Probl` eme : ´ Etude d’une transformation du plan

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L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚2

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin porté à l’argumentation des réponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : R´ esolution d’une ´ equation polynomiale de degr´ e 3

Le but de cet exercice est de résoudre l’équation(E), définie par : (E) : x³−5x²−2x+ 24 = 0.

1. Le nombre−2 est-il solution de (E) ?

2. Soitx∈Ret soienta, b, c∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner l’expression : (x+ 2)(ax²+bx+c)

i.e. développer (x+ 2)(ax²+bx+c), puis écrire le résultat du développement sous la forme : x³+x²+x+

où lesdésignent des nombres réels indépendants dexqui sont à déterminer, en fonction dea, b, c.

3. D´emontrer qu’il existea, b, c∈Rtels que pour toutx∈R:

(x+ 2)(ax²+bx+c) =x³−5x²−2x+ 24.

Indication : On pourra introduire un syst`eme lin´eaire.

4. R´esoudre alors l’´equation (E).

Exercice 2 : Trois droites concourantes

Soit (O;−→ i ,−→

j) un repère orthonormé du plan. On considère trois droitesD1,D2 etD3 définies comme suit.

• SoitD1la droite du plan passant par les pointsA(1,5) etB(−3,2).

• SoitD2la droite passant par le pointC(−2,6) et dirig´ee par le vecteur−→u(2,−5).

• SoitD3la droite d’´equation cart´esienne : 3x+ 8y−25 = 0.

1. Déterminer une équation cartésienne de la droiteD1. 2. Déterminer une équation cartésienne de la droiteD₂.

3. Démontrer que les droites D₁, D₂ et D₃ sont concourantes (i.e. se coupent en un point) et donner les coordonnées du point commun àD₁,D₂ etD₃.

1

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Exercice 3 : Aire d’un triangle

Soit (O;−→ i ,−→

j) un rep`ere orthonorm´e du plan. Soient les trois points : A(4,6) ; B(2,3) ; C(8,1).

1. Justifier que les pointsA,B etC ne sont pas align´es.

2. Calculer la longueurBC.

3. Rappeler la d´efinition du projet´e orthogonal A⁰ du pointAsur la droite (BC).

4. Que repr´esente la droite (AA⁰) pour le triangleABC? 5. Calculer les coordonn´ees deA⁰.

6. Calculer l’aire du triangleABC.

Probl` eme : ´ Etude d’une transformation du plan

On munit le plan P d’un rep`ere orthonorm´e(O;−→ i ,−→

j).

• Critère d’égalité de deux points via leurs coordonnées.

SoientM₁(x₁, y₁)∈ P etM₂(x₂, y₂)∈ P. On rappelle l’´equivalence suivante.

M1=M2⇐⇒







x1=x2

et

y1=y2

• Notationdetpour le d´eterminant de deux vecteurs dans la base (−→ i ,−→

j) Rappel : Si−→u1(a1, b1)et−→u2(a2, b2) sont deux vecteurs du plan, alors on pose :

det(−u→1,−→u2) =

a1 a2

b1 b2

.

• D´efinition de la transformation ρdu plan

A tout point` M du planP de coordonn´ees(x, y), on associe le point ρ(M)du planP de coordonn´ees : Ç

−1 2x−

√ 3 2 y+3

2 ,

√ 3 2 x−1

2y−

√ 3 2

å .

Dans ce problème, on se propose d’étudier la transformationρdu planP ainsi définie.

• Structure logique du probl`eme

Ci-dessous, on propose un arbre représentant les connexions entre les différentes parties du problème.

A

@

@@

55

B

~~~~~~~

@

@@

@@ D

@

@@

~~~~~~~~~

C E F

G

Voici par exemple trois informations que l’on peut lire sur cet arbre.

– Les fl`eches reliant A et B `a C signifient que les parties A et B sont utiles pour traiter la partie C.

– Aucune flèche n’aboutissant à la partie D, aucune des parties précédentes du problème n’est utile pour traiter cette partie.

– Il n’y a que deux fl`eches qui aboutissent `aG: l’une partant de A, l’autre de D. Seules les parties A et D sont donc utiles pour traiter la partie G.

2

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Partie A : La transformation ρest injective

SoientA1(x1, y1)∈ P etA2(x2, y2)∈ P.

1. Montrer que siρ(A1) =ρ(A2) alorsA1=A2. 2. En d´eduire que siA16=A2 alorsρ(A1)6=ρ(A2).

Terminologie : Dans cette partie, on a démontré la propriété suivante :

∀A1∈ P ∀A2∈ P ρ(A1) =ρ(A2) =⇒A1=A2. Cette propriété porte le nom d’injectivité, d’où le titre de cette partie.

Partie B : La transformation ρest surjective

SoitA⁰(xA⁰, yA⁰)∈ P. Montrer qu’il existe un pointA(xA, yA)∈ P tel que :ρ(A) =A⁰. Terminologie : Dans cette partie, on a démontré la propriété suivante :

∀A⁰∈ P ∃A∈ P ρ(A) =A⁰.

Cette propriété porte le nom de surjectivité, d’où le titre de cette partie.

Partie C : Effet de la transformationρ sur une droite

Soient A(x_A, y_A)∈ P, B(x_B, y_B)∈ P et C(x_C, y_C)∈ P.

1. (a) Exprimer det(−−→ AB,−→

AC) en fonction de (xB−xA), (yB−yA), (xC−xA), (yC−yA),sans d´evelopper les produits de ces termes qui apparaissent.

(b) Exprimer det(−−−−−−→

ρ(A)ρ(B),−−−−−−→

ρ(A)ρ(C)) en fonction de (xB−xA), (yB−yA), (xC−xA), (yC−yA).

On ´ecrira toutes les ´etapes du calcul.

(c) Comparer alors les valeurs de det(−−→ AB,−→

AC) et de det(−−−−−−→

ρ(A)ρ(B),−−−−−−→

ρ(A)ρ(C)).

(d) Montrer que si les pointsA, B, C sont align´es, alors les pointsρ(A), ρ(B), ρ(C) sont align´es.

(e) Écrire la réciproque de la propriété précédente, puis la démontrer.

(f) Quelle équivalence a-t-on ainsi démontrée ? 2. SoitDune droite du plan.

L’objectif de cette question 2. est de décrire l’ensemble image deDparρ, notéρ(D), qui est par définition l’ensemble de tous les points ρ(M)que l’on obtient lorsque M décrit la droiteD, i.e. :

ρ(D) ={ρ(M) : M ∈ D}.

Soient A₁ ∈ Det A₂ ∈ D. On suppose que A₁6=A₂. La droite (A₁A₂) est donc bien d´efinie et l’on a de plus :D= (A₁A₂).

(a) Pourquoi la droite passant par les pointsρ(A₁) etρ(A₂) est-elle bien d´efinie ?

On note D⁰ la droite passant par les points ρ(A₁)et ρ(A₂). On a doncD⁰= (ρ(A₁)ρ(A₂)).

(b) Montrer queρ(D) ⊂ D⁰, i.e. que si M est un point de la droite D, alors ρ(M) est un point de la droiteD⁰.

(c) Montrer queD⁰ ⊂ρ(D), i.e. que siM⁰ est un point de la droite D⁰ alors il existe un point M de la droiteDtel que ρ(M) =M⁰.

(d) Quelle description obtient-on alors pour l’ensemble imageρ(D) de la droiteDparρen rassemblant les r´esultats (b) et (c) ?

3. On se propose ici d’appliquer le r´esultat de la question 2., dans une situation particuli`ere.

SoitDla droite passant par l’origine Odu rep`ere et dirig´ee par le vecteur−→u(1,1).

(a) D´eterminer un pointAde la droiteDdistinct deO.

(b) Donner alors deux points distincts de la droiteρ(D).

(c) Donner une ´equation cart´esienne de la droite ρ(D).

3

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Partie D : Effet de la transformation ρ sur une longueur SoientA(xA, yA)∈ P etB(xB, yB)∈ P.

1. Énoncer la formule du cours donnant une expression de la longueur AB en fonction de (xB −xA) et (y_B−y_A),sans développerles éventuelles puissances de ces termes qui apparaissent.

2. Calculer la longueurρ(A)ρ(B) en fonction de (x_B−x_A) et (y_B−y_A).

On ´ecrira toutes les ´etapes du calculs.

3. Comparer alors les longueursABet ρ(A)ρ(B).

4. Soient ABC un triangle ´equilat´eral. Que peut-on dire du triangleρ(A)ρ(B)ρ(C) ? Partie E : Effet de la transformationρ sur un cercle

SoitCun cercle, soitAson centre et soitrson rayon.

L’objectif de cette partieEest de décrire l’ensemble image deCparρ, notéρ(C), qui est par définition l’ensemble de tous les pointsρ(M)que l’on obtient lorsqueM décrit le cercleC, i.e. :

ρ(C) ={ρ(M) : M ∈ C}.

On noteC⁰ le cercle de centreρ(A)et de rayonr.

1. Montrer queρ(C)⊂ C⁰, i.e. que siM est un point du cercleC, alorsρ(M) est un point du cercleC⁰. Indication : On pourra s’int´eresser `a la valeur de la longueur ρ(A)ρ(M), pour un pointM quelconque du cercle C.

2. Montrer que C⁰⊂ρ(C), i.e. que siM⁰ est un point du cercleC⁰ alors il existe un pointM du cercleC tel queρ(M) =M⁰.

3. Quelle description obtient-on alors pour l’ensemble imageρ(C) du cercleCparρen rassemblant les r´esultats 1. et 2. ?

Partie F : Effet de la transformation ρsur un angle

SoientA(xA, yA)∈ P,B(xB, yB)∈ P etC(xC, yC)∈ P. On suppose ces trois points deux `a deux distincts.

1. Montrer que les produits scalaires −−→ AB.−→

AC et −−−−−−→

ρ(A)ρ(B).−−−−−−→

ρ(A)ρ(C) sont ´egaux.

On ´ecrira toutes les ´etapes des calculs.

2. Montrer que : cosÄ−−→ AB,−→

ACä

= cos−−−−−−→

ρ(A)ρ(B),−−−−−−→

ρ(A)ρ(C) .

Remarque : Les angles BAC’ etρ(B)ρ(A)ρ(C)ˇ sont donc ´egaux.

Partie G : O`u l’on ´emet une conjecture sur la nature de la transformation ρ

1. Démontrer qu’il existe un unique point Ω(xΩ, yΩ) ∈ P tel que ρ(Ω) = Ω. On précisera ses coordonnées (xΩ, yΩ).

2. SoitA(xA, yA)∈ P tel queA6= Ω.

(a) Pourquoi a-t-onρ(A)6= Ω ?

(b) Calculer la longueur ΩAen fonction dexA et yA. (c) Justifier que ΩA= Ωρ(A), sans faire aucun calcul.

(d) Calculer le produit scalaire−→

ΩA .−−−−→

Ωρ(A) en fonction dexA et yA. (e) Calculer alors cos−→

ΩA,−−−−→

Ωρ(A) .

(f) En d´eduire la valeur de l’angle AΩρ(A) `ÿ a l’aide de la table des valeurs remarquables de cosinus rappel´ee ci-dessous.

θ 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ ^2π₃ ^3π₄ ^5π₆ π

cos(θ) 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −¹₂ −

√2

2 −

√3

2 −1

(g) Que peut-on dire du triangleAΩρ(A) ?

3. En utilisant les questions 1. et 2.(f), ´emettre une conjecture sur la nature de la transformationρ.

4. (a) SoitA∈ P. Calculer les coordonn´ees du pointρ(ρ(ρ(A))). Qu’observe-t-on ?

(b) Le r´esultat 4.(a) est-il en accord avec la conjecture faite sur la nature de la transformationρ?

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