CI 2 – SLCI : É

CI 2 – SLCI : É

S

L

C

I

CHAPITRE2 – MODÉLISATION DESSYSTÈMESLINÉAIRESCONTINUSINVARIANTS

TRANSFORMÉE DELAPLACE EXERCICES D’APPLICATION

D’après ressources de Jean-Pierre Pupier et Florestan Mathurin.

Exercice 1

On souhaite résoudre l’équation différentielle suivante : d e(t)

d t +e(t) =d³s(t)

d t³ +d²s(t)

d t² +d s(t) d t e(t)est l’entrée du système,s(t)la sortie.

On se place dans les conditions de Heaviside, c’est-à-dire qu’on considère que s(t), e(t) et leurs dérivées successives sont nulles ent =0.

Question1

En utilisant les résultats sur la transformée de Laplace, donner l’équation différentielle dans le domaine de Laplace.

Correction

En utilisant la propriété de la transformée de Laplace de la dérivée,L

•d f(t) d t

˜

=p F(p)−f(0⁺). Étant dans les conditions de Heaviside, on a donc :

p E(p) +E(p) =p³S(p) +p²S(p) +p S(p)

Pour la suite on considère que le système est soumis à une entréee(t)indicielle.

Question2

Donner l’allure graphique d’une entrée indicielle. Donner sa forme dans le domaine temporel puis dans le domaine de Laplace. En déduire S(p).

rrection

Pourt ∈R⁺_∗, on ae(t) =1, sinone(t) =0.

Dans le domaine de Laplace,E(p) = 1 p. En conséquence,

S(p) = 1+p p³+p²+p

Question3

Déterminer les valeurs finales et initiales de s(t).

Correction

D’après le théorème de la valeur initiale, limt→0s(t) = lim

p→+∞p S(p) = lim

p→+∞p· 1+p

p³+p²+p = lim

p→+∞

1+p p²+p+1=0 En effet, 1+p

p²+p+1_p→+∞∼ p

p²_p→+∞∼ 1

p _p→+∞∼ 0 D’après le théorème de la valeur finale,

t→+∞lim s(t) =lim

p→0p S(p) =lim

p→0p· 1+p

p³+p²+p =lim

p→0

1+p p²+p+1=1

Question4

Déterminer les valeurs initiales et finales de la fonction dérivéed s(t) d t .

Correction

D’après les propriétés de la dérivée, on aL

•d s(t) d t

˜

=p S(p). En conséquence, d’après le théorème de la valeur initiale :

limt→0

d s(t)

d t = lim

p→+∞p p S(p)

= lim

p→+∞p 1+p p²+p+1=1 D’après le théorème de la valeur finale :

t→+∞lim d s(t)

d t =lim

p→0p 1+p p²+p+1=1

Question5

Décomposer S(p) en éléments simples puis en somme algébrique de plusieurs transformées de Laplace élémentaires.

Correction

On a :

S(p) = 1+p

p³+p²+p =1

p · 1+p p²+p+1

| {z }

S₁(p)

=α

p + β+γp p²+p+1

| {z }

S₂(p)

On multiplieS₁(p)etS₂(p)parp et on posep=0 : 1+p

p²+p+1=α+ β+γp

p²+p+1p⇐⇒α=1 Et doncα=1.

Posonsp=1 etp=−1 :

Correction

¨ S₁(1) =S₂(1)

S₁(−1) =S₂(−1) ⇐⇒





 2

3=1+β+γ 3

0=−1+β−γ ⇐⇒

¨ 2=3+2β−1 γ=β−1 ⇐⇒

¨ γ=−1 β=0 Au final :

S(p) = 1

p − p

p²+p+1

Question6

En déduire s(t)en utilisant la transformée de Laplace inverse.

Correction

Dans un premier temps, transformantS(p)afin d’identifier des formes connues :

S(p) = 1

p − p

p²+p+1= 1

p − p

 p+1

2

‹2

+3 4

= 1 p −

p+1 2−1

2

 p+1

2

‹2

+3 4

= 1 p −

p+1 2−1

2

 p+1

2

‹2

+3 4

S(p) = 1 p −

p+1 2

 p+1

2

‹2

+3 4

+

1 2

 p+1

2

‹2

+3 4

= 1 p −

p+1 2

 p+1

2

‹2

+3 4

+ 1 2·

s3 4·

s3 4

 p+1

2

‹2

+3 4

S(p) = 1 p −

p+1 2

 p+1

2

‹2

+3 4

+ p3

4

s3 4

 p+1

2

‹2

+3 4

En utilisant le tableau des transformées inverses et le théorème de l’amortissement on a, pour toutt >0 :

s(t) =1−e⁻ 1 2^tcos

‚v t3

4t

Π+

p3 4 e⁻

1 2^tsin

‚v t3

4t

Œ

Question7

Donner l’allure de la s(t).

Correction

Exercice 2 Application du théorème du retard Application de la propriété de la périodicité Modélisation des signaux

Modéliser les signaux ci-contre.

Correction

On pourrait définir le premier signal ainsi :∀t ∈[0, 2],f₁(t) =4−2t, sinonf₁(t) =0.

Une seconde façon serait d’utiliser la fonction de Heaviside définit par :∀t >0u(t) =1, sinonu(t) =0.

On aurait alors∀t ∈]− ∞, 2],f₂(t) = (4−2t)·u(t), sinonf₂(t) =0.

Enfin, dans un troisième temps on peut rechercher une fonction qui serait définie surR. Pour cela, définissons d’abord une fonctiong telle queg(t) = (−4+2t)·u(t−2).

On peut donc définirf ainsi :∀t ∈R,f(t) = (4−2t)·u(t) + (−4+2t)·u(t −2). Dans le domaine de Laplace, on a donc :

F(p) = 4 p − 2

p²+e^−2p



−4 p + 2

p²

‹

Enfin, si le signal est 2-périodique, on obtient :

F(p) = 4 p − 2

p²+e^−2p



−4 p + 2

p²

‹

1−e^−2p

Exercice 3 Système mécanique

Soit le système mécanique ci-contre constitué d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement f. On peut déplacer l’extrémité du ressortAd’une quantitéx. Á l’instantt =0 le système est en équilibre, le pointAest positionné enx₀et le point Best positionné eny₀.

On noterax(t)et y(t)les variations des positions des pointsAetB autour dex₀ety₀.

Question1

Donner l’équation différentielle faisant intervenir x(t)et y(t). K désigne la raideur du ressort, f désigne le coefficient visqueux de l’amortisseur. La pièce liant ressort et amortisseur au point B est considérée comme ayant une masse quasiment nulle.

Correction

En appliquant le théorème de la résultante dynamique en projection sur l’axe−→x au système ressort – amortisseur, on obtient :

k x(t)−y(t)

−f d y(t)

d t =Md y²(t) d t² Dans notre cas, la masse du système isolée est nulle. On a donc :

k x(t)−y(t)

=f d y(t) d t

Question2

Réécrire cette équation en passant du domaine temporel au domaine de Laplace.

Correction

Dans le domaine de Laplace, on a donc directement : k X(p)−Y(p)

=f p Y(p)

Question3

Déterminer la fonction H(p) = Y(p)

X(p). H sera appelée fonction de transfert du système.

Correction

Il vient directement :

H(p) =Y(p) X(p)= K

K +f p

Question4

Donner la réponse du système à un échelon unitaire puis mettre S(p)sous la forme S(p) = 1 p· 1

A+τp. On précisera l’expression deτ.

rrection

L’entrée du système correspond à la position deAet la sortie à la position deB. Si on sollicite le système par un échelon de position, on a doncX(p) = 1

p : Y(p) =H(p)·X(p) = k

k+f p ·1

p = 1

1+ f kp

·1 p

f

Question5

Mettre Y(p)sous la forme α

p + β

1+τp.

Correction

Posons :

Y₁(p) = 1 1+τp · 1

p et Y₂(p) =α p + β

1+τp avec Y₁(p) =Y₂(p) On multiplieY₁etY₂parpet on posep=0. On obtient alorsα=1.

On multiplie ensuiteY₁etY₂par 1+τpet on posep=−1

τ. On obtient alorsβ=−τ.

On obtient donc :

Y(p) = 1

p − τ

1+τp

Question6

En déduire la réponse y(t)à un échelon unitaire.

Correction

On modifieY(p)pour la mettre sous une forme connue : Y(p) = 1

p − 1 1 τ+p Dans le domaine temporel, on a donc :

y(t) =u(t)·



1−e⁻ t τ





Question7

Tracer graphiquement l’allure générale de y(t).

Correction

Question8

Recommencer le même travail en étudiant la réponse du système à une entrée sinusoïdale e(t) =sin(ω·t)·u(t) avecω=1r a d/s et T= f

K =1. On fera donc l’hypothèse que le système est particulier, c’est-à-dire que T =1.

Correction

En appliquantx(t) =sin(t), on a : Y(p) = 1

1+p · 1 p²+1=1

2·

• 1

1+p − p−1 p²+1

˜

=1 2·

• 1

1+p − p

p²+1+ 1 p²+1

˜

Correction

On a donc dans le domaine temporel :

y(t) =1 2

e^−t−cost +sint Remarque :

sint −cost =sint−cost·tan

π 4=sint −cost sinπ4 cosπ4=p

2

sintcosπ

4−costsinπ 4

=p 2 sin

t −π

4

Au final :

y(t) =1 2 h

e^−t+p 2 sin

t−π 4

i

Exercice 4 Transformée de Laplace

Connaissant les transformées de Laplace des fonctions cos(ωt)·u(t), donner la transformée de Laplace dee^{−a t}· cos(ωt)·u(t).

Exercice 5 Transformée de Laplace inverse

Calculer les transformées de Laplace inverses des fonctions suivantes : F₁(p) = K₁

p+a

· p+b F₂(p) = K₂

p· 1+τp F₃(p) = K₃·p p+a

p+b F₄(p) = K₄p²

p−12

· p+1 F₅(p) = 3p+1 p−1

· p²+1

Exercice 6 Circuit RLC

On donne le schéma électrique ci-contre. On suppose que les conditions initiales sont nulles.

Question1

Déterminer l’équation différentielle liant u_c(t)et e(t).

Question2

e(t) étant un échelon d’amplitude E₀, résoudre l’équation en utilisant la transformée de Laplace.

Exercice 7 Transformées de Laplace inverse

On donne les fonctions suivantes :

F₁(p) = 3 p· p+1

· p+2 F₂(p) = 2p+1 p²+2p+10 Question1

En utilisant la transformées de Laplace inverse, donner les fonctions causales du temps.

Exercice 8

Soit la fonction de transfert suivante :

H(p) = p²+1 p² p+1

. On fait subir au système représenté par cette fonction de transfert une entrée échelon unitaire.

Question1

Calculer S(p)la réponse du système.

Question2

Décomposer là en éléments simples sous la forme : A p³+ B

p²+C p + D

p+1. Question3

Déterminer s(t).

Question4

Réaliser un tracé représentatif de la fonction s(t).

Équation diérentielle

Il s’agit de résoudre l’équation différentielle suivante : d²y(t)

d t² +3d y(t)

d t +2y(t) =e(t) avec y(0) =2 d y(0) d t =2 Par ailleurs,e(t) =6·u(t).

Question1

Écrire cette équation à l’aide de la transformée de Laplace.

Question2

Décomposer Y(p)sous la forme A p + B

p+α+ C p+β. Question3

Donner une représentation graphique de y(t).