Problème E599 de Diophante (octobre 2020) Q1 Notons R2(n) =bn/2c etR3(n) = 3n+ 1.
Pour passer deaà b, il sut de passer de aà 1 en appliquant répé- titivementR2, puis de1 à b.
Pour trouver un chemin via R de 1 à b, procédons à reculons, en cherchant un chemin deb à1 via l'opération inverse deR :
S1(n) = 2n,S2(n) = 2n+ 1 ou (mais seulement si ce quotient est un entier)S3(n) = n−13 .
En posant :
sin≡1 mod 3,S(n) =S3(n) = n−13 , sin≡2 mod 3,S(n) =S3(S1(n)) = 2n−13 , sin≡0 mod 3,S(n) =S3(S2(n)) = 2n3 ,
on a dans les trois casS(n) < n, si bien qu'en itérant S à partir de bon nira par tomber sur 1. On en déduit un R-chemin de 1 àb, en lisant à l'envers leS-chemin debà1 et en appliquantR2 chaque fois qu'on litS1 ouS2, etR3 chaque fois qu'on lit S3.
Q2 Application :
de a= 2020à b= 2021 :(R2)10 (pour descendre à 1)
puisR3,(R3, R2), R3,(R3, R2)3, R3 (pour remonter jusqu'à199) puis(R3, R2), R3,(R3, R2)2 (pour nir de remonter).
La suite d'entiers obtenue est :
2020,1010,505,252,126,63,31,15,7,3,1;
4,(13,6),19,(58,29),(88,44),(133,66),199, (598,299),898,(2695,1347),(4042,2021).
de a= 2021à b= 2019 : même début jusqu'à199 puisR3,(R3, R2)3 (pour nir de remonter).
La suite d'entiers obtenue est : 2021,1010, . . . ,1;
4, . . . ,199,
598,(1795,897),(2692,1346),(4039,2019).
Anne et Maurice Bauval
