Devoir surveillé n˚4
EXERCICE no 1
Le responsable d’un magasin d’outillage a relevé pendant une semaine le montant en euros des achats de 200 clients.
Les résultats figurent dans le tableau suivant :
Montant des achatsxi Nombre de clientsni
[0,15[ 15
[15,25[ 20
[25,35[ 50
[35,40[ 30
[40,45[ 35
[45,55[ 25
[55,65[ 15
[65,75[ 10
1. Quel est le pourcentage de clients dont le montant des achats est situé dans l’intervalle [25,55[ ? 2. Représenter l’histogramme de cette série statistique.
3. Dresser le tableau des fréquences puis des fréquences cumulées croissantes de cette série statistique.
4. Tracer le polygône des fréquences cumulées croissantes de cette série statistique.
Échelle : 1 cm pour 5 euros sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 0,1 sur l’axe des ordonnées.
5. Déterminer la moyenne ¯xet l’écart-typeσde cette série.
6. Par lecture du graphique, estimer le pourcentage de clients dont le montant est compris entre ¯x−σet ¯x+σ.
7. Déterminer par le calcul une valeur approchée de l’abscisse du point de la ligne brisée d’ordonnée 0,5. Vérifier sur le graphique. Que représente cette abscisse ?
EXERCICE no 2
Soitf la fonction définie surRpar :
f(x) =e2x−(x+ 1)ex. 1. On noteI=
Z 0,3
−0,3
x2
2 dx. Démontrer queI= 0,009.
2. On noteJ = Z 0,3
−0,3
e2x dx. Démontrer queJ = 0,5 e0,6−e−0,6 .
3. On noteK=Z 0,3
−0,3
(x+ 1)exdx. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, queK= 0,3 e0,3+e−0,3. 4. On noteL=
Z 0,3
−0,3
f(x)dx.
(a) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de L.
(b) Donner la valeur approchée deLarrondie à 10−3. (c) Que peut-on en déduire ?
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Correction du DS n˚4
EXERCICE no 1
1. 20 + 50 + 30 + 35 + 25 = 140 clients correspondent à l’intervalle [25,55[, ce qui représente un pourcentage de p=140
200×100% soit p= 70%
2. Histogramme :
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 5 clients
3. Tableau récapitulatif :
xi ni fi f cc
[0,15[ 15 0,075 0,075
[15,25[ 20 0,100 0,175
[25,35[ 50 0,250 0,425
[35,40[ 30 0,150 0,575
[40,45[ 35 0,175 0,750
[45,55[ 25 0,125 0,875
[55,65[ 15 0,075 0,950
[65,75[ 10 0,050 1
4. Polygône des fréquences cumulées croissantes :
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
montant en euros fréquence
0
F.c.c.
¯ x−σ 0,15
¯ x+σ 0,84
m 2
5. La calculatrice donne ¯x= 37,375 etσ= 15,062 6. ¯x−σ= 22,313 et x¯+σ= 52,437.
Graphiquement, pourx= 22,3 on obtient une fréquence de 0,15, et pourx= 52,4 une fréquence de 0,84.
p= (0,84−0,15)×100 = 69%.
Ainsi, 69% des clients sont dans l’intervalle [¯x−σ; ¯x+σ]
7. Soitml’abscisse du point d’ordonnée 0,5.
On procéde à une interpolation linéaire d’après le théorème de Thales :
m 40
0,42535 0,575
0,5 b m−35
40−35 = 0,5−0,425 0,575−0,425 m−35
5 = 0,075 0,150 m= 5×0,5 + 35
m= 37,5 euros Cette abscisse représente la médiane de la série statistique
EXERCICE no 2 1. I=
x3 6
0,3
−0,3
= 0,0045 + 0,0045 donc : I= 0,009 2. J =
1 2 e2x
0,3
−0,3
=1
2 e0,6−e−0,6
donc : J= 0,5 e0,6−e−0,6 3. On pose u(x) =x+ 1 v′(x) =ex
u′(x) = 1 v(x) =ex
et on a :R
uv′ = [uv]−R u′v :
K= [(x+ 1)ex]0,3
−0,3− Z 0,3
−0,3
exdx K= 1,3e0,3−0,7e−0,3−[ex]0−,30,3
K= 1,3e0,3−0,7e−0,3−e0,3+e−0,3 K= 0,3e0,3+ 0,3e−0,3
K= 0,3 e0,3+e−0,3 4. (a) L=Z 0,3
−0,3
e2x−(x+ 1)ex dx L=
Z 0,3
−0,3
e2x dx− Z 0,3
−0,3
(x+ 1)ex dx L=J−K
L= 0,5 e0,6−e−0,6
−0,3 e0,3+e−0,3 (b) L≈0,009
(c) On en déduit que I etLsont presque équivalentes
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