LICENCE 2 SEG Pˆole Lamartine - ULCO Math´ematiques 19 D´ecembre 2013 - Contrˆole Terminal, Session 1 Dur´ee de l’´epreuve : 2h00 Aucun document autoris´e. Calculatrice autoris´ee
Exercice 1Soit la matrice Ad´efinie parA=
13 −8 −12 12 −7 −12
6 −4 −5
.
1. Montrer queA est inversible et calculer son inverse.
2. En d´eduireAn, pour tout nentier.
Exercice 2SoitA=
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
.
1. CalculerA2 etA3. CalculerA3−A2+A−I. 2. ExprimerA−1 en fonction de A2,A etI. 3. ExprimerA4 en fonction de A2,A etI.
Exercice 3On consid`ere l’applicationf :R2 →R2 d´efinie par : f(x, y) = (x−y,−3x+ 3y) 1. Montrer quef est une application lin´eaire.
2. Montrer quef n’est ni injective ni surjective.
3. Donner une base de son noyau et une base de son image.
4. V´erifier le th´eor`eme du rang.
Exercice 4Soientf etgdeux endomorphismes de R3 d´efinis par :
f(x, y, z) = (2x−2y−3z, x−y−2z,−x+y+ 2z) et g(x, y, z) = (x−2y, x−y+z, y−z).
1. D´eterminer les matrices respectives de f etg dans la base canonique deR3. 2. D´eterminer f◦g etg◦f en utilisant le calcul matriciel.
3. D´eterminer les rangs def etg (grˆace aux matrices associ´ees).
Exercice 5Soitf une application lin´eaire de R3 dans lui-mˆeme, d´efinie par : f(x, y, z) = (17x−28y+ 4z,12x−20y+ 3z,16x−28y+ 5z).
1. ´Ecrire la matrice def dans la base canonique.
2. D´eterminer une baseB1 du noyau def.
3. SoitF ={⃗v∈R3 t.q.f(⃗v) =⃗v}le sous-espace des vecteurs invariants parf. Justifier queF est un espace vectoriel et d´eterminer une baseB2 de F.
4. Montrer que les deux espaces pr´ec´edents, c’est-`a-dire le noyau de f et le sous-espace des vecteurs invariants parf, sontsuppl´ementaires dansR3. On prouvera donc dans cette question que ker(f) + F =R3 et que ker(f)∩F ={⃗0}, ou encore que tout vecteur de l’espaceR3 se d´ecompose de fa¸con unique en une somme de vecteurs de ker(f) et de F.
5. ´Ecrire la matrice def dans la base B1∪ B2.
1/1
