Exercice 5
Montrer qu’il n’existe pas de fonctione∈L1(R) telle que
∀f ∈L1(R), e∗f =f.
Nous proc´ederons par l’absurde. Supposons queeexiste. Si e∗f =f alors e[∗f(ξ) = f(ξ). Puisque les fonctionsb e et f sont dans L1(R) et que la transform´ee de Fourier transforme le produit de convolution en produit de fonctions (`a un facteur pr`es), on a
∀ξ ∈R, e[∗f(ξ) =√
2π be(ξ)·fb(ξ) =fb(ξ).
Ceci est vrai, en particulier, pour la fonction f1(x) = e−|x| dont la trans- form´ee de Fourier, calcul´ee `a l’exercice 1, est telle quefb1(ξ) >0 pour tout ξ∈R. On a donc be(ξ) = √1
2π pour tout ξ ∈R. Mais d’apr`es le th´eor`eme de Riemann-Lebesgue, on a
|ξlim|→∞be(ξ) = 0
careest dansL1(R). On a donc une contradiction, etene peut pas exister.
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