Julie Scholler - Bureau B246
octobre 2019
.
Matrice de taille (n,p) à coefficients dans R
famille d’éléments de R : A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK, que l’on représente sous la forme d’un tableau rectangulaire de la façon suivante
A =
a1,1 a1,2 a1,j a1,p a2,1 a2,2 a2,j a2,p
ai,1 ai,2 ai,j ai,p
an,1 an,2 an,j an,p
• Mn,p(R) : ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans R
.
Notations
A =
a11 a1p
an1 anp
=
a11 a1p
an1 anp
= aij16i6n
16j6p
Proposition
Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même taille et si leurs coefficients sont égaux.
I. Opérations sur les matrices
Exemple
Entreprise de confection de voilages Différents types de rideaux définis par
• leur taille : petit, moyen, grand
• leur couleur : blanc, écru, bleu
Composition des lots proposés aux détaillants
Lot A petit moyen grand
blanc 10 4 2
écru 4 2 2
bleu 2 1 0
Lot B petit moyen grand
blanc 0 4 6
écru 0 2 4
bleu 0 2 2
Somme de deux matrice
• A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(R)
• B = (bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK ∈ Mn,p(R)
A+ B est la matrice de coefficients (ai,j + bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK
a11 a1p
an1 anp
+
b11 b1p
bn1 bnp
=
a11 + b11 a1p + b1p
an1 + bn1 anp + bnp
Attention
Pour additionner deux matrices, elles doivent avoir la même taille.
I. Opérations sur les matrices
Propriétés de l’addition matricielle
• Commutativité : ∀A,B ∈ Mn,p(R), A+ B = B +A
• Associativité : ∀A,B,C ∈ Mn,p(R),
(A+B) +C = A+ (B +C) = A+B + C Matrice nulle de taille (n,p)
la matrice de taille (n,p) dont tous les coefficients sont nuls
0n,p =
0 0
0 0
Remarque
L’addition de matrices dans Mn,p(R) possède un élément neutre
∀A ∈ Mn,p(R), A+ 0n,p = A
I. Opérations sur les matrices
Exemple
Entreprise de confection de voilages Différents types de rideaux définis par
• leur taille : petit, moyen, grand
• leur couleur : blanc, écru, bleu
Composition des lots proposés aux détaillants
Lot A petit moyen grand
blanc 10 4 2
écru 4 2 2
bleu 2 1 0
Lot B petit moyen grand
blanc 0 4 6
écru 0 2 4
bleu 0 2 2
I. Opérations sur les matrices
Multiplication par un scalaire
• A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK une matrice de Mn,p(R)
• λ un élément de R, appelé scalaire
λA est la matrice de coefficients (λai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK
λ
a11 a1p
an1 anp
=
λa11 λa1p
λan1 λanp
Propriétés de la multiplication par un scalaire
• Associativité mixte
∀A ∈ Mn,p(R), ∀(λ, µ) ∈ R2, λ(µA) = (λµ)A
• Existence d’un élément neutre
∀A ∈ Mn,p(R), 1× A = A
• Distributivité à droite par rapport à l’addition dans R
∀A ∈ Mn,p(R), ∀(λ, µ) ∈ R2, (λ+µ)A = λA+µA
I. Opérations sur les matrices
Exemple
Entreprise de confection de voilages Différents types de rideaux définis par
• leur taille : petit, moyen, grand
• leur couleur : blanc, écru, bleu
Composition des lots proposés aux détaillants
Lot A petit moyen grand
blanc 10 4 2
écru 4 2 2
bleu 2 1 0
Lot B petit moyen grand
blanc 0 4 6
écru 0 2 4
bleu 0 2 2
I. Opérations sur les matrices
Exemple
Ressources nécessaires pour la confection des produits et leur coût
Ressources tissus fil ruban petit 0.5 6 1.5
moyen 1 8 1.5
grand 2 10 0
Coût au mètre
tissus 6
fil 0.01
ruban 0.2
Questions
• Coût des matières premières pour un petit rideau ?
• Coût des matières premières pour chaque taille de rideau ?
• Coût des matières premières pour chaque couleurs ?
I. Opérations sur les matrices
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A :3 lignes4 colonnes
b11 b12 b13 b14 b15 b21 b22 b23 b24 b25
b31 b32 b33 b34 b35 b41 b42 b43 b44 b45
B : 4lignes5colonnes
c11 c12 c13 c14 c15
c21 c22 c23 c24 c25 c31 c32 c33 c34 c35
a21×b13
a22×b23 a23×b33
a24×b43 +
+ + a21×b13
a22×b23 a23×b33
a24×b43
C =A×B : 3lignes5colonnes
I. Opérations sur les matrices
Multiplication matricielle
• A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK une matrice de Mn,p(R)
• B = (bi,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK une matrice de Mp,q(R)
C = AB est la matrice (ci,j)(i,j)∈J1,nK×J1,qK de Mn,q(R) définie par
∀i ∈ J1,nK,∀j ∈ J1,qK, ci,j = Xp k=1
ai,kbk,j
Attention
Pour pouvoir multiplier A avec B, il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B, sinon le produit AB
n’existe pas.
I. Opérations sur les matrices
Propriétés de multiplication matricielle
Soit A une matrice de Mn,p(R).
Produit avec la matrice nulle
A× 0p,q = 0n,q et 0q,n × A = 0q,p. Matrice identité
Matrice de taille (n,n), notée In, dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux qui sont égaux à 1
In =
1 0 0
0
0
0 0 1
Produit avec la matrice identité
A× Ip = A et In × A = A
I. Opérations sur les matrices
Propriétés de multiplication matricielle
Associativité du produit matriciel
∀A ∈ Mn,p(R), ∀B ∈ Mp,q(R),∀C ∈ Mq,r(R), A(BC) = (AB)C = ABC
Attention
• Non intégrité : en général, AB = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0
• Non commutativité : en général, AB 6= BA
Propriétés de multiplication matricielle
Distributivité par rapport à l’addition matricielle
∀A ∈ Mn,p(R), ∀B,C ∈ Mp,q(R) A(B +C) = AB +AC
∀A,B ∈ Mn,p(R), ∀C ∈ Mp,q(R), (A+B)C = AC +BC Compatibilité avec la multiplication scalaire
∀A ∈ Mn,p(R), ∀B ∈ Mp,q(R), ∀λ ∈ R, (λA)B = A(λB) = λ(AB)
I. Opérations sur les matrices
Transposition
Soit A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK une matrice de Mn,p(R).
Transposé de A
la matrice de Mp,n(R) :
A> = (aj,i)(i,j)∈J1,pK×J1,nK = (ai,j)(j,i)∈J1,pK×J1,nK
Exercices
A>>, (A+ B)>, (λA)>, (AB)>
II. Matrices particulières
Matrice carrée
matrice ayant autant de lignes que de colonnes
Mn(R) : ensemble des matrices carrées de taille (n,n) (on dit aussi de taille n ou d’ordre n)
Matrice ligne élément de M1,p(R) Matrice colonne élément de Mn,1(R)
Matrice diagonale matrice carrée A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK
2 telle que pour tous entiers i et j dans J1,nK si i 6= j, on a ai,j = 0
A =
a1,1 0 0
0 a2,2
0
0 0 an,n
II. Matrices particulières
Matrices triangulaires
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Triangulaire supérieure
si pour tous entiers i et j dans J1,nK tels que i > j, ai,j = 0
A =
a1,1 a1,2 a1,n 0
an−1,n
0 0 an,n
Matrices triangulaires
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Triangulaire inférieure
si pour tous entiers i et j dans J1,nK tels que i < j, ai,j = 0
A =
a1,1 0 0
a2,1
0
an,1 an,n−1 an,n
II. Matrices particulières
Matrices triangulaires
Soit A ∈ Mn(R) une matrice carrée.
Triangulaire stricte
si ses coefficients diagonaux sont nuls.
A =
0 a1,2 a1,n
0
an−1,n
0 0 0
II. Matrices particulières
Matrice symétrique
une matrice carrée dans Mn(R) telle que A> = A, c’est-à-dire pour tout (i,j) dans J1,nK
2, ai,j = aj,i Matrice idempotente
une matrice carrée A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK
2 telle que A×A = A Matrice non-singulière
une matrice carrée A = (ai,j)(i,j)∈J1,nK
2 telle que son rang est égal à son nombre de lignes (et du coup de colonnes également).
III. Retour aux systèmes linéaires
(S)
a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+a1,pxp = b1 (L1) a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+a2,pxp = b2 (L2)
...
an,1x1 + an,2x2 + · · ·+an,pxp = bn (Ln) On pose
A =
a1,1 a1,p
an,1 an,p
, X =
x1
xp
, et B =
b1
bn
.
Écriture matricielle d’un système linéaire
(x1, . . . ,xp) est une solution de (S) si et seulement si AX = B. (S) ⇐⇒ AX = B
Exemple
Composition des lots proposés aux détaillants
Lot A petit moyen grand
blanc 10 4 2
écru 4 2 2
bleu 2 1 0
Lot B petit moyen grand
blanc 0 4 6
écru 0 2 4
bleu 0 2 2
On a commandé un lot A et un lot B
• Prix par sous-lots de couleur :
126 blanc 72 écru 21 bleu
et
120 blanc 74 écru 46 bleu
• Le prix d’un rideau ne dépend pas de sa couleur.
On souhaite retrouver le prix par taille de rideau dans chaque lot pour comparer.
III. Retour aux systèmes linéaires
Opérations élémentaires
• Li ← λLi
• Li ↔ Lj
• Li ← Li + µLj
Algorithme de Gauss–Jordan
2 3 1 2
Traduction matricielle
• Existe-il des matrices E telles que la multiplication à gauche par cette matrice traduise une opération élémentaire ?
• Lesquelles ?
• Équivalent en multiplication matricielle ?
III. Retour aux systèmes linéaires
Opération élémentaire L
i↔ L
jE = Pi,j :=
i
↓
j
↓
1 0 0
0
1
0 1 ← i
1
1
1 0 ← j
1
0
0 0 1
III. Retour aux systèmes linéaires
Opération élémentaire L
i← L
i+ µL
jE = Qi,j(µ) :=
j
↓
1 0 0
0
1 µ ← i
1
0
0 0 1
Opération élémentaire L
i← λL
iE = Li(λ) :=
i
↓
1 0 0
0
1
λ ← i
1
0
0 0 1
III. Retour aux systèmes linéaires
Algorithme de Gauss–Jordan
• suite d’opérations élémentaires
• suite de matrices élémentaires E1, . . . ,Em telles que Em· · ·E1A = R
avec R une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux valent 0 ou 1 et vérifient si di,i = 0 alors, pour tout j > i, dj,j = 0.
Cas où A est non-singulière
Si A est non-singulière, alors rang(A) = n et R = In.
AX = B ⇔ Em· · ·E1AX = Em· · ·E1B ⇔ InX = Em· · ·E1B
⇔ X = Em· · ·E1B
IV. Cas particulier des matrices carrées
Inversibilité et inverse d’une matrice carrée
Soit A une matrice carrée de Mn(R).
A est inversible
s’il existe une matrice C dans Mn(R), appelée inverse de A, telle que
AC = In = CA Unicité de l’inverse
Si une matrice A de Mn(R) est inversible, alors elle admet un unique inverse, noté A−1.
Remarque
1 1 0 0
n’est pas inversible
IV. Cas particulier des matrices carrées
Conditions nécessaires et suffisantes d’inversibilité
Condition nécessaire d’inversibilité
Si A est inversible alors A est non singulière, c’est-à-dire rang(A) = n.
Condition suffisante d’inversibilité 1
Si A est non singulière, alors A est inversible.
• Toute matrice élémentaire est inversible d’inverse une matrice élémentaire de même nature.
Condition suffisante d’inversibilité 2
Soient A et B deux matrices de Mn(R) telles que AB = In ou BA = In.
Alors les matrices A et B sont inversibles et sont inverses l’une de l’autre : A−1 = B et B−1 = A.
Propriétés
Soit A ∈ Mn(R). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. La matrice A est inversible.
2. La matrice A est non singulière.
3. Il existe B ∈ Mn(R) telle que BA = In.
4. Tout système AX = C a au moins une solution pour tout C. 5. Tout système AX = C a au plus une solution pour tout C.
IV. Cas particulier des matrices carrées
Inversion et opérations algébriques
(A+ B)−1, (λA)−1, (AB)−1 , A>−1?
Soient A, B et C trois matrices de Mn(R) et λ un scalaire non nul.
Propriétés 1. (In)−1 = In
2. Si A est inversible, alors A−1 l’est aussi et A−1−1 = A.
3. Si A est inversible, alors λA l’est aussi et (λA)−1 = 1
λA−1. 4. Si A et B sont inversibles, alors AB l’est inversible et
(AB)−1 = B−1A−1.
5. Si AC = BC, avec C inversible, alors A = B.
6. Si A est inversible, alors A> l’est aussi et A>−1 = A−1>.
IV. Cas particulier des matrices carrées
Calcul pratique de l’inverse
Soit A une matrice carrée de Mn(R) non singulière.
a11 a12 a13 1 0 0 a21 a22 a23 0 1 0 a31 a32 a33 0 0 1
∼ algorithme de
· · · ·
Gauss–Jordan ∼
1 0 0 ˜a11 ˜a12 ˜a13 0 1 0 ˜a21 ˜a22 ˜a23 0 0 1 ˜a31 ˜a32 ˜a33
Alors A−1 =
˜
a11 ˜a12 ˜a13
˜
a21 ˜a22 ˜a23
˜
a31 ˜a32 ˜a33
IV. Cas particulier des matrices carrées
Exemple
Composition des lots proposés aux détaillants
Lot A petit moyen grand
blanc 10 4 2
écru 4 2 2
bleu 2 1 0
Lot B petit moyen grand
blanc 0 4 6
écru 0 2 4
bleu 0 2 2
On a commandé un lot A et un lot B
• Prix par sous-lots de couleur :
126 blanc 72 écru 21 bleu
et
120 blanc 74 écru 46 bleu
• Le prix d’un rideau ne dépend pas de sa couleur.
On souhaite retrouver le prix par taille de rideau dans chaque lot pour comparer.
Soit A une matrice de Mn(R).
Puissance de A
On pose A0 = In et, pour tout entier n dans N, on définit An+1 def= An × A.
Propriétés
• An+p = An ×Ap et (An)p = Anp ;
• A>n = (An)>.
Attention
• En général, (AB)n 6= AnBn !
IV. Cas particulier des matrices carrées
Soit A une matrice de Mn(R) inversible.
Puissances négatives de A
Pour tout entier naturel k, Ak est également inversible d’inverse A−k.
IV. Cas particulier des matrices carrées
Formule du binôme de Newton
Soient A et B deux matrices carrées de même taille qui commutent.
∀n ∈ N, (A+ B)n = Xn
k=0
n k
!
AkBn−k.
Attention
En général, (A+ B)2 = A2 +AB +BA + B2.
