Td 3 - CI-2-2: Modéliser les signaux et les fonctions de transfert. Passer du domaine temporel au domaine symbolique de Laplace et inversement.

(1)

Modéliser les signaux et les fonctions de transfert.

Passer du domaine temporel au domaine symbolique de Laplace et inversement.

CI-2

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

L

YCÉE

C

ARNOT

(D

IJON

), 2020 - 2021

Germain Gondor

Sciences de l’Ingénieur (MPSI - PCSI) Td 3 - CI-2-2 Année 2020 - 2021 1 / 17

(2)

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

(3)

Sommaire

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

(4)

Soient les fonctions e ₁ (t) et e ₂ (t) définies sur R .

Q - 1 : Décomposer e 1 (t) et e 2 (t) en signaux élémentaires.

Q - 2 : En déduire les transformées de Laplace de e ₁ (t) et e ₂ (t).

(5)

e ₁ (t) =



 

 

 

 

0 si t ≤ 0 k .t si 0 < t < τ 1

k .τ ₁ si t ≥ τ ₁

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

t

(6)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

t

(7)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

t

(8)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

t

(9)

e ₂ (t) =



 

 

 

 

0 si t ≤ 0

k .t si 0 < t ≤ τ ₁ k .τ ₁ si τ ₁ < t ≤ τ ₂ k . (τ 1 + τ 2 − t) si τ 2 < t ≤ τ 1 + τ 2

0 si t > τ ₁ + τ ₂

t

τ ₁ τ ₂

k .τ ₁

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(10)

t

τ ₁ τ ₂

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(11)

t

τ ₁ τ ₂

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(12)

t

τ ₁ τ ₂

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(13)

t

τ ₁ τ ₂

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(14)

t

τ ₁ τ ₂

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e ₂ (t)

(15)

Sommaire

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

(16)

Q - 3 : Montrer par récurrence que L h

t ⁿ .e ^−a.t i

= n!

(p + a) ⁿ⁺¹

(17)

Q - 4 : Montrer que:

S

1

(p) = K (1 + τ.p) . E

0

p ⇔ s

1

(t) = K .E

0

. 1 − e

⁻^t^τ

.u(t) S

2

(P) = K

(1 + τ.p) . V

₀

p

²

⇔ s

2

(t) = K .V

0

.

t − τ + τ.e

⁻^t^τ

.u(t) S

3

(p) = K

(1 + τ.p)

²

. E

0

p ⇔ s

3

(t) = K .E

0

. 1 − t

τ + 1

! .e

⁻^τ^t

! .u(t)

(18)

Sommaire

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

(19)

C

R

v (t) s(t)

i(t) >

(20)

Q - 5 : Déterminer la fonction de transfert H(p) = S(p) U(p)

Q - 6 : Déterminer les valeurs en régime permanent des ré- ponses impulsionnelles, indicielles et en suivi.

Q - 7 : Déterminer les réponses impulsionnelles, indicielles et en suivi.

(21)

Sommaire

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

(22)

C

L

v (t) s(t)

i(t) >

(23)

Q - 8 : Déterminer la fonction de transfert H(p) = S(p) U(p)

Q - 9 : Déterminer les valeurs en régime permanent des ré- ponses impulsionnelles, indicielles et en suivi.

Q - 10 : Déterminer les réponses impulsionnelles, indicielles et en suivi.

Td 3 - CI-2-2: Modéliser les signaux et les fonctions de transfert. Passer du domaine temporel au domaine symbolique de Laplace et inversement.

Modéliser les signaux et les fonctions de transfert.

Passer du domaine temporel au domaine symbolique de Laplace et inversement.

CI-2

Modéliser et simuler les systèmes linéaires continus invariants.

L

C

(D

), 2020 - 2021

Germain Gondor

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

Sommaire

1 Modélisation des signaux

2 Transformées de Laplace

3 Circuits RC

4 Circuits LC

Soient les fonctions e 1 (t) et e 2 (t) définies sur R .

Q - 1 : Décomposer e 1 (t) et e 2 (t) en signaux élémentaires.

Q - 2 : En déduire les transformées de Laplace de e 1 (t) et e 2 (t).

e 1 (t) =



 

 

 

 

 

 

0 si t ≤ 0 k .t si 0 < t < τ 1

k .τ 1 si t ≥ τ 1

τ 1 k .τ 1

e 1 (t)

t

τ 1 k .τ 1

e 1 (t)

t

τ 1 k .τ 1

e 1 (t)

t

τ 1 k .τ 1

e 1 (t)

t

e 2 (t) =



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 si t ≤ 0

k .t si 0 < t ≤ τ 1 k .τ 1 si τ 1 < t ≤ τ 2 k . (τ 1 + τ 2 − t) si τ 2 < t ≤ τ 1 + τ 2

0 si t > τ 1 + τ 2

t

τ 1 τ 2

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e 2 (t)

t

τ 1 τ 2

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e 2 (t)

t

τ 1 τ 2

k .τ 1

τ 1 + τ 2

e 2 (t)

t

τ 1 τ 2

k .τ 1

τ 1 + τ 2

Soient les fonctions e ₁ (t) et e ₂ (t) définies sur R .

Q - 2 : En déduire les transformées de Laplace de e ₁ (t) et e ₂ (t).

e ₁ (t) =

k .τ ₁ si t ≥ τ ₁

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

τ ₁ k .τ ₁

e ₁ (t)

e ₂ (t) =

k .t si 0 < t ≤ τ ₁ k .τ ₁ si τ ₁ < t ≤ τ ₂ k . (τ 1 + τ 2 − t) si τ 2 < t ≤ τ 1 + τ 2

0 si t > τ ₁ + τ ₂

τ ₁ τ ₂

k .τ ₁

e ₂ (t)

τ ₁ τ ₂

e ₂ (t)

τ ₁ τ ₂

e ₂ (t)

τ ₁ τ ₂

e ₂ (t)

τ ₁ τ ₂

e ₂ (t)

τ ₁ τ ₂

e ₂ (t)

t ⁿ .e ^−a.t i

(p + a) ⁿ⁺¹