ESPACES DE FONCTIONS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� ESPACES DE FONCTIONS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Espaces de fonctions continues

I. A. Fonctions continues et norme uniforme

Fonctions continues, norme uniforme, une limite simple de fonctions continues est continue, interversion de limites, exemples et contre-exemples

L’espace des fonctions bornées est unB��

I. B. Fonctions continues sur un compact

[Gou��, §�.�/�.�, p��/��] [HL��, Ch�, p��]

L’image d’un compact par une application continue est un compact. Les fonctions continues sont donc bornées,C(K)est un espace de deB��.

Minimisation sur un compact, application : sifest coercive continue et minorée alors elle ad- met un minimum qui est atteint.

Théorème deH��. Application aux fonctions2ﬁ-périodiques, théorème de D��. Contre- exemple si l’on n’est plus sur un compact

Autre application : une limite simple continue de fonctions continues sur un compact est une limite uniforme

Xcompact. Définition de l’(uniforme) équicontinuité d’une partie deC(X), exemple des fonctions lipschitziennes

Théorème d’A��-A��, application aux opérateurs à noyauxæopérateurs compacts

I. C. Densités de familles de fonctions

[HL��, Ch�, p��–��]

Soit(X, d)un compact non vide.

T��. [�� S��-W��]

SoitHune sous-algèbre deC(X,R)séparante et unitaire. AlorsHest dense dansC(X,R).

Application : théorème deW��(dans le cas où l’on est surR, la limite est nécessaire- ment un polynôme), base deF��des fonctions2ﬁ-périodiques

Application : une fonction continueftelle quesb

af(x)xⁿdx= 0pour toutnest nulle

II. Espaces de L��

[BP��, Ch�, p��–��] [Bre��, ChIV, p��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré. SoitK= RouC. Soit un ouvert deR^d, muni de sa tribu borélienne et de la restriction à de la mesure deL��, dont on suppose la construction connue. Soitpœ[1,+Œ]etqson exposant conjugué (¹_p+¹_q = 1).

II. A. Construction

D��. [��Î.Îp,��L^p] Pourf :E≠æKmesurable, on définitÎfÎp=!s

E|f|^pdµ"¹_p

lorsquepest fini, etÎfÎ_Œ= inf{M >0||f|ÆM µ-p.p.}. On définit l’espace vectoriel :

L^p(E,A, µ) ={f :E≠æKmesurable |ÎfÎp<+Œ}

T��. [�� H��]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf gÎ1Æ ÎfÎpÎgÎq. C��. [�� M��]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf+gÎpÆ ÎfÎp+ÎgÎp.

D��. On noteL^p(E,A, µ) = L^p(E,A, µ)/{Î.Îp = 0}(ouL^p(E), ouL^p) l’ensemble des fonctions deL^p(E,A, µ)quotienté par la relation d’égalitéµ-p.p.. L’application Î.Îppasse au quotient et définit ainsi une application surL^p(E,A, µ)notée égalementÎ.Îp.

C��. Î.Îpest une norme et l’espace(L^p(E),Î.Îp)est un espace vectoriel normé.

A��. [�� L^p]Soientp, p^Õœ[1,+Œ].

• lorsqueµ(E)<+Œ, on ap < p^Õ =∆L^p^Õ µL^p,

• contre-exemple dans le cas oùµ(E) = +Œ:f :x≠æ(1 +x)^≠11_Rú

+(x)œL²\L¹.

• on ap^Õ< p=∆¸^p^Õ µ¸^p.

Dans le cas général il n’y a pas d’inclusion (contre-exemple).

II. B. Propriétés des espaces L

^p

T��. [�� R��-F��]

L’espace(L^p(E,A, µ),Î.Îp)est un espace deB��.

C��. Toute suite convergente dansL^padmet une sous-suite qui convergeµ- p.p..

E��. Contre-exemple de non-convergence de la suiteµ-p.p. : les bosses roulantes.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Espaces de fonctions. Exemples et applications.

T��. Lorsquep <Œ:

(i) l’ensemble des fonctions en escalier à support compact est dense dansL^p, (ii) l’ensemble des fonctions continues à support compact est dense dansL^p, (iii) L^pest séparable.

A��. Uniforme continuité de l’opérateur par translation : pour toutf œL^p, a‘≠æ

·afest uniformément continue surR.

II. C. Approximation de l’unité et régularisation par convolution

[BP��, Ch��, p��–��] [QZ��, ChIX.III, p��]

On se place surE=R^doùdest un entier quelconque.

D��. On appelle convolution defetgla fonctionf ıg:x‘≠æs

R^df(y)g(x≠ y)dy, lorsque celle-ci est bien définie.

D��. [�� ’�� ]

Une suite(–n)nØ1de fonctions positives deL¹est une approximation de l’unité si :

• pour toutnœN, on as

R^d–nd⁄d= 1,

• pour toutÁ>0, on alimnæ+Œs

{xØÁ}–nd⁄d= 0.

Si de plus les(–n)nØ1sont de classeCc^Œ, alors on dit que c’est une suite régularisante.

E��. [�� ’�� ]

On considère„:x‘≠æexp(_Î_x_Î¹2≠1)1_]0,1](ÎxÎ)puis–:x‘≠æ s ^„(x)

Rd„d⁄d. Alors la suite–n:x‘≠æn^d–(nx)est une suite régularisante.

T��.

(i) Sif œL¹etgœL^p, alorsfıgexisteµ-p.p. etÎfıgÎpÆ ÎfÎ1ÎgÎp.

(ii) Si p < +Œ, soient f œ L^p et(–n)nœN une approximation de l’unité. Alors f ú –n

L^p næ+Œ≠æ f.

A��. [�� ]

SoitKun compact deR^det un ouvert contenantK. Alors il existe◊ œ C^Œ(R^d)telle que

◊= 1surK,◊= 0surR^d\ et0Æ◊Æ1.

T��. C^Œc (R^d)est dense dansL^ppour1Æp <+Œ.

III. Fonctions holomorphes

^[Tau��]

SoitUun ouvert deC

Fonction holomorphe, stabilité, exemple, une série entière est holomorpheC^Œ Formule deC��, contre-exemple avec le lemme de l’indice

Fonction holomorphe si et seulement si analytique, principe du maximum, théorème des zéros isolés

Limite d’une suite uniforme de fonctions holomorphes

��

Q SoitKun compact. Montrer que(C(K,R),Î.Î_Œ)est séparable.

R Il s’agit du théorème deS��-W��! SiKest un compact deR, les polynômes sont en e�et denses dans(C(K,R),Î.ÎŒ).

Sinon,Kest séparable, considérons(Un)n une base dénombrable d’ouverts et soitfn : x ‘≠æ d(x, U_n^c). On pose alorsX ={P((fn)n)|P œQ[(Xn)n]}qui est un ensemble dé- nombrable et dense par le théorème deS��-W��.

��

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Bre��] H.B��:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[HL��] F.H��et G.L��:Eléments d’analyse fonctionnelle. Dunod,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

[Tau��] P.T��:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,��.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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