PSI* 2020/2021
T.D. 03 — Compléments sur les séries numériques
1. Étudier la nature des séries dont le terme général est donné ci-dessous, en discutant éventuellement suivant les valeurs des paramètres :
un= arccos n3+ 1
n3+ 2 ; un=√3
n3+an−√
n2+ 3 (a∈R) un= 4
πarctan n n+ 1
nα
(α∈R) ; un= √n
n+ 1− √n n un= 1
(lnn)ln(lnn) ; un= sin 2π n2+ (−1)n
un= sin (−1)n nα + k
n5α (α >0 ; k= 0) ; un= (−1)n
√nln (n+ (−1)n)
2. Calculer les sommes des séries dont le terme général est donné ci-dessous, en montrant leur convergence.
un= n−(−1)n ·3−n ; un= (−1)n
1 0
tnf(t) dt f ∈ C0([0,1],R+)
un=
n
k=1
k2
−1
; un= ln 1 + (−1)n n un= sinn(n+1)1
cos1ncosn+11 ; un= (−1)n
4n(2n+ 1) se ramener à
1/2 0
dx 1 +x2
3. Soit (an)n∈N une suite de réels positifs ou nuls, u0 ∈R+∗ et(un)n∈N la suite définie par récurrence par un+1 =un+an
un. Montrer que la suite(un)n∈N converge si et seulement si la série an converge.
4. Soit (un)n∈N une suite réelle décroissante qui converge vers 0.
Montrer que les séries de termes généraux un etvn=n(un−un+1) sont de même nature.
En cas de convergence, comparer leurs sommes.
5. α >0étant donné, étudier la suite (Pn) définie par : ∀n≥2 Pn=
n k=2
1− 1 kα .
6. c Soit xn une série à termes dans R+∗,α∈R et vn une série absolument convergente vérifiant xn+1
xn = 1−α n +vn. Montrer qu’il existeK ∈R+∗ tel quexn∼ K
nα.
(On pourra étudier la série de terme général an+1−an , où an= ln (nαxn) .) Étudier les exemples :
xn=n−nn!en et xn= n.n!
(a+ 1). . .(a+n) (a >0) .
7. c Test de condensation de Cauchy : soit(un)une suite de réels positifs, décroissante.
Montrer que les séries un et 2nu2n sont de même nature.
Que donne le résultat précédent pour les séries de Riemann ? Et pour les séries de Bertrand de la forme
n≥2
1 n(lnn)β ?
