Alice,Bernard et Caroline se rendent chez Pascal ce maître artisan glacier réputé qui offre une très grande variété de parfums de glaces soit en cornets soit dans des coupes en nougatine.
Alice est servie la première et choisit un cornet à deux boules de parfums différents.
Bernard limite son choix aux parfums de fruits rouges et se fait servir une coupe avec cinq boules de parfums différents. Ce faisant il prend la dernière boule de fraise des bois.
Caroline enfin se limite aux parfums de fruits rouges disponibles et choisit une coupe avec six boules de parfums différents.
Q₁ Pascal ayant constaté en mathématicien amateur éclairé que les trois amis avaient exactement le même nombre de choix possibles, déterminer le nombre total de parfums offerts à Alice et le nombre de parfums de fruits rouges offerts à Bernard.[*]
Q₂ Démontrer qu’on sait trouver dans le triangle de Pascal un nombre entier > 1 qui apparaît huit fois [*]
Q₃ Démontrer qu’on sait trouver trois entiers < 2021 qui apparaissent six fois dans ce même triangle [**]
Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité de nombres entiers qui apparaissent six fois dans ce triangle [****].
Pour les plus courageux : Existe-t-il une infinité de nombres entiers tels que chacun d’eux apparaît huit fois ou plus dans le triangle de Pascal? [*****]
Q1 : Soit n le nombre total de parfums, et m le nombres de parfums de fruits rouges.
Le nombre de choix pour Alice est Cn2, pour Bernard Cm5 et pour Caroline Cm-16. L’égalité entre les nombres de choix pour Bernard et Caroline s’écrit donc :
m!/(5!*(m-5)!)=(m-1)!/(6!*(m-7)!) soit 6m=(m-5)(m-6) ou m2-17m+30=0 soit m=(17±13)/2 : puisque m≥6, seul m=15 convient, et le nombre de choix est : 15!/(5!*10!)=11*12*13*14*15/2*3*4*5=3003. Et puisque 3003=77*78/2, n=78.
Q2 : Le nombre 3003 trouvé ci-dessus est égal à C782=C7876, à C155=C1510 , à C146=C148, et bien sûr à C30031=C30033002.
Q3 : C162=C103=120=23*3*5 , C212=C104=210=2*3*5*7, C562=C223=1540=22*5*7*11 Q4 & Q5 : Deux des valeurs ci-dessus, auxquelles on peut ajouter 7140=C1202=C363 (voire 10=C52=C53 ) suggèrent de s’intéresser aux nombres à la fois triangulaires et
tétraédriques : mais il n’en existe pas d’autre!
Parce que cela conduit à une équation du second degré, on peut chercher les valeurs de n et k telles que Cn-1k =Cnk-1 (on a déjà vu que C155=C146=3003) ; on obtient alors :
nk=(n-k)(n-k+1) soit n2-(3k-1)n+k(k-1)=0, dont le discriminant x vérifie
x2=(3k-1)2-4k(k-1)=5k2-2k+1 ou 5x2=25k2-10k+5=(5k-1)2+4, soit en posant y=5k-1, y2-5x2=-4, équation de Fermat-Pell dont la première solution est x=y=1, et les suivantes X=4x+9y , Y=9x+20y. En raisonnant modulo 5, on obtient une suite périodique :(1, 1), (3, 4), (3, 2), (0, 2), (3, 0), (2, 2), (1, 3), (1, 4), (0, 4), (1, 0), (4, 4), (2, 1), (2, 3), (0, 3), (2, 0), (3, 3), (4, 2), (4, 1), (0, 1), (4, 0), (1, 1), ... dans laquelle y est plusieurs fois congru à 4, donc de la forme 5k-1 : il y a donc une infinité de valeurs de k et n telles que Cn-1k =Cnk-1 On retrouve d’abord x=13, y=29, k=(y+1)/5=6, n=(3k-1+x)/2=15, qui correspondent à la valeur 3003 ; les valeurs admissibles suivantes sont x=2513967061 et y=5598212069, qui donnent n=2936447151 et k=1119642414...
Même si la première valeur obtenue (3003) apparait 8 fois dans le triangle de Pascal, il ne semble pas qu’une autre valeur apparaisse plus de 6 fois .
