TCS Devoir Surveillé n°: 1 proposition 4 durée : 2heures

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TCS Devoir Surveillé n°: 1 proposition 4 durée : 2heures

Exercice 1. pts 4

Pour toutnIN^, on pose :A3n2 3 n 1 1 ; B9n²12 +4n et B9n²6 +1n 1) Montrer que B et C sont des carrés parfaits.

2) a) Montrer que pour toutnIN^ :_{3n2 3} _{n 1} ₀. b) Déterminer la parité de A puis développer A.

3) Montrer que B A C .

4) En déduire que A n’est pas un carré parfait.

Exercice 2. pts 4,5

On considère les nombres a6600 etb1764. 1) Décomposer chacun des nombres a et b.

2) Quel est parmi les nombres a et b celui qui est un carré parfait ?

3) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que, le nombre ka soit un cube parfait.

4) Calculer : pgcd









5) En déduire la forme simplifier de chacun des nombres 6600

1764 et 6600 1764 . pts Exercice 3. pts 3,5

On considère les nombres xIN etyIN. 1) Déterminer la parité du nombrea2x3.

2) Déterminer

 





4) Déterminer tous les entiers naturels x et y vérifiant la relation6xy4x9y20 . Exercice 4. pts 3

Soit n entier naturel.

On pose a11^n211ⁿ et b 3 11^n1 5 11ⁿ

1) Montrer que a est un multiple de 3 , et que b est un multiple de19. 2) Décomposer les entiers a et b en produits de facteurs premiers.

3) Calculer pgcd









Exercice 5. pts 5 Soit n entier naturel.

On pose : a (n 1)(n2) et bn n( 3). 1) Montrer que a et b sont pairs.

2) a) Montrer quea b 2.

b) En déduire que :ab 1 b1² . pts 1

3) Déduire de ce qui précède que : _{n n} _1_n2_{n  3} ₁





4) Déterminer le nombre entier dont le carré est égal : 2017 2018 2019 2020 1    (justifier).