D644 – Une construction apollinienne
A l’aide d'une règle et d'un compas, tracer un point P du plan d’un triangle ABC tel que les triangles PAB, PBC et PCA ont même périmètre.
Solution proposée par Paul Voyer
Le point P est commun aux trois hyperboles ayant deux des sommets A, B, C pour foyers et passant par le troisième.
En effet, par exemple PA-PB=CA-CB, car PCA et PCB ont le même périmètre, etc...
Il existe deux de ces points, un seul convient.
Ce point est appelé "point isopérimétrique" réf X(175) Clark Kimberling C'est le centre du cercle extérieur de Soddy.
Construction à la règle et au compas :
1 On détermine les bissectrices des angles A, B, C.
2 Du centre du cercle inscrit, les perpendiculaires à AB, BC, CA déterminent les points de contact du cercle inscrit avec ABC.
3 Les cercles de centres A, B, C passant par ces points de contact notés (A), (B), (C), sont tangents 2 à 2.
4 Le point isométrique est le centre P du cercle externe tangent à ces trois cercles.
Le cercle (P) est le "cercle de Soddy externe".
5 Dans l'inversion de pôle E (contact sur AB) qui conserve le cercle (C), les deux cercles (A) et (B) deviennent des droites perpendiculaires à AB tangentes au cercle (C).
6 L'image du cercle (P) est un cercle compris entre ces deux droites et tangent au cercle (A), donc égal au cercle (A).
Ces deux cercles sont les inverses des cercles de Soddy,
P est sur la droite joignant le centre M de l'un d'eux et E car les cercles (M) et (P) sont image l'un de l'autre dans l'inversion de pôle E.
7 La même construction depuis (A) ou (B) donne deux autres droites passant aussi par P.
