EX G113
1) On a clairement E(1)=1. Pour N > 1 notons d(N) le nombre de diviseurs de N. Chacun de ces diviseurs a la mˆeme probabilit´e 1/d(N) d’ˆetre choisi pour u2. On peut donc ´ecrire pour N >2 : E(N) = 1 + 1
d(N) X
k|N
E(k) d’o`u l’on d´eduit: E(N) = 1 + 1 d(N)−1
1 + X
k|N,k<N
E(k)
.
2) Un calcul `a la main fournit : E(2) =E(3) =E(5) =E(7) =E(11) = 3 puisE(4) =E(9) = 7/2 (3 diviseurs), puis E(6) =E(10) = 11/3 (4 diviseurs), puisE(8) = 23/6 (4 diviseurs) et enfinE(12) = 121/30 (6 diviseurs). 12 est donc le plus petitN tel queE(N)>12.
3)La traduction en Maple fournit instantan´ement le plus petit N tel que E(N) > 5 : E(576) = 10223839/2042040≈5,007.
a) d´efinition de la fonction r´ecursive E (dans laquelle divisors(N) donne l’ensemble des diviseurs de N et tau(N) le nombre de ses diviseurs) :
with(numtheory): E:=proc(N) option remember: if N=1 then 1 else 1+(1+add(E(k),k=divisors(N) minus{N}))/(tau(N)-1) fi end:
b) recherche du plus petit N (evalf fait un calcul approch´e) : N:=1: while evalf(E(N))<5 do N:=N+1 od: N; evalf(E(N));
4) Pour des valeurs plus grandes de E(N) il faut se limiter `a N = 2a3b5c ou N = 2a3b5c7d. On obtient pour N = 214×34×5 = 6635520 : E(N) ≈6,007 (plus petit N tel que E(N) >6) et pour N = 225×310×53×72≈1,2×1016: E(N)≈7,0026 (plus petit N tel que E(N)>7 ?)
5) On peut obtenir une formule exacte pourE(N) quandN =pnavecppremier : (n+1)(E(pn)−1) =
n
X
k=0
E(pk) etn(E(pn−1)−1) =
n−1
X
k=0
E(pk) donnent par diff´erence:E(pn) =E(pn−1)+1/nd’o`u pourn>2 :
E(pn) = 2 +
n
X
k=1
1/k.
1