 2πρ₀φ²₀ ∞ X n=0 (n + 1)D_n¹ (94) F_z = 2πρ₀φ²₀ ∞ X n=0 (n + 1)[α_n+ α_n+1+ 2(α_nα_n+1+ β_nβ_n+1)] (95)

c’est le résultat obtenu par Yosioka et Kawasima [25] étendant la théorie de King [23] aux sphères élastiques. Le paramètre m est absent de l’analyse pour une onde plane dans ce repère et reflète son axisymétrie. De ce fait, Fx et Fy, qui couplent les ordres m + 1 et m − 1, sont identiquement nulles. Ceci est tout à fait consistant avec une onde plane se propageant suivant l’axe z qui ne peut donner lieu qu’à une force poussant la sphère dans la direction de propagation.

II.4.2 Force exercée par un faisceau de Bessel : l’approche de

Marston

Un travail remarquable sur la diffusion et la pression de radiation exercée sur une sphère est celui de Marston. Dans une série de publications [31, 32, 33, 34], il s’attache à calculer et analyser l’interaction entre une sphère et un faisceau particulier dit de Bessel. Il a ouvert la voie à la généralisation que nous venons de présenter en pointant clairement dans ses travaux les difficultés liées à prendre en compte des faisceaux aux fronts d’onde arbitraires et/ou une position quelconque du diffuseur. Le cas particulier qu’il traite est celui du faisceau de Bessel :

φ_i = φ₀J_m0(k_rρ)e^i(kzz+m⁰ϕ−ωt) (96)

où on a écrit son expression dans un repère cylindrique (ρ, ϕ, z) centré sur la sphère. Cette onde est une solution à variables séparées de l’équation de Helmholtz en milieu libre et qui fait intervenir les fonctions de Bessel cylindriques d’ordre m⁰, J_m0. Tout comme l’ onde plane, c’est une solution physique dépourvue de diffraction. L’amplitude du champ ne

varie pas avec la distance de propagation z. Les fonctions de Bessel apparaissent très na-turellement dans de nombreux problèmes de diffraction dans une configuration à symétrie de révolution (e.g. la diffraction d’une onde plane par une fente circulaire, le rayonnement d’un piston circulaire . . .). Durnin a proposé d’utiliser cette solution naturelle de l’équation de Helmholtz scalaire comme un faisceau optique à part entière [111, 112]. Comme nous le verrons en détail dans le chapitre IV, la pression de radiation exercée par ces faisceaux a des propriétés remarquables et uniques. En particulier Marston démontra théoriquement pour la première fois, le concept de faisceau "attracteur", le célèbre tractor beam prisé des auteurs de science fiction et qui initia une certaine compétition pour sa vérification expérimentale à la fois en optique et acoustique.

Pour mieux comprendre la construction d’un tel faisceau, partons d’une onde plane ayant une incidence quelconque ~k. La propagation est décrite dans un repère cartésien centré sur le diffuseur auquel on adjoint les coordonnées cylindriques (ρ, ϕ, z) (Fig. 9). Ainsi ~r = (x, y, z) et ~k = (k_ρcos ϕ, k_ρsin ϕ, k_z). Pour chaque composante plane nous avons :

Figure 9 – Décomposition d’un faisceau de Bessel en ondes planes. Des compo-santes planes d’angle d’incidence fixé β réparties sur un cône (paramétrée par ϕ), inter-fèrent pour former un faisceau de Bessel.

dφ = e^i~k·~r = e^ikρ(x cos ϕ+y sin ϕ)e^ikzz, (97)

Fixons maintenant l’angle d’incidence de cette composante par rapport à l’axe z à une valeur β :

k_ρ= k cos β, (98)

Ainsi la composante radiale du vecteur d’onde ne varie pas avec ϕ. Si nous considérons une somme de ces ondes planes ayant le même angle d’incidence β mais chacune partant

d’un azimute ϕ distinct, d’après le principe de superposition, le champ total s’écrit : φ = ¹ 2π Z dφ = ¹ 2π^e ikzz Z 2π 0

e^ikρ(x cos ϕ+y sin ϕ)dϕ, (99)

où le facteur 1/2π est introduit par commodité. Dans l’équation (99), l’intégrale n’est autre qu’une représentation de la fonction de Bessel cylindrique J₀(k_ρρ) et on obtient pour la superposition :

φ = J₀(k_ρρ)e^ikzz. (100)

Ce potentiel est aussi la solution fondamentale de l’équation de Helmholtz en coordonnées cylindriques. On parle de solution fondamentale puisqu’on fixe l’ordre de la fonction de Bessel à l’ordre le plus bas dans l’équation (96). De manière plus générale, la fonction suivante : φ = ¹ 2π^e ikzz Z 2π 0

A(ϕ)e^ikρ(x cos ϕ+y sin ϕ)dϕ (101)

est aussi une solution de l’équation des ondes en milieu libre. A(ϕ) peut être une fonction quelconque de ϕ mais doit être suffisamment régulière [113]. Si chaque ondelette plane est déphasée de sa voisine de la quantité A(ϕ) = e^im0ϕoù m⁰ est un nombre entier, on retrouve l’ensemble des solutions cylindriques de Helmholtz (Eq. (96)) y compris les faisceaux tels que (|m⁰| > 0). Autrement dit, le faisceau de Bessel est le résultat d’une superposition de fronts d’onde plans répartis sur un cône d’angle d’ouverture β. Ce constat, et le principe de superposition, ont permis à Marston d’utiliser les résultats bien connus de la diffraction d’une onde plane par une sphère, et ainsi de calculer la diffusion due à un faisceau de Bessel [32, 33] puis la force axiale [31, 34].

En ce qui concerne notre approche qui est différente, il suffit de remarquer qu’une onde cylindrique peut s’exprimer directement dans le repère sphérique ( [103], p. 413) de la manière qui suit :

φ_i = φ₀ ∞ X n=m i^{(n−m)(n − m)!} (n + m)!^{(2n + 1)jn(kr)e}

imϕP_n^m(cos θ)P_n^m(cos β) (102)

On identifie alors les coefficients de forme du champ incident Am n (28) : A^m_n = i^n−m0(2n + 1)^{(n − m} 0)! (n + m0)!^P m⁰ n (cos β)δ_m,m0 (103)

où nous avons introduit le symbole de Kronecker δ_m,m0 pour signaler que tous les coeffi-cients de forme Am

n sont nuls quand l’ordre m des harmoniques sphériques n’est pas en adéquation avec la variation azimutale m⁰ choisie pour le faisceau cylindrique. De nouveau on remarque que <{A^m_nA^m∗_n+1} = 0 et ces coefficients rapportés dans l’expression (84) nous donne : F_z = 2πρ₀φ²₀ ∞ X n=m0 (n − m⁰+ 1)! (n + m0)! ^P m⁰ n (cos β)P_n+1^m0 (cos β)[α_n+ α_n+1+ 2(α_nα_n+1+ β_nβ_n+1)] (104) Dans le cas particulier du faisceau de Bessel axisymétrique m⁰ = 0, on retrouve [31] :

F_z = 2πρ₀φ²₀

∞

X

n=0

(n + 1)P_n(cos β)P_n+1(cos β)[α_n+ α_n+1+ 2(α_nα_n+1+ β_nβ_n+1)] (105)

En outre, en prenant β = 0 on a alors P_n(1) = 1 ∀n , et on retrouve l’expression pour une onde plane progressive de Yosioka et Kawasima. Lorsque le paramètre m⁰ est non nul, nous sommes en présence de faisceaux acoustiques particuliers : les vortex. Un concept que nous allons maintenant introduire.

II.4.3 Définition et description d’une dislocation hélicoïdale : Force