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CI 2 – SLCI : É TUDE DU COMPORTEMENT DES S YSTÈMES

L INÉAIRES C ONTINUS I NVARIANTS

C ^HAPITRE 5 – É TUDE DES SYSTÈMES FONDAMENTAUX DU SECOND ORDRE

Amortisseur d’un véhicule automobile Schématisation du mécanisme Modélisation par schéma bloc

Problématique :

– Le comportement réel de certains systèmes asservis peut se modéliser par des systèmes dits du second ordre. Comment modéliser de tels systèmes ?

Savoir

Savoirs :

– Mod-C2.3 : Modèles canoniques du second ordre

– Mod-C2-S1 : Identifier le comportement d’un système pour l’assimiler à un modèle canonique, à partir d’une réponse temporelle

– Mod-C2-S2 : Établir un modèle de comportement à partir de relevés expérimentaux

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1 Dénition. . . .¹

2 Réponse impulsionnelle. . . .³

2.1 Cas 1 : ξ >1. . . .³

2.2 Cas 2 : ξ <1. . . .³

2.3 Cas 3 : ξ=1. . . .⁴

3 Réponse indicielle. . . .⁴

3.1 Cas 1 : ξ >1. . . .⁴

3.2 Cas 2 : ξ=1. . . .⁵

3.3 Cas 3 : ξ <1. . . .⁵ 3.4 Évolution de la réponse en fonction du coecient d'amortissement. . . .

1 Dénition

Les systèmes du sont ordre sont régis par une équation différentielle de la forme suivante : 1

ω²₀ d²s(t)

d t² +2ξ ω0

d s(t)

d t +s(t) =K e(t)

Dénition

Dans le domaine de Laplace, la fonction de transfert de ce système est donc donnée par :

H(p) = S(p)

E(p)= K 1+2ξ

ω0

p+p² ω²₀ On note :

– K est appelé le gain statique du système (rapport des unités deSet deE) ; – ξ(lirexi) est appelé coefficient d’amortissement (sans unité) ;

– ω0pulsation propre du système (r a d/s ous⁻¹).

L’amortissement est parfois notémouz. Schéma-bloc d’un système du second ordre :

K

1+2ξ ω0

p+p² ω²₀

E(p) S(p)

Amortisseur – ressortOn considère que la forcef(t)est l’entrée du système et quey(t)est la valeur de sortie.y(t)est la position mesurée par rapport à la position d’équilibre.

En isolant la masseM et en appliquant le théorème fondamental de la dynamique, on obtient : f(t)−k y(t)−µy˙(t) =My¨(t)

On obtient ainsi une équation classique de la mécanique vibratoire où on pose. En passant dans le domaine de Laplace, on a alors :

F(p)−k Y(p)−µp Y(p) =M p²Y(p)⇐⇒F(p) =Y(p) M p²+k+µp

Exemple

Par identification on a donc : K = 1

k ω0= v tk

M ξ= µ

2k v t k

M = µ

2p k M

2 Réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle est donnée par une entrée du typeE(p) =1.

On a donc

S(p) =E(p)·H(p) = K 1+2ξ

ω0

p+p² ω²₀

=N(p) D(p)

Pour trouver les pôles deS(p), calculons le discriminant associé àD(p):

∆=2ξ ω0

‹2

−4 1 ω²₀ = 4

ω²₀ ξ²−1

La réponse impulsionnelle va donc dépendre deξ.

2.1 Cas 1 :

Dans ce cas,D(p)possède 2 racines réelles notées p₁etp₂:

p_1,2=−ξω0±ω0

pξ²−1

D’après la transformée de Laplace inverse, on a : s(t) = Kω0

2p

ξ²−1 e^p1t−e^p2t

·u(t)

Lorsqueξ >1 on parle de système amorti (régime

apériodique). Réponse impulsionnelle d’un système

du second ordre – Cas oùξ >1

2.2 Cas 2 :

Dans le domaine temporel, on a :

s(t) = Kω0

p1−ξ²e^−ξω0tsin€ ω0tp

1− u(t)

La pseudo-période des oscillations vaut : T = 2π

ω0

p1−ξ²

Lorsqu’il n’y a pas d’amortissement (ξ=0) on a

une réponse sinusoïdale de pulsationω0. Réponse impulsionnelle d’un système du second ordre – Cas oùξ <1

2.3 Cas 3 :

Dans ce casD(p)possède une racine double.

L’allure de la réponse serait comparable à celle obtenue dans le cas du régime apériodique mais ce cas est impossible dans la réalité : on ne peut avoir une valeur réelle deξexactement égale à 1.

3 Réponse indicielle

Dans ce cas,

S(p) = 1 p ·H(p)

3.1 Cas 1 :

Dans ce cas,D(p)possède 2 racines réelles notéesp₁etp₂:







p₁=−2ξω0−p

∆

2 =−ξω0−ω0

pξ²−1 p₂=−2ξω0+p

∆

2 =−ξω0+ω0

pξ²−1

On ap₁<p₂<0.

En conséquence,

S(p) = 1

p · K

1+τ1p

1+τ2p

En calculant alors la transformée de Laplace inverse, on obtient :

s(t) =K



1− 1 τ1−τ2·



τ1e

−t t τ1 −τ2e

−t t τ2









On peut aussi mettres(t)sous la forme suivante : s(t) =K

1− 1

2p ξ²−1·

e^p1t p₁ −e^p2t

p₂

Réponse indicielle d’un système du second ordre – Cas oùξ >1 Ent =0, la courbe admet unetangente horizontale.

La courbe ne dépasse pas son asymptote horizontale (s(t)est monotone).

Il n’y a pas de formule pour déterminer le temps de réponse à 5%.

Nous pouvons remarquer cependant que le système ressemble à un système du premier ordre lorsqu’on s’éloigne det =0.

Le temps de réponse à 5% peut donc être approché par la valeurt r_5%=3×2ξω0.

3.2 Cas 2 :

Dans ce cas, τ1 = τ2 = τ0, on parle d’amortissement critique, l’existence d’un pôle double modifie le décomposition en éléments simples et on obtient :

s(t) =K



1−

 1+ 1

τ0

‹ e

− t τ0





La réponse est plus rapide que siξ >1 (t r_5%=5ω0), mais l’allure de la courbe est très similaire.

3.3 Cas 3 :

Dans ce cas on parle de système sous amorti.

Dans ce cas,H(p)admet deux pôles complexes conjuguées :

p=−€ ξ±jp

1− ω0

La décomposition deS(p)en éléments simples et le calcul de la transformée de Laplace inverse nous donne :

s(t) =K

1− e^−ξω0t p1−ξ²·sin€

ω0

p1−ξ²t+arccosξŠ

La courbe admet toujours une tangente horizontale àt =0.

On observe l’apparition d’oscillations autour de la valeur finale (réponse pseudo-périodique), d’autant plus amorties queξest élevé. Pourξ=0, la réponse est sinusoïdale d’amplitude 2K.

Les courbes enveloppes ont pour équation les courbes suivantes : y(t) =K

1± e^−ξω0t p1−ξ²

Remarque On définit parfoisωp:

ωp=ω0

p1−ξ²

Résultat

La pseudo-période des oscillations est donnée par :

T_p= 2π ω0

p1−ξ²

3.3.1 Résultats sur les dépassements

Lorsque ξ est inférieur à 1, la réponse indicielle génère des dépassements.

Résultat

On montre que le premier dépassement est obtenu pour :

t₁= π ω0

p1−ξ² =T_p 2

La valeur du dépassement (en pourcentage) peut se calculer alors ainsi :

D_1%=

s(t₁)−s(∞) s(∞)−s(0)

Résultat

Le premier dépassement pour cent vaut :

D_1%=e

−πξ p1−ξ²

La valeur du pic est donnée parD_1%·K ·E₀(E₀valeur de l’échelon d’entrée).

Résultat

Le k^edépassement pour cent vaut :

D_k%=e

−kπξ p1−ξ²

L’abaque ci-dessous permet de connaître la valeur du k^edépassement pour cent en fonction du facteur d’amortissement. Lorsque l’amortissement tend vers 1, on peut ainsi mettre en évidence que la valeur des dépassements est de plus en plus faible.

3.3.2 Résultat sur le temps de réponse à 5%

La rapidité d’un système du second ordre va se calculer par le temps de réponse à 5%. Le temps de réponse dépend deω0etξet ne pas s’écrire sous une forme analytique simple.

L’abaque ci-contre donne le temps de réponse réduit t r_5%ω0 en fonction du coefficient d’amortissementξ.

Résultat

On note que le temps de réponse est minimum lorsque ξ ' 0, 7. Dans ces conditions :

t_r5%·ω0=3

3.4 Évolution de la réponse en fonction du coecient d'amortissement

Résultat

On peut montrer que pour la réponse indicielle d’un système du second ordre – il existe une tangente horizontale à l’origine ;

– la valeur finale tend versK E₀(si l’échelon d’entrée vautE₀).