IFT 3512
Devoir 3 À remettre le 28 février 2007
1. Si X, Y ⊂Rn sont convexes, démontrer la convexité des ensembles suivants : a) X +Y =
{
z∈Rn : z=x+yoù x∈X et y∈Y}
b) X×Y =
{
(x,y)∈R2n : x∈X et y∈Y}
c) X IY =
{
z∈Rn : z∈X et z∈Y}
.2. Soit le problème de programmation mathématique
.
, , 1 0 ) ( à Sujet
) ( Min
n i
R X x
m i
x f
x f
⊂
∈
=
≤ L
Démontrer que si X est convexe et alors le
domaine réalisable
, , , 1 , sur convexe
est X i m
fi = L
R~
du problème
{
x X f x i m}
R~ : i( ) 0, 1, ,
= L
≤
∈
= est un ensemble convexe.
3. Si f est une fonction convexe sur et alors pour n’importe lequel fixé, la fonction
Rn d∈Rn,d ≠0, Rn
x∈
) (
)
(σ f x σd
ϕ = +
est convexe sur R1.
4. Déterminer les valeurs de a et b pour que la fonction soit convexe sur (0, 1)
1
:R1 R
f →
a) f(x)=ax+b b) f(x)=axb.
