Commentaires :...
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Partie Numérique : (24 points)
Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes : M = - 4 × 2 + 5
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P = - (-2) – 3 × (-4 + 2 × 3)
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Q = [ - 2 × (3- 7)] – 4 × 2,2
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Exercice 2 : Réduire les expresssions suivantes sous forme de fractions irréductibles : B = 5
2 + 5 3 ...
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C = 4 7 - 3
14 ...
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D = 4 5 × (- 5
6 ) ...
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E = 5 3 + 2
3 : 2 7 ...
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F = 2 3 + 1 4
3 - 4 × (- 1 2 )
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L’emploi des calculatrices n’est pas autorisé.
Le sujet doit être traité directement sur le polycopié.
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Exercice 3 : Tester l’égalité, 7a – 2b + 5 = b – 2a + 14 pour a = 2 et b = 3
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Exercice 4 :
Quatre enfants découpent un pain d’épice pour leur goûter. Nathalia en prend le tiers, Marion prend 3/4 de ce qu’a laissé Nathalia ; enfin James et Victoria, qui sont jumeaux, se partagent de manière égale le reste.
Entourer l’expression X, Y ou Z qui permet d’obtenir la fraction du pain d’épice reçue par chacun des jumeaux.
X = (1 – 1 3 - 3
4) : 2 ; Y = (1- 1 3 - 3
4 × 2 3) × 1
2 ; Z = (2 3 - 3
4 × 2 3 ) × 2
Exercice 5 : Trois amis se partagent un gâteau. Achille en a mangé les deux septièmes, Arthur a mangé les quatre cinquièmes du reste. (les questions sont indépendantes)
a) Que reste-t-il pour leur amie Salomé ? (On attend une fraction)
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b) La part d’Achille pèse 140 grammes. Quelle était la masse du gâteau ?
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Exercice 6 : Calculer l’expression suivante pour x = -2
G = 3x² - 5x + 7
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Exercice 7 : Voici un extrait des tarifs d’une station essence.
Le prix à payer est-il proportionnel à la quantité d’essence ?
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Si oui, que représente le coefficient de proportionnalité ? ...
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Quantité d’essence (L) 9 15 12
Prix à payer (€) 10,8 18 14,4
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Partie géométrique : (31 points)
Exercice 1 : Le cercle circonscrit à un triangle ABC a pour diamètre [AB]. R étant un point quelconque appartenant au côté [AB], la parallèle au côté [BC] passant par R coupe [AC] en T.
a) Faire la figure :
b) Quelle est la nature de ABC ?
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c) Quelle est la nature de ATR ?
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Exercice 2 :
IC = 2cm a) Quelle est la nature de ABDC ?
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b) Déterminer BI.
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Exercice 3 :
a) Quelle est la nature de KJL ?
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b) Quel est le centre du cercle circonscrit à KJL ?
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c) En déduire la nature de KMJ.
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d) Déterminer aKMJ
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Exercice 4 :
Construire un segment [IJ] de 8 cm de longueur puis le cercle de diamètre [IJ].
K est un point de ce cercle tel que IK = 6 cm.
a) Quelle est la nature de IJK ?
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b) Construire le symétrique L du point I par rapport à K.
c) Construire le point M tel que K soit le milieu de [MJ].
d) Quelle est la nature de IJLM ?
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CORRECTION
Partie Numérique : (24 points)
Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes : M = - 4 × 2 + 5
M = -8 + 5 M = -3.
P = - (-2) – 3 × (-4 + 2 × 3) P = -2 - 3×(-4 + 6)
P = -2 - 3×2 P = -2 – 6 P = -8.
Q = [ - 2 × (3- 7)] – 4 × 2,2 Q = (-2×(-4)) – 8,8
Q = 8 – 8,8 Q = -0,8 ..
Exercice 2 : Réduire les expresssions suivantes sous forme de fractions irréductibles : B = 5
2 + 5 3
B = 5×3 2×3 +5×2
3×2
B = 15 + 10 6
B = 25 6
C = 4 7 - 3
14
C = 4×2 - 3
14
C = 5 14
D = 4 5 × (- 5
6 )
D = 4×(-5) 5×6
D = -2 3
E = 5 3 + 2
3 : 2 7
E = 5 3 + 2
3×7 2
E = 5 3 + 7
3
E = 5 + 7 3
E = 12 3 E = 4
F = 2 3 + 1 4
3 - 4 × (- 1 2 )
F = 2 3 + 3
3 4 3 + 2
F = 5 3 4+3×2
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F = 5 3 10
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F = 5 3×3
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F = 1 2
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CORRECTION
Exercice 3 : Tester l’égalité, 7a – 2b + 5 = b – 2a + 14 pour a = 2 et b = 3 Pour a = 2 et b = 3,
7a – 2b + 5 = 7×2 - 2×3 + 5 = 14 – 6 + 5 = 13 b – 2a + 14 = 3 - 2×2 + 14 = 3 – 4 + 14 = 13 L’égalité est vérifiée pour ces valeurs de a et b.
Exercice 4 :
Quatre enfants découpent un pain d’épice pour leur goûter. Nathalia en prend le tiers, Marion prend 3/4 de ce qu’a laissé Nathalia ; enfin James et Victoria, qui sont jumeaux, se partagent de manière égale le reste.
Entourer l’expression X, Y ou Z qui permet d’obtenir la fraction du pain d’épice reçue par chacun des jumeaux.
X = (1 – 1 3 - 3
4) : 2 ; Y = (1- 1 3 - 3
4 × 2 3) × 1
2 ; Z = (2 3 - 3
4 × 2 3 ) × 2
Exercice 5 : Trois amis se partagent un gâteau. Achille en a mangé les deux septièmes, Arthur a mangé les quatre cinquièmes du reste. (les questions sont indépendantes)
a) Que reste-t-il pour leur amie Salomé ? (On attend une fraction) Il reste : 1 – 2
7 – 5 7×4
5 = 1 – 2 7 - 4
7 = 7 – 2 – 4 7 = 1
7 pour Salomé.
b) La part d’Achille pèse 140 grammes. Quelle était la masse du gâteau ? Soit m la masse du gâteau.
On a alors 2
7×m = 140 Donc m = 140×7
2 m = 490 g
La masse du gâteau était de 490 g.
Exercice 6 : Calculer l’expression suivante pour x = -2
G = 3x² - 5x + 7 Pour x = -2,
G = 3×(-2)² - 5×(-2) + 7 G = 3×4 + 10 + 7
G = 12 + 27 G = 39
Exercice 7 : Voici un extrait des tarifs d’une station essence.
Le prix à payer est-il proportionnel à la quantité d’essence ?
10,8 9 = 18
15 = 14,4 12 = 1,2
Donc le prix à payer est proportionnel à la quantité d’essence.
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Quantité d’essence (L) 9 15 12
Prix à payer (€) 10,8 18 14,4
CORRECTION
(Les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent à partir de ceux de la première ligne en multipliant par un même nombre.)
Si oui, que représente le coefficient de proportionnalité ? Le coefficient de proportionnalité est 1,2.
Partie géométrique : (31 points)
Exercice 1 : Le cercle circonscrit à un triangle ABC a pour diamètre [AB]. R étant un point quelconque appartenant au côté [AB], la parallèle au côté [BC] passant par R coupe [AC] en T.
a) Faire la figure :
b) Quelle est la nature de ABC ?
Donnée : Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un des côtés est le diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse.
Conclusion : ABC est rectangle en C.
c) Quelle est la nature de ATR ?
Donnée : Les droites (TR) et (BC) sont parallèles.
Les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires (puisque le triangle ABC est rectangle en C)
Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Conclusion : Les droites (AT) et (TR) sont perpendiculaires et le triangle ATR est donc rectangle en T.
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CORRECTION
Exercice 2 :
IC = 2cm a) Quelle est la nature de ABDC ?
Les droites (AC) et (BD) étant perpendiculaires à une même droite sont donc parallèles entre elles.
Les droites (AB) et (CD) étant perpendiculaires à une même droite sont donc parallèles entre elles.
Le quadrilatère ABDC ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est donc un parallélogramme.
b) Déterminer BI.
ABDC étant un parallélogramme ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc BI = IC = 2 cm
Exercice 3 :
a) Quelle est la
nature de KJL ?
La somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180°.
Donc : aJKL = 180 – 29 – 61 = 90°
Donc le triangle JKL est rectangle en K.
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CORRECTION
b) Quel est le centre du cercle circonscrit à KJL ?
Le triangle JKL étant rectangle en K est donc inscrit dans le cercle de diamètre [JK].
Le centre de son cercle circonscrit est donc le milieu de [JL] : le point M.
c) En déduire la nature de KMJ.
On a donc KM = JM ( = ML = rayon du cercle circonscrit).
Le triangle KMJ ayant deux côtés de même longueur est donc isocèle en M.
d) Déterminer aKMJ
aKMJ = 180 - 2×aKJM = 180 - 2×29 = 180 – 58 = 122°
Exercice 4 :
Construire un segment [IJ] de 8 cm de longueur puis le cercle de diamètre [IJ].
K est un point de ce cercle tel que IK = 6 cm.
a) Quelle est la nature de IJK ?
Le triangle IKJ étant inscrit dans le cercle de diamètre [IJ] est donc rectangle en K.
b) Construire le symétrique L du point I par rapport à K.
c) Construire le point M tel que K soit le milieu de [MJ].
d) Quelle est la nature de IJLM ?
Par construction, K est le milieu des diagonales [IL] et [MJ] du quadrilatère IJLM.
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CORRECTION
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Donc IJLM est un parallélogramme.
