LICENCE 2 SEG Pˆole Lamartine - ULCO MATH ´EMATIQUES 2 Novembre 2010 - Contrˆole Continu, Semestre 1
Dur´ee de l’´epreuve : 2h00 Documents interdits
(Les quatre exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses)
Exercice 1 (3 points)
On consid`ere l’ensemble suivant :E ={(x, y, z)∈R3, x+y+z= 0}.
1. Montrer queE est un espace vectoriel.
2. D´eterminer la dimension deE.
3. Donner une base deE.
Exercice 2 (5 points) Soient les vecteurs :
e1 =
2 1
−1 1
,e2 =
0 1
−2 0
,e3 =
3 0
−2
−2
,e4 =
−1 3 3 1
.
1. V´erifier que la familleB1 ={e1, e2, e3, e4} est une famille libre et g´en´eratrice deR4. 2. La famille B2={e1, e2, e4} peut-elle former une base R4? De R3?
3. La famille B3={e1, e2, e3, e4, e1+e2+e3+e4}peut-elle fomer une base de R4? DeR5? Exercice 3 (5 points)
On d´efinit l’application f :R×R→R parf(x, y) =x+y.
1. Montrer quef est une application lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image def. 3. Le th´eor`eme du rang est-il v´erifi´e ? Exercice 4 (7 points)
Soit f l’endomorphisme deR3 donn´e par
f(x, y, z) = (5x+ 7y+ 14z,7x+ 6y+ 12z,2x+ 4y+ 8z).
1. (a) R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S)
5x+ 7y+ 14z = 0 7x+ 6y+ 12z = 0 2x+ 4y+ 8z = 0
.
(b) Quel est l’int´erˆet de r´esoudre (S) ? L’application lin´eairef est-elle injective ?
(c) Quelle est la dimension de l’image def? L’application lin´eairef est-elle surjective ? Bijective ? (d) D´eterminer une base du noyau de f et une base de l’image def.
2. (a) D´eterminer la matrice de f dans la base canonique de R3. (b) Calculerf(1,1,1) en utilisant uniquement la matrice pr´ec´edente.
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