Enfin le trésor est sur l’intervalle 3 1p p tracé en violet à une distance de p qui est le tiers de la distance 1 p1p3

D616 – Le trésor et la potence

Solution

On se doute que le jeune aventurier avait des lacunes en mathématiques. Une représentation sur une feuille de papier des parcours indiqués par le parchemin et le repérage des pieux avec les nombres complexes donnent très rapidement la solution qui ne dépend pas de la position de la potence… mais seulement de la position relative des deux arbres :

Le premier trajet qui mène au pieu p est identifié par un trait bleu, le second qui aboutit au ₁ pieu p par un trait rouge, l’angle PB₂ p mesuré dans le sens trigonométrique étant égal à 90° ₂ soit une rotation de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre quand on est en B en

provenance de P. Ensuite on se dirige vers le pieu p qui est le symétrique de ₃ p par rapport à ₂ A et l’on y arrive après avoir parcouru le trajet p₂p₃ en vert. Enfin le trésor est sur l’intervalle

3 1p

p tracé en violet à une distance de p qui est le tiers de la distance ₁ p₁p₃.

Dans un repère orthonormé Bxy avec l’arbre B pris pour origine et l’arbre A de coordonnées –1 et 0, on représente la potence P de coordonnées x et y par le nombre complexe C(P) = z = x+iy.

On a par ailleurs C(A)= - 1 et C(B) =0.

A partir de la relation vectorielle Bp₁BAAp₁et de la relation C(Ap₁)i.C(AP)avec i nombre imaginaire tel que i² 1, on peut écrire C(p ) = -1 +i.₁ C(AP) avec C(AP) = 1+z . Il en résulte que C(p ) = -1 +i(1+z). ₁

De la même manière, on peut écrire C(p ) = iz/2 qui traduit la rotation de +90° du demi-₂ vecteur BP . D’autre part p étant symétrique de ₃ p par rapport à A, on a la relation ₂ vectorielle Bp₂Bp₃2BA qui permet d’écrire C(p ) = - 2 – iz/2. ₃

Enfin le trésor est en un point T tel que 2Tp₃Tp₁ 0qui peut encore s’écrire 0

Bp TB Bp 2 TB

2  ₃  ₁ 3BT2Bp₃Bp₁

Il s’ensuit que C(T)=2C(p ) /3 + C(₃ p )/3 = - 4/3 –iz/3 –1/3 +i/3 +iz/3 = (i-5)/3. ₁

On constate que le nombre complexe qui exprime la position du trésor est indépendante de z qui donne la position de la potence. Les coordonnées du trésor sont tout simplement : –5/3 et 1/3.

La bonne démarche de l’aventurier aurait donc été de ne pas supputer où pouvait se trouver la potence mais de compter ses pas entre B et A puis en prolongeant BA, de compter deux tiers de pas supplémentaires jusqu’au point C et arrivé à ce point de tourner sur sa droite pour parcourir un tiers de pas supplémentaires avant d’arriver au trésor T.

En conclusion, il s’agissait de parcourir le parcours en jaune qui représente exactement deux fois la distance qui sépare les deux arbres…